专题02 等腰（等边）三角形的判定与性质专题训练-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

专题2 等腰（等边）三角形的判定与性质专项练习 1．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答； （2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 2．如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． （1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【分析】（1）先由角平分线定义得∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，再由平行线的性质得∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，则∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，证出BD＝DO，OE＝CE，进而得出结论； （2）同（1）证出BD＝DO，OE＝CE，进而得出结论． 【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下： ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO， ∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． ∴DE∥BC， ∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO， ∴BD＝DO，OE＝CE， ∴DO+OE＝BD+CE， 即DE＝BD+CE； （2）DE＝BD﹣CE，理由如下： ∵∠ABC和∠ACF的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠FCO， ∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． ∴DO∥BF， ∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠FCO， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO， ∴BD＝DO，OE＝CE， ∵DE＝DO﹣OE， ∴DE＝BD﹣CE． 3．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F． （1）试说明△CEF是等腰三角形． （2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系． 【分析】（1）首先根据条件∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，可证出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案； （2）线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分线，得到∠CAE＝∠EAB，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠EAB， ∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEF， ∴CF＝CE， ∴△CEF是等腰三角形； （2）∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠EAB， ∴∠CAB＝2∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴AC＝AB． 4．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求AB+BD长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案； （2）根据已知能推出2DE+2EC＝10cm，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AE＝AB，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝40°， ∴∠AED＝×（180°﹣40°）＝70°， ∴∠C＝∠AED＝35°； （2）∵△ABC周长26cm，AC＝10cm， ∴AB+BC＝16（cm）， ∴AB+BE+EC＝16（cm）， ∵AE＝AB，AD⊥BC， ∴BD＝DE， ∵AB＝AE＝EC， 即2BD+2AB＝16（cm）， ∴AB+BD＝8（cm）． 5．在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动； 在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角为α（∠PCB＝α），斜边PN交AC于点D． （1）特例感知 当∠BPC＝110°时，α＝　40　°，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变 　小　（填“大”或“小”）； （2）思维拓展 在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝30°，进而可以解决问题； （2）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可． 【解答】解：（1）当∠BPC＝110°时，α＝40°，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变小． 理由如下： ∵CA＝CB，∠ACB＝120°， ∴∠B＝30°， ∴α＝180°﹣110°﹣30°＝40°； 故答案为：40，小； （2）∵△PCD是等腰三角形， ∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°， ①当PC＝PD时， ∴∠PCD＝∠PDC＝（180°﹣30°）＝75°， 即120°﹣α＝75°， ∴∠α＝45°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°， ∴α＝90°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°， 即120°﹣α＝120°， ∴α＝0°， 此时点P与点B重合，点D和A重合， ∵点P不与A，B重合， ∴α＝0°，舍去， 综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α＝45°或90°． 6．如图，已知△ABD和△AEC中，AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝50°，CD、BE相交于点P． （1）证明：BE＝DC； （2）求∠BPC的度数； 【分析】（1）先证得∠BAE＝∠DAC，然后根据已知条件即可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质得到BE＝DC； （2）根据△ABE≌△ADC，得到∠ABE＝∠ADC，得到∠AFD＝∠PFB，根据三角形的内角和得出∠BPD＝∠DAB＝50°，得到∠BPC＝130°． 【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC＝50°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC， ∴∠BAE＝∠DAC， 在△BAE与△DAC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝DC； （2）解：∵△ABE≌△ADC， ∴∠ABE＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠DAB＝50°， ∴∠BPC＝130°． 7．如图①，∠AFH和∠AHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AF、AH交于点E、G． （1）若∠AFH＝80°，∠AHF＝70°，则∠EOF＝　40　度，∠GOH＝　35　度，∠FOH＝　105　度． （2）若∠AFH+∠AHF＝130°，则∠FOH＝　115　度． （3）如图②，∠AFH和∠AHI的平分线交于点O，EG经过点O，分别与AF、AH交于点E、G．