13.3 等腰三角形（16大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第13章 全等三角形 13.3 等腰三角形（16大题型提分练） 题型一 等边对等角 1．若等腰三角形的底角为，则它的顶角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：因为等腰三角形的两个底角相等， 又因为底角是， 所以其顶角为， 故选：B． 2．如图，为的角平分线，，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理．在上找到点使得，易证，可得，，根据，即可求得，即可证明，根据三角形内角和为性质即可解题． 【详解】解：在上找到点使得， 为的角平分线， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．已知，是的平分线上一点，若在射线上存在点使是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ①当E在时，， ∵， ∴； ②当E在点时，， 则； ③当E在时，， 则． 故的度数为或或． 故答案为：或或． 4．等腰三角形的一个内角的度数是，则底角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分顶角为和底角为，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角的度数为， 当底角为时，则底角的度数为， 综上所述，该等腰三角形的底角度数为或， 故答案为：或． 5．如图，点E在上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据等腰三角形的性质可得，然后根据，可得，进而根据平角定义即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴.， ∴， 在与中 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴， ∴ 题型二 根据等边对等角证明 1．如图，线段和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对顶角的性质可判断A，根据三角形外角的性质可判断B，根据平行线的性质可判断C，根据等腰三角形的性质可判断D． 【详解】解：A．∵与是对顶角，∴，故A正确； B．∵是的外角，∴，故B不正确； C．∵与不一定平行，∴与不一定相等，故C不正确； D．∵与不一定相等，∴与不一定相等，故D不正确． 故选A． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． 2．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌据等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 3．如图，已知中，，点D为的中点，如果点M在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段上由C点向A点运动，若使与全等，则点N的运动速度应为 厘米/秒． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角，分当，时，，当时，，两种情况求出的值，再求出运动时间，即可求出点N的运动速度． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ①当，时，， ∴， ∴， ∴点N运动的速度为厘米/秒． ②当时，， ∴， ∴， ∴点N运动的速度为厘米/秒． 综上所述，点N的速度为2或3厘米/秒． 故答案为：2或3． 4．如图，已知，若依据“”证明，则需增加的一个条件是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定．根据等边对等角的性质，得到，再根据全等三角形的判定定理，即可得到答案．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 【详解】解：， ， ， 若依据“”证明，则需增加的一个条件是， 故答案为：． 5．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)如图1，在中，，D是上任意一点，则与________“融通三角形”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，与是“融通三角形”，其中，，，求证：． 【答案】(1)是 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由题意得 ，，由融通三角形定义即可得出结论； （2）在线段上取点G，使，连接，证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵且， ∴与不全等， ∴与是“融通三角形”， 故答案为：是； （2）证明：如图，在线段上取点G，使，连接 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型三 三线合一 1．如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一” C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可获得答案． 【详解】解：∵，点为中点， ∴， 即找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直， 其这样操作的数学依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：B． 2．如图是人字型屋架的设计图，由、、、四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且，D为的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（    ） A．和焊接点B B．和焊接点A C．和焊接点A D．和焊接点D 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：因为接工身边只有检验直角的角尺，所以根据等腰三角形的三线合一可知，显然是选择和焊接点D； 故选D． 3．如图，中，，于点，于点，于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，根据已知可得为边上的中线，进而根据三角形的面积关系，即可求解． 【详解】解：∵中，，于点，于点， ∴是的中线，则， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，在等腰三角形中，是边上的高，，点E、F是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，依据图中阴影部分的面积等于等腰三角形的面积的一半，即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形中，是边上的高， ∴，且. ∵且， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴图中阴影部分的面积是. 故答案为：2． 5．如图，在中，，． (1)平分吗？为什么？ (2)若的面积是S，的面积是x，则S与x之间的数量如何表示？ 【答案】(1)不一定平分，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线以及等腰三角形的性质，三角形中线平分三角形面积；掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键． （1）根据等腰三角形“三线合一”的性质解答即可； （2）利用“等底等高的三角形的面积相等”的性质解答即可． 【详解】（1）解：不一定平分，理由如下： 在△中，，，但与不一定相等， 不一定平分； （2）解 ：在中，， 的面积与的面积相等， ， ． 