13.3-4等腰三角形及最短路径问题（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

13.3-4等腰三角形及最短路径问题 题型一 等腰三角形的定义 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知等腰三角形有一个角是，则下列结论中，正确的是（    ） A．这个三角形可以是直角三角形 B．这个三角形可以是钝角三角形 C．这个三角形一定是锐角三角形 D．这个三角形可以是等边三角形 2．（23-24八年级上·安徽·单元测试）以下列各组线段的长为边长，能组成一个等腰三角形的是（    ） A．1、1、3 B．3、3、5 C．5、5、10 D．3、3、8 3．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的底角是 ． 4．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别为3，4，它的周长为 ． 5．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，，则 ° ． 题型二 等腰三角形的性质 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，、分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，，则的长为 ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，为的中线，，则 °． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，点在斜边上，且．过点作交直线于点，过点作交直线于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)连接，若，，求的面积． 题型三 根据等角对等边求边长 1．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，，，为的中点，连接，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则 ． 5．（22-23八年级上·四川内江·期中）如图，已知平分，平分且过点O，设，则的周长是 ． 题型四 格点图中画等腰三角形 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有两点，若坐标轴上有点，使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 3．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点上．请按下列要求画图． (1)在图①中画出，使的面积是6，且为钝角三角形； (2)在图②中画出，使是轴对称图形，且点在小正方形的顶点上． 4．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 题型五 等腰三角形的性质和判定应用 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且．若，，求的周长． 3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 4．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，．过点A作，交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 题型六 等边三角形的性质 1．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 2．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，分别以的边，向外作等边和等边，与相交于点．    (1)求证：； (2)请求出的度数． 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是等边三角形，D为边上一个动点（D与B、C均不重合）．．，连接． (1)求证：平分； (2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长． 题型七 等边三角形的判定和性质 1．（23-24八年级上·天津·期末）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 2．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且，延长至点，使，点为轴正半轴上一动点，点在上，且，交于点． (1)求证： (2)求证：定值 3．（23-24八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在等边中，点D在边上，过点D作交于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：． 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，直接写出和之间满足的数量关系． 题型八 含30度角的直角三角形 1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图，已知中，，垂直平分于点D，交于点E，．求证：．    2．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，点E在边上，点F在边的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，求． 4．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是边上的中线，在边取一点，使得．作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 题型九 最短路径问题 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）利用轴对称的性质解决路程之和最短的问题，如图所示，河岸的同侧有、两个村庄，两村委会决定在小河边建一座自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？为什么？ 2．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    3．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，正方形网格中有一个． (1)作出于直线的对称图形． (2)在直线上找出一点，使的值最小． 4．（23-24八年级上·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．三点在格点上． (1)在图中作出关于轴对称图形； (2)写出点的坐标； (3)在轴上求作一点，使最短．（不写作法，保留画图痕迹，标出点即可） 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接． (1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________； (2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明； (3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为___________，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系___________． 2．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知和均为等腰直角三角形，，点M为的中点，过点E与平行的直线交射线于点N．    (1)求证： M为的中点． (2)将图1中的绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图2），求证：为等腰直角三角形； (3)将图1中绕点B旋转到图3位置，当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）【观察探索】 （1）如图1，中，，．连接延长线与交于点． ①________________（用含的式子表示）； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【应用拓展】（2）如图2，在和中，，连接的延长线交于点，当于点时，求证：． 4．（23-24八年级上·四川泸州·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3-4等腰三角形及最短路径问题 题型一 等腰三角形的定义 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知等腰三角形有一个角是，则下列结论中，正确的是（    ） A．这个三角形可以是直角三角形 B．这个三角形可以是钝角三角形 C．这个三角形一定是锐角三角形 D．这个三角形可以是等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理的应用，三角形分类，分两种情况：的角为等腰三角形的底角，的角为等腰三角形的顶角，分别求出另外两个内角的度数，然后进行判断即可． 【详解】解：当的角为等腰三角形的底角时，则等腰三角形的另外一个底角为，顶角为： ， ∴此时等腰三角形为锐角三角形； 当的角为等腰三角形的顶角时，则等腰三角形的两个底角为： ， ∴此时等腰三角形为锐角三角形， 综上分析可知：这个三角形一定是锐角三角形，故C正确． 故选：C． 2．（23-24八年级上·安徽·单元测试）以下列各组线段的长为边长，能组成一个等腰三角形的是（    ） A．1、1、3 B．3、3、5 C．5、5、10 D．3、3、8 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握判断能否组成三角形的方法：较小的两个边长的和是否大于第三边的长是解决问题的关键．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长之和大于最长的边即可． 【详解】解：A． ∵，∴1、1、3不能能组成一个等腰三角形； B．∵，∴3、3、5能能组成一个等腰三角形； C ∵，∴5、5、10不能能组成一个等腰三角形； D．∵，∴3、3、8不能能组成一个等腰三角形； 故选B． 3．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的底角是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得，等腰三角形的顶角为，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的底角为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别为3，4，它的周长为 ． 【答案】10或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质“等腰三角形的两腰相等”．分腰为4和腰为3两种情况讨论，再求其周长． 【详解】解：①当腰为4时，则三角形的三边长分别为4、4、3，满足三角形的三边关系， 周长为； ②当腰为3时，则三角形的三边长分别为3、3、4，满足三角形的三边关系， 周长为． 