若∠AFH+∠AHF＝140°，∠OHI＝50°，∠EOF＝30°，求证：EG∥FH． 【分析】（1）根据角平分线平分角，平行线的性质，和三角形的内角和定理进行求解即可； （2）根据角平分线平分角结合三角形的内角和定理，进行求解即可； （3）角平分线的性质，求出∠AHI度数，进而求出∠AHF的度数，根据∠AFH+∠AHF＝140°，求出∠AFH的度数，再根据角平分线的性质，推出∠OFH＝∠EOF，即可． 【解答】解：（1）∵∠AFH＝80°，∠AHF＝70°，∠AFH和∠AHF的平分线交于点O， ∴， ∴∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝105° ∵EG经过点O且平行于FH， ∴∠EOF＝∠OFH＝40°，∠GOH＝∠OHF＝35°； 故答案为：40，35，105； （2）∵∠AFH和∠AHF的平分线交于点O， ∴， ∵∠AFH+∠AHF＝130°， ∴， ∴∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝115°； 故答案为：115； （3）证明：∵∠AFH和∠AHI的平分线交于点O，∠OHI＝50°， ∴， ∴∠AHF＝180°﹣∠AHI＝80°， ∵∠AFH+∠AHF＝140°， ∴∠AFH＝60°， ∴， ∵∠EOF＝30°， ∴∠OFH＝∠EOF， ∴EG∥FH． 8．（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 【分析】（1）按要求画图（作AB的中垂线或作BC的中垂线）即可； （2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成两个等腰三角形的各种情形，一共有5种情况，分别画图即可； （3）根据（1）（2）中的图形总结即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）设分割线为AD，相应用的角度如图所示： 图1的最大角＝39°+78°＝117°，图2的最大角＝24°+180°﹣2×48°＝108°， 图3的最大角＝24°+66°＝90°，图4的最大角＝84°， 图5的最大角＝148°，因为∠ABC＝24°不是最小内角，此种情况不符合题意， 故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°； （3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一： ①该三角形是直角三角形； ②该三角形有一个角是最小角的2倍； ③该三角形有一个角是其中一个角的3倍． 9．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数． 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠DAF＝∠CAF，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性质得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，根据角平分线定义得到ACE＝70°，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC， ∴∠DAF＝∠CAF， ∵AF∥BC， ∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠ACB＝∠B＝40°， ∴∠BAC＝100°， ∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°， ∵CG平分∠ACE， ∴ACE＝70°， ∵AF∥BC， ∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°． 10．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，等量代换得到∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②根据平行线的性质得到∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代换得到AC＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，即可得到结论． 【解答】解：（1）①∵AD∥BE， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD； ②∵AD∥BE， ∴∠ADC＝∠DCE， 由①知AB＝AD， 又∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴CD平分∠ACE； （2）∠BDC＝∠BAC， ∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE， ∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE， ∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE， ∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE， ∴∠BDC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC， ∴∠BDC＝∠BAC． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AD于点O，交AC于点F，连接OB，OC． （1）求证：△AOC为等腰三角形； （2）若∠BAD＝20°，求∠COF的度数． 【分析】（1）根据中垂线的性质可得OA＝OB，再根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，进而说明AD是BC的中垂线可得OB＝OC，进而得到OA＝OC即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质及角的和差可得∠BAC＝40°，再根据中垂线的性质以及三角形的内角和可得∠AFE＝50°；再根据等腰三角形的性质可得∠OCA＝∠OAC＝20°，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【解答】（1）证明：∵EF是AB的中垂线， ∴OA＝OB， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴AD⊥BC（三线合一）， ∴AD是BC的中垂线， ∴OB＝OC， ∴OA＝OC， ∴△OAC是等腰三角形． （2）解：∵AB＝AC，D为BC中点， ∴∠DAC＝∠BAD＝20°（三线合一）， ∴∠BAC＝40°， ∵EF是AB的中垂线， ∴EF⊥AB， ∴∠AFE＝50°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝20°， ∵∠AFE＝∠OCA+∠COF， ∴50°＝20°+∠COF， ∴∠COF＝30°． 12．在“平行线的证明”一章中，我们给出了八条基本事实，从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论，运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论． （1）请证明“等腰三角形的两底角相等”，简述为“等边对等角”； （2）请借助定理“等边对等角”解决下面问题：如图，在△ABC中，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F且EA＝FA．求证：△ABC为等腰三角形． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到∠EPB＝∠EPC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠AFE，求得∠E＝∠BFP，根据余角的性质得到∠B＝∠C，根据等腰三角形的判定定理得到结论． 【解答】（1）解：已知：△ABC中，AB＝AC． 求证：∠ABC＝∠ACB． 证明：过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC，AD＝AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）， ∴∠ABC＝∠ACB； （2）证明：∵EP⊥BC， ∴∠EPB＝∠EPC＝90°， ∵AE＝AF， ∴∠E＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFP， ∴∠E＝∠BFP， ∵∠BFP+∠B＝∠E+∠C＝90°， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形． 