题型四 根据三线合一证明 1．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形 “三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”， 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”， 故选D． 2．最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，， ，即是的高线， 是等腰三角形，， 是的角平分线，故A选项不符合题意； B、是等腰三角形，， 是的角平分线，故B选项不符合题意； C、若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意； D、， ， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考据等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ， ∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，在中，于点D，点E，F分别在上，且，则 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．利用等腰直角三角形的性质和已知条件证明即可得到． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中，， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为： 5．如图，在 中，平分，，于点，于点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】此题主要考查角平分线的性质和直角三角形全等的判定以及等腰三角形的性质， （1）首先根据角平分线的性质可得，又有，可证，即可得证． （2）根据等腰三角形三线合一即可得出结论 【详解】（1）解：平分，，， ，， 是的中点， 在和中 ， ， （2）由（1）得 ∴ ∴三角形为等腰三角形 平分， ∴ 题型五 等边三角形的性质 1．在等边中，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质三边相等，即可求解． 【详解】解：在等边中，， ∴， 故选：A． 2．如图，是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则的长为（    ） A．7 B．8 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，可得，，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴． 故选：D 3．如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质．根据三角形的外角的性质，得出，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， 又， ∴， 故答案为：． 4．如图，，都是等边三角形．与的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等边三角形的性质以及等式的性质可得出，，，然后证明，最后利用全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】解∶∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 故答案为∶ ． 5．在等边 中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)如图1，填空：__________度； (2)如图2，以为边作等边，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，判断与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，三角形三边的关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，找到图中的全等三角形，进行解答，即可． （1）根据等边三角形的性质，则，，根据全等三角形的判定和性质，则，根据三角形的外角和，即可； （2）根据等边三角形的性质，，，，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，根据三角形三边的数量关系，即可； （3）延长交于点，同（1）证明，得到，根据等边三角形的性质，角之间的数量关系，得到，根据平行线的判定和性质，则，，根据全等三角形的判定和性质，则，根据，，全等三角形的判定和性质，，推出，即可 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： （2）解：证明，如下： 解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． （3）解：，理由如下： 延长交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型六 等边三角形的判定 1．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：在中，， 如果添加条件，可判定为等边三角形．故A选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故B选项不符合题意； 如果添加条件，不能判定为等边三角形． 例如：，时，仍然可以作出，此时就不是等边三角形． 故C选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故D选项不符合题意； 故选：C． 2．满足下列条件的三角形，不一定是等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且是轴对称图形的三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的判定，根据等边三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：有两个内角是的三角形是等边三角形，故A正确； 有两边相等且是轴对称图形的三角形不一定是等边三角形；故B错误；符合题意； 有一个内角是且是轴对称图形的三角形是等边三角形．故C正确； 三边都相等的三角形是等边三角形，故D正确； 故选 B 3．已知a，b，c是的三边长，且满足，判断此三角形的形状为 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查了完全平方公式，三角形的分类，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 首先移项，然后利用完全平方公式得到，，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴此三角形的形状为等边三角形． 故答案为：等边． 4．在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定条件是解题关键．由等边三角形的定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．据此即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 要使是等边三角形，只需添加、的夹角即可． 故答案为：（答案不唯一）． 5．已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，，试判断的形状； (2)化简：． 【答案】(1)为等边三角形 (2) 【分析】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． （1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：， 且， ， ∴为等边三角形； （2）解：，，是的三边长， ，，， 原式． 