综上可知：等腰三角形的周长为10或11． 故答案为：10或11． 5．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，，则 ° ． 【答案】50 【分析】本题主要考查了等腰三角形的各角之间的关系，确定等腰三角形的顶角，再结合计算即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：50． 题型二 等腰三角形的性质 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，、分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质， 三角形内角和定理以及角平分线的定义， 根据等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，可得出， 结合三角形内角和定理可得出， 最后再根据角平分线的定义即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，为的中线，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，先根据为的中线，得出，，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵为的中线， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，点在斜边上，且．过点作交直线于点，过点作交直线于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)连接，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得到，根据等边对等角和三角形内角和计算即可； （），，得，，，然后通过证明即可； （）由，根据全等三角形的性质和三角形面积公式即可求解； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴，，， 由（）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 题型三 根据等角对等边求边长 1．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握对角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：， ． 故选：B 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，，，为的中点，连接，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形，等腰三角形，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 延长交于点，根据平行线的性质和为的中点，证明，求出，，再根据等腰三角形的性质，可得的长，即可选出正确答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ∵， ∴，， 又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 3．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先求出的长，再根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 5．（22-23八年级上·四川内江·期中）如图，已知平分，平分且过点O，设，则的周长是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，证明出，是解题的关键．先根据角平分线的性质得到，进而根据平行线的性质证明，则，同理可证，即可推出的周长． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可证， 的周长 ； 故答案为：30． 题型四 格点图中画等腰三角形 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答． 【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下： 以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选C． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有两点，若坐标轴上有点，使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、、三种情况，进行分析画图即可解答． 【详解】解：如图： 当时，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴于点， 当时，以点B为圆心，长为半径画弧，交x轴于点， 当时，作的垂直平分线，交x轴于点，交y轴于点， ∵点A，B，三个点在同一条直线上， ∴满足条件的点C的个数是5． 故选：B． 3．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点上．请按下列要求画图． (1)在图①中画出，使的面积是6，且为钝角三角形； (2)在图②中画出，使是轴对称图形，且点在小正方形的顶点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了在网格中求三角形的面积，等腰三角形的性质，轴对称图形的定义： （1）画一个第为3，高为4的钝角三角形即可； （2）画一个以为腰的格点等腰三角形即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 4．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查利用网格作图及等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义及网格作图即可； （2）根据等腰直角三角形的定义及网格作图即可； （3）根据线段垂直平分线的性质及网格作图即可． 【详解】（1）解：如图所示点C即为所求；    （2）如图所示线段，即为所求；    （3）如图所示线段即为所求．    题型五 等腰三角形的性质和判定应用 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质即可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，利用等边对等角得到，根据三角形内角和定理列方程求得的度数，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴． 2．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且．若，，求的周长． 【答案】12 【分析】根据平分，平分，且，可得出，，所以三角形的周长是．本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长． 3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，．过点A作，交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟记等角对等边是解本题的关键； （1）证明可得，结合可得结论； （2）设， 可得，，再利用平行线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：设， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 题型六 等边三角形的性质 1．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．由等边三角形的性质，得到，，根据证出即可； 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案． （2）根据，可知，由于．从而可知． 【详解】（1）证明：在等边三角形中，，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． ， ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，分别以的边，向外作等边和等边，与相交于点．    (1)求证：； (2)请求出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，得到，根据全等三角形的判定与性质即可得到结论； （2）根据角的和差和对顶角的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，设与交于点，    ∵，， ∴， 即：， ∵， ∴． 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是等边三角形，D为边上一个动点（D与B、C均不重合）．．，连接． (1)求证：平分； (2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质定理、等边三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由于，，所以只需证即可得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，将四边形的周长用表示，最小时就是四边形的周长最小，根据垂线段最短原理，当时，最小，此时就是的一半． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长， 根据垂线段最短，当时，值最小，四边形的周长取最小值， ∵， ∴． 题型七 等边三角形的判定和性质 1．（23-24八年级上·天津·期末）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含角的直角三角形的性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）证明是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， （2），， 是等边三角形． ， ，， ． 2．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且，延长至点，使，点为轴正半轴上一动点，点在上，且，交于点． (1)求证： (2)求证：定值 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是点的坐标与图形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质， （1）先求出，再由三角形外角的性质得到，，据此可证明 （2）在轴上作点，使，连接，则为等边三角形，，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，再根据等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， 由三角形的外角的性质可得， ， ； （2）证明：在轴上作点，使，连接， ，， ∴ ∴， 又∵， ∴垂直平分， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ， ， 为定值． 3．