13．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN． 求证：（1）△APM是等腰三角形； （2）PC＝AN． 【分析】（1）要点是确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AP＝AM； （2）利用（1）中的全等三角形的性质得到AN＝PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC＝PQ；从而得到PC＝AN． 【解答】证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC， ∴∠BAM＝∠ANM＝90°， ∴∠PAQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°， ∴∠PAQ＝∠AMN， ∵PQ⊥AB MN⊥AC， ∴∠PQA＝∠ANM＝90°， ∴在△PQA与△ANM中，， ∴△PQA≌△ANM（ASA）， ∴AP＝AM， ∴△APM是等腰三角形； （2）由（1）知，△PQA≌△ANM， ∴AN＝PQ AM＝AP， ∴∠AMB＝∠APM， ∵∠APM＝∠BPC，∠BPC+∠PBC＝90°，∠AMB+∠ABM＝90°， ∴∠ABM＝∠PBC， ∵PQ⊥AB，PC⊥BC， ∴PQ＝PC（角平分线的性质）， ∴PC＝AN． 14．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 【分析】（1）根据三角形的外角的性质，得∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°，那么∠ACB＝∠NAC，故AB＝BC＝30 （海里）． （2）如图，过点C作CP⊥AB于点P，根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．欲确定什么时间小船与灯塔C的距离最短，求得AP．根据三角形内角和定理，得∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．根据含30度角的直角三角形的性质，在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，得（海里），从而解决此题． 【解答】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）． ∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°． ∴∠ACB＝∠NAC． ∴AB＝BC＝30 （海里）． ∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里． （2）如图，过点C作CP⊥AB于点P． ∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°． 又∵∠NBC＝60°， ∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°． 在Rt△CBP中，∠BCP＝30°， ∴（海里）， 15÷15＝1（小时）． 故还要经过1小时长时间，小船与灯塔C的距离最短． 15．已知△ABC是等边三角形，△AEF是等腰三角形，点B，C在EF上，且∠E＝40°． （1）如果△ABC和△AEF有公共的对称轴AH，求∠EAB的度数； （2）如果绕A点固定转动△AEF，使AE与AB在一条直线上，那么EF与BC交于M点，EF与AE交于N点，求∠EMB的度数，并说明△ANF的形状； （3）如果继续转动△AEF，使AE与AH在一条直线上，EF与AC交于D，请判断△ADF的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和外角的性质即可得到结果； （2）根据外角的性质和等边三角形的性质，得到△ANF的各个内角的度数，从而判断出其形状； （3）根据轴对称的性质求出∠CAH的度数，利用外角的性质和三角形的内角和求出△AFD的内角的度数，于是结论可得． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵∠E＝40°， ∴∠EAB＝20°． （2）∵AE与AB在一条直线上， ∴∠ABC＝∠E+∠BME＝60°， ∴∠EMB＝∠ABC﹣∠E＝20°， ∵∠C＝60°， ∴∠ANF＝∠CNM＝180°﹣60°﹣20°＝100° ∴△ANF是钝角三角形． （3）∵AE与AH在一条直线上， ∴∠EAC＝30°， ∴∠ADE＝∠EAD+∠E＝70°， ∵∠F＝∠E＝40°， ∴∠FAD＝70°， ∴∠FAD＝∠FDA， ∴△AFD是等腰三角形． 16．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证： （1）△ADC是等边三角形； （2）点E在线段CD的垂直平分线上． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝60°，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据DE是AB的垂直平分线，可得，即可证明△ADC是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得AE＝BE，进而可得AE平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DE＝DC，根据等边三角形的性质可得AD＝AC，即可得证． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°，， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴， ∴AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形； （2）证明：DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，DE⊥AB， ∴∠EAB＝∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝30°， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴AE平分∠BAC， ∵DE⊥AB，AC⊥BC， ∴DE＝EC， ∵△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC， ∴点E在线段CD的垂直平分线上． 18．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形； （3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值． 【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， x×1+12＝2x， 解得：x＝12； （2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵三角形AMN是等边三角形， ∴t＝12﹣2t， 解得t＝4， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB， y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 19．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可； （2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中 ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． （2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵等边三角形DCE， ∴∠CED＝∠CDE＝60°， ∴∠ADE+∠BED ＝∠ADC+∠CDE+∠BED ＝∠ADC+60°+∠BED ＝∠CED+60° ＝60°+60° ＝120°， ∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°， 答：∠DOE的度数是60°． （3）证明：∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC， 又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点， ∴AM＝AD，BN＝BE， ∴AM＝BN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴CM＝CN， ∠ACM＝∠BCN， 又∠ACB＝60°， ∴∠ACM+∠MCB＝60°， ∴∠BCN+∠MCB＝60°， ∴∠MCN＝60°， ∴△MNC是等边三角形． 