题型七 等边三角形的判定和性质 1．如图，为等边三角形，D为延长线上一点，作交的延长线于E．若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，根据等边三角形的性质得出，，根据，得出，，说明为等边三角形，根据等边三角形的性质得出． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 2．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为米，则（　　） A．45米 B．48米 C．50米 D．52米 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，等边三角形的定义，根据，可得是等边三角形，由米，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴米， 故选：B． 3．如图，在中，，点，分别在边，上，与交于点，过点作线段于点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，由三角形外角的性质得到，由直角三角形的性质求出．本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由全等三角形的性质推出，，由三角形外角的性质得到． 【详解】解： ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，是等边的边上一点，是延长线上一点，连接交于点，，过点作于点，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质与判定，并利用中点构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，证明是等边三角形，得出，再证即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，，，，求的度数 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，先求解，证明为等边三角形，可得，结合，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 题型八 等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两边分别为5和8，那么它的周长是（   ） A．13 B．18 C．21 D．18或21 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关的应用，分腰长为5和8两种情况讨论，再利用三角形三边关系进行验证，再求其周长． 【详解】解：当腰长为5时，三角形的三边分别为5、5、8，满足三角形的三边关系，此时其周长为； 当腰长为8时，三角形的三边分别为8、8、5，满足三角形的三边关系，此时其周长为； 综上可知该三角形的周长为18或21， 故选：D． 2．一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则等腰三角形周长的值可能是（    ） A．10 B．15 C．12 D．12或15 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，构成三角形的定义，分腰长为3和6两种情况，确定出等腰三角形的三边长，再根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，则等腰三角形的三边长为3，3，6， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为6时，则等腰三角形的三边长为3，6，6， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：B． 3．等腰三角形，，中线把这个三角形的周长分成和的两部分，则三角形的底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，分腰长与腰长的一半是和两种情况，求出腰长，再求出底边，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断即可． 【详解】如图，设腰长为． ①腰长与腰长的一半是时， ， ∴， ∴底边， ∵ ∴三角形的三边为、、，能组成三角形； ②腰长与腰长的一半是时， ， ∴， ∴底边， ∵， ∴三角形的三边为、、，能组成三角形， 故答案为：或． 4．已知等腰中，，，、分别是边、上两点，且，当时， ； 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作，过点作，证明过点作，过点作，证明，得到，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在中，，，，M在上，且，过点A（与在同侧）作射线，若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒． (1)经过______秒时，是等腰直角三角形？ (2)经过______秒时，？判断这时的与的位置关系，说明理由； (3)经过几秒时，？说明理由． 【答案】(1)6 (2)2； (3)8秒 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质即可解答； （3）根据直角三角形两个锐角互余，可证明，进一步证明，即证明，即得出答案． 【详解】（1）解：当是等腰直角三角形时，， ∴， 故答案为：6； （2）解：当时，根据全等三角形的性质得： ,， 则， ∴ 故答案为：2； ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：当时，如图，设交点为O， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴． 题型九 格点图中画等腰三角形 1．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了网格中画等腰三角形，分为腰和为底边两种情况，分别求出符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当为腰时，有符合题意， 当为底边时，有符合题意， ∴点C的个数为3个， 故选：C． 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若点C也在格点上，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的格点数为（　　） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定．根据题意，结合图形，分情况讨论． 【详解】解：如图， ， ∴当为等腰三角形，则点C的个数有8个， 故选：A． 3．如图，由36个完全相同的小正方形组成的网格中，点A，B在格点上，在网格的格点上找到点C，使为等腰三角形，这样的点C共有 个． 【答案】10 【分析】首先由勾股定理可求得的长，然后分别从去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图所示： ①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，则符合要求的有：共6个点． ∴这样的C点有10个． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题关键是分类的数学思想． 4．如图，在7×7的正方形网格中，A，B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有 个． 【答案】6 【分析】当△ABC是等腰三角形时，有两种情况：①以AB为腰，且B为顶点的点有：C1、C2、C3，②以AB为腰，且A为顶点的点有：C4、C5、C6，③当AB为底边时，没有满足条件的点C，所以一共有6个． 【详解】解：