（23-24八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在等边中，点D在边上，过点D作交于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识： （1）由平行线的性质求出，再由三角形的内角和定理解决问题即可. （2）证是等边三角形，得，再证，得，即可得出结论. 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，直接写出和之间满足的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可证得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得； （2）过点作于，于，设交于．由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）在上取一点，使得，连接，证明是等边三角形，同理（1）可证，，得出，由三角形面积关系可得出，则可得出答案． 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1中，与都是等边三角形， ，，， ， ，， 即． 在和中， ， ． ． （2）证明：过点作于，于，设交于． ， ， ，， ，， ，， ， 平分； （3）解：，理由如下： 在上取一点，使得，连接， ， ， ， 平分， ， ， 是等边三角形， 同理（1）可证， ， 设，，， ， 同法可证， ， ， ， ， 题型八 含30度角的直角三角形 1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图，已知中，，垂直平分于点D，交于点E，．求证：．    【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，连接，根据垂直平分线的性质得到，，然后求出，然后利用含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，    ∵垂直平分于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，点E在边上，点F在边的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）先由平角的定义得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，再由含30度角的直角三角形的性质得到，则由全等三角形的性质可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质： （1）证明，即可证明； （2）由等腰直角三角形的性质得到，进而得到，则． 【详解】（1）证明：∵，D，E分别在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是边上的中线，在边取一点，使得．作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． （1）求出，根据等腰三角形的性质求出，求出和，根据等边三角形的判定得出即可； （2）根据30°所对的直角边等于斜边的一半可以得到，，然后根据等边三角形的性质得到，进而可以解题． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于F，交于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 题型九 最短路径问题 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）利用轴对称的性质解决路程之和最短的问题，如图所示，河岸的同侧有、两个村庄，两村委会决定在小河边建一座自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？为什么？ 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了轴对称作图与应用设计，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，点即为所求；关键是正确找出点的位置． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 由作图可知：， 要使的从点到点的路程最短，根据两点之间线段最短，连接，交直线于点，点即为所求； 故加工厂应该建在处． 2．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据两点之间线段最短，轴对称的性质即可得到答案． 【详解】解；如图所示：作点A的对称点，作点B的对称点，连接，交C街和D街于点， 则， 当点共线时，小明行走的路径最短， 故小明行走的最短路径是，    3．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，正方形网格中有一个． (1)作出于直线的对称图形． (2)在直线上找出一点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题： （1）根据轴对称的性质即可画关于直线的对称图形； （2）根据两点之间线段最短即可在直线上求作一点，使最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，点即为所求． 4．（23-24八年级上·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．三点在格点上． (1)在图中作出关于轴对称图形； (2)写出点的坐标； (3)在轴上求作一点，使最短．（不写作法，保留画图痕迹，标出点即可） 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)见详解 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称求最短距离，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键 （1）根据题意找到关于轴对称的对应点，顺次连接，则即为所求； （2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可； （3）作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2），， （3）如图，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求 ， 即如图点即为所求． 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接． (1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________； (2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明； (3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为___________，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系___________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果； （2）过点作轴于，证明，由全等三角形的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接，，与关于直线对称，连接交于，连接，则，根据三角形的面积关系可得出． 【详解】（1）解：， ，， ，， 、， 故答案为：，； （2）证明：过点作轴于， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ， ， ； 取点，连接，， ，， 与关于直线对称，连接交于，连接，则， 此时最小，， 到，的距离相等，，， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知和均为等腰直角三角形，，点M为的中点，过点E与平行的直线交射线于点N．    (1)求证： M为的中点． (2)将图1中的绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图2），求证：为等腰直角三角形； (3)将图1中绕点B旋转到图3位置，当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)成立；理由见解析 【分析】（1）由和点M为的中点可以证得，从而证得M为的中点； （2）证，从而可以证得，进而可以证得，，则有为等腰直角三角形； （3）如图3，证，根据四边形内角和，可得，从而可以证得，进而可以证得，则有 为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵点M为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴M为的中点； （2）证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A，B，E三点共线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论仍成立，（如图3）： 证明：∵， ∴． ∵点M为的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，在（3）中能够在掌握变中有不变的辩证思想是解决问题的关键． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）【观察探索】 （1）如图1，中，，．连接延长线与交于点． ①________________（用含的式子表示）； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【应用拓展】（2）如图2，在和中，，连接的延长线交于点，当于点时，求证：． 【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）①根据全等三角形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可； ②过点作交延长线于点，先证明，得出，证明，得出即可； （2）连接，过A作，交延长线于点，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出即可． 【详解】解：（1）①∵中，， ∴，， ∴， ∴； ②，理由如下： 过点作交延长线于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【应用拓展】（2）连接，过A作，交延长线于点，如图所示： ， 为等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 又于点， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 4．（23-24八年级上·四川泸州·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）等边三角形 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质； （1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据等边三角形的性质得到，证明，得到，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$