20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形； （2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系； （3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由． 【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形； （2）延长ED使得DW＝DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD＝WG＝DG+DM，再利用AD＝BD，即可得出答案； （3）利用等边三角形的性质得出∠H＝∠2，进而得出∠DNG＝∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图1所示： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°，BC＝． ∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°． ∴DA＝DB． ∵DE⊥AB于点E． ∴AE＝BE＝． ∴BC＝BE． ∴△EBC是等边三角形； （2）结论：AD＝DG+DM． 证明： 如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E， ∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD， 又∵DM＝DW， ∴△WDM是等边三角形， ∴MW＝DM， 在△WGM和△DBM中， ∵ ∴△WGM≌△DBM， ∴BD＝WG＝DG+DM， ∴AD＝DG+DM． （3）结论：AD＝DG﹣DN． 证明：延长BD至H，使得DH＝DN． 由（1）得DA＝DB，∠A＝30°． ∵DE⊥AB于点E． ∴∠2＝∠3＝60°． ∴∠4＝∠5＝60°． ∴△NDH是等边三角形． ∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°． ∴∠H＝∠2． ∵∠BNG＝60°， ∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7． 即∠DNG＝∠HNB． 在△DNG和△HNB中， ∴△DNG≌△HNB（ASA）． ∴DG＝HB． ∵HB＝HD+DB＝ND+AD， ∴DG＝ND+AD． ∴AD＝DG﹣ND． 21．如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC的中点，连接AD，AE平分∠DAC，交BC于点E，点F在△ABC外，连接 FE，BF，AF，满足BF∥AC，∠AFB＝∠AEC． （1）求∠FAE的度数； （2）如图2，点G是AC上一点，连接EG，GF，GF与AE交于点K．若AK＝EK，求证：CG＝2CE． 【分析】（1）先证△ABF和△ACE全等，得∠BAF＝∠CAE，AF＝AE，再根据∠FAE＝∠BAF+∠BAE＝∠CAE+∠BAE可得出答案； （2）由（1）可知：△AFE为等边三角形，从而得∠AFB＝60°，AF＝EF，根据AK＝EK，得∠AFG＝∠EFG＝30°，FK⊥AE，由此可证△AFG和△EFG全等，得∠AGF＝∠EGF，然后根据点D为BC的中点，及AE平分∠DAC可得出∠CAE＝15°，进而可求出∠AGF＝∠EGF＝75°，由此得∠CGE＝30°，∠CEG＝90°，最后再利用直角三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠C＝∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵BF∥AC， ∴∠ABF＝∠BAC＝60°， ∴∠ABF＝∠C＝60°， 在△ABF和△ACE中， ， ∴△ABF≌△ACE（AAS）， ∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE， ∴∠FAE＝∠BAF+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝∠CAE＝60°； （2）证明：由（1）可知：AF＝AE，∠FAE＝60°， ∴△AFE为等边三角形， ∴∠AFB＝60°，AF＝EF， ∵AK＝EK， ∴∠AFG＝∠EFG＝30°，FK⊥AE， 在△AFG和△EFG中， ， ∴△AFG≌△EFG（SAS）， ∴∠AGF＝∠EGF， ∵△ABC为等边三角形，点D为BC的中点， ∴∠DAC＝∠BAC＝30°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠CAE＝∠DAC＝15°， ∵FK⊥AE， ∴∠AGF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣15°＝75°， ∴∠AGF＝∠EGF＝75°， ∴∠CGE＝180°﹣（∠AGF+∠EGF）＝30°， 又∠C＝60°， ∴∠CEG＝180°﹣∠C﹣∠CGE＝90°， 在Rt△CEG中，∠CGE＝30°， ∴CG＝2CE． 22．已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连接BC，AP． （1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，AC＝BD，试判断AP与CD的位置关系； （2）过点D作BE∥AC，交AP延长线于点E，连接BE，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，试说明：BC＝2AP． 【分析】（1）解Rt△ACB得出AB＝2AC，再证△ADC是等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可； （2）连结BE，先利用AAS证明△CPA≌△DPE，再证△BDE是等边三角形，最后△CAB≌△EBA（SAS），推出AE＝BC，即可证明BC＝2AP． 【解答】解：（1）AP⊥CD，理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AC， ∵BD＝AC， ∴AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形， ∵P是CD的中点， ∴AP⊥CD； （2）∵DE∥AC， ∴∠CAP＝∠DEP， ∵CP＝DP，∠CPA＝∠DPE， ∴△CPA≌△DPE（AAS）， ∴，DE＝AC， ∵BD＝AC， ∴BD＝DE， 又∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠CAD＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BD＝BE，∠EBD＝60°， ∵BD＝AC， ∴AC＝BE． AB＝AB， ∴△CBA≌△EAB， ∴BC＝AE＝2AP 23．如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　4　秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． 【分析】（1）根据相遇问题，由路程÷速度＝时间建立等式求出t的值即可； （2）根据若△APQ是等边三角形，此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，进而得出CP＝DQ，求出即可； （3）根据P，Q运动速度得出，△APN是等边三角形，得∠APQ＝90°求出即可． 【解答】解：（1）设点P、Q从出发到相遇所用时间是t，根据题意得： t+2t＝AC+AB+BC＝12， 解得：t＝4； 故答案为：4； （2）如图1：若△APQ是等边三角形， 此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP， 则CP＝DQ，即t﹣4＝4﹣（2t﹣8）， 解得：t＝； （3）PQ与AC互相垂直，理由如下： 如图2所示：根据题意得：AQ＝2AP， 取AQ的中点N， ∵∠PAQ＝60°， ∴△APN是等边三角形， ∴PN＝AN＝NQ， ∴△APQ是直角三角形， ∴∠APQ＝90°， 即当0＜t＜2时，PQ与AC互相垂直． 24．如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）根据题意得出EC＝CD＝DB，进而可证得△ABD≌△ACE，从而可判断出结论． （2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF，从而证得△ADF≌△EDC，进而得出结论． 【解答】（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形， ∴∠ACE＝∠BAC＝∠ABD＝60°，AB＝AC， ∵BD＝CD， ∴AD⊥BC ∵∠ADE＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴∠DOC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝∠DOC﹣∠ACE＝30°， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴EC＝CD＝DB， ∴△ABD≌△ACE． ∴AD＝AE，且∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形； （2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF， ∵∠ACB＝60°， ∴△DCF是等边三角形， ∵∠ADF+∠FDE＝∠EDC+∠FDE＝60°， ∴∠ADF＝∠EDC， ∵∠DAF+∠ADE＝∠DEC+∠ACE， ∴∠DAF＝∠DEC， ∴△ADF≌△EDC（AAS）， ∴AD＝ED， 又∵∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 25．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　＝　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　＝　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． 【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可； （2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可； （3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD＝3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD＝1． 【解答】解：（1）故答案为：＝． （2）过E作EF∥BC交AC于F， ∵等边三角形ABC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， 即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝AF， ∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°， ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠BED＝∠ECF， 在△DEB和△ECF中 ， ∴△DEB≌△ECF（AAS）， ∴BD＝EF＝AE， 即AE＝BD， 故答案为：＝． （3）解：CD＝1或3， 理由是：分为两种情况：①如图1 过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AB＝1，AE＝2， ∴AB＝BE＝1， ∵EN⊥DC，AM⊥BC， ∴∠AMB＝∠ENB＝90°， 在△ABM和△EBN中， ， ∴△AMB≌△ENB（AAS）， ∴BN＝BM＝， ∴CN＝1+＝， ∴CD＝2CN＝3； ②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AM∥EN， ∴＝， ∴＝， ∴MN＝1， ∴CN＝1﹣＝， ∴CD＝2CN＝1， 即CD＝3或1． 26．课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①　∠AED　， ∴②　∠ADE　＝③　∠AED　， ∴AD＝AE．（④　等角对等边　） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE＝AD，求证：△ADE是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质可得出答案； （2）由等边三角形的判定可得出答案． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE（等角对等边）， ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 故答案为：①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边； （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线， ∴，． ∵∠ADE为△ABD的外角， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∵AE＝AD， ∴△ADE是等边三角形． 27．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD， （1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED； （2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形； （3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由． 【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB＝30°，∠ABC＝60°，根据AE＝EB＝BD，可得∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°，根据等角对等边即可证得结论； （2）根据平行线的性质证得∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，即可证得结论； （3）先求得BE＝FC，然后证得△DBE≌△EFC即可； 【解答】证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∵E是AB中点， ∴AE＝BE， ∵AE＝BD ∴BE＝BD， ∴∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°， ∴∠EDB＝∠ECB， ∴EC＝ED； （2）如图2，∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°， ∴△AEF为等边三角形； （3）EC＝ED； 理由：∵∠AEF＝∠ABC＝60°， ∴∠EFC＝∠DBE＝120°， ∵AB＝AC，AE＝AF， ∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝FC， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴ED＝EC． 28．如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t s． （1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来． （2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？ （3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长； （2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值； （3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴BC＝AB＝9cm， ∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为t s， ∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm， ∵点Q的运动速度为5cm/s，运动时间为t s， ∴BQ＝5t（cm）； （2）若△PBQ为等边三角形， 则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝， ∴s时，△PBQ第一次为等边三角形； （3）设t s时，Q与P第一次相遇， 根据题意得5t﹣2t＝18，解得t＝6， 即6s时，两点第一次相遇． 当t＝6s时，P走过的路程为2×6＝12cm， 而9＜12＜18，即此时P在AB边上， ∴经过6秒后点P与点Q在AB上第一次相遇． 29．数学课上，张老师举了下面的例题： 例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°） 例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°） 张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下： 变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数． （1）请你解答上面的变式题． （2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 　60°　． （3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数． 【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解； （2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时， ∠B＝＝50°； 当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°； 当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°， 综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°； （2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°， 故答案为：60°． （3）分两种情况：设∠A＝x°， ①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角， ∴∠B的度数只有一个； ②当0＜x＜90时， 若∠A为顶角，则∠B＝（）°； 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°． 当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x， 即x≠60时，∠B有三个不同的度数． 综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数． 30．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F， （1）如图①，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝　120°　；如图②，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝　90°　；如图③，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝　60°　； （2）如图④，若∠ACD＝α，则∠AFB＝　180°﹣α　（用含α的式子表示）； （3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 【分析】（1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC＝∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数． 如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC＝∠DBC，又有∠FDE＝∠CDB，进而得出∠AFB＝90°． 如图3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC＝∠BDC，又有∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB得到∠FAB+∠FBA＝120°，进而求出∠AFB＝60°． （2）由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE＝∠CDB，从而得出∠DFA＝∠ACD，得到结论∠AFB＝180°﹣α． （3）由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB＝180°﹣α． 【解答】解：（1）如图1，CA＝CD，∠ACD＝60°， 所以△ACD是等边三角形． ∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°， 所以△ECB是等边三角形． ∵AC＝DC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠BCD＝∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD． ∵AC＝DC，CE＝BC， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC＝∠BDC． ∠AFB是△ADF的外角． ∴∠AFB＝∠ADF+∠FAD＝∠ADC+∠CDB+∠FAD＝∠ADC+∠EAC+∠FAD＝∠ADC+∠DAC＝120°． 如图2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，EC＝CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠AEC＝∠DBC， 又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°， ∴∠EFD＝90°． ∴∠AFB＝90°． 如图3，∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACD﹣∠DCE＝∠BCE﹣∠DCE． ∴∠ACE＝∠DCB． 又∵CA＝CD，CE＝CB， ∴△ACE≌△DCB（SAS）． ∴∠EAC＝∠BDC． ∵∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB＝180°﹣（180﹣∠ACD）＝120°， ∴∠FAB+∠FBA＝120°． ∴∠AFB＝60°． 故填120°，90°，60°． （2）∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE＝∠DCB． ∴∠CAE＝∠CDB． ∴∠DFA＝∠ACD． ∴∠AFB＝180°﹣∠DFA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣α． （3）∠AFB＝180°﹣α； 证明：∵∠ACD＝∠BCE＝α，则∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE， 即∠ACE＝∠DCB． 在△ACE和△DCB中， 则△ACE≌△DCB（SAS）． 则∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和知∠EFB＝∠ECB＝α． ∠AFB＝180°﹣∠EFB＝180°﹣α． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 等腰（等边）三角形的判定与性质专项练习 1．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 2．如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． （1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 3．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F． （1）试说明△CEF是等腰三角形． （2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系． 4．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求AB+BD长． 5．在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动； 在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角为α（∠PCB＝α），斜边PN交AC于点D． （1）特例感知 当∠BPC＝110°时，α＝　 　°，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变 　 　（填“大”或“小”）； （2）思维拓展 在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由． 6．如图，已知△ABD和△AEC中，AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝50°，CD、BE相交于点P． （1）证明：BE＝DC； （2）求∠BPC的度数； 7．如图①，∠AFH和∠AHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AF、AH交于点E、G． （1）若∠AFH＝80°，∠AHF＝70°，则∠EOF＝　40　度，∠GOH＝　35　度，∠FOH＝　105　度． （2）若∠AFH+∠AHF＝130°，则∠FOH＝　115　度． （3）如图②，∠AFH和∠AHI的平分线交于点O，EG经过点O，分别与AF、AH交于点E、G．若∠AFH+∠AHF＝140°，∠OHI＝50°，∠EOF＝30°，求证：EG∥FH． 8．（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 9．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数． 10．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AD于点O，交AC于点F，连接OB，OC． （1）求证：△AOC为等腰三角形； （2）若∠BAD＝20°，求∠COF的度数． 12．在“平行线的证明”一章中，我们给出了八条基本事实，从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论，运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论． （1）请证明“等腰三角形的两底角相等”，简述为“等边对等角”； （2）请借助定理“等边对等角”解决下面问题：如图，在△ABC中，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F且EA＝FA．求证：△ABC为等腰三角形． 13．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN． 求证：（1）△APM是等腰三角形； （2）PC＝AN． 14．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 15．已知△ABC是等边三角形，△AEF是等腰三角形，点B，C在EF上，且∠E＝40°． （1）如果△ABC和△AEF有公共的对称轴AH，求∠EAB的度数； （2）如果绕A点固定转动△AEF，使AE与AB在一条直线上，那么EF与BC交于M点，EF与AE交于N点，求∠EMB的度数，并说明△ANF的形状； （3）如果继续转动△AEF，使AE与AH在一条直线上，EF与AC交于D，请判断△ADF的形状，并说明理由． 16．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证： （1）△ADC是等边三角形； （2）点E在线段CD的垂直平分线上． 18．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 19．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形； （2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系； （3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由． 21．如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC的中点，连接AD，AE平分∠DAC，交BC于点E，点F在△ABC外，连接 FE，BF，AF，满足BF∥AC，∠AFB＝∠AEC． （1）求∠FAE的度数； （2）如图2，点G是AC上一点，连接EG，GF，GF与AE交于点K．若AK＝EK，求证：CG＝2CE． 22．已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连接BC，AP． （1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，AC＝BD，试判断AP与CD的位置关系； （2）过点D作BE∥AC，交AP延长线于点E，连接BE，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，试说明：BC＝2AP． 23．如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　4　秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． 24．如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 25．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． 26．课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①　 　， ∴②　 　＝③　 　， ∴AD＝AE．（④　 　） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE＝AD，求证：△ADE是等边三角形． 27．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD， （1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED； （2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形； （3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由． 28．如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t s． （1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来． （2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？ （3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 29．数学课上，张老师举了下面的例题： 例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°） 例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°） 张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下： 变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数． （1）请你解答上面的变式题． （2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 　 　． （3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数． 30．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F， （1）如图①，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝　 　；如图②，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝　 　；如图③，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝　 　； （2）如图④，若∠ACD＝α，则∠AFB＝　 　（用含α的式子表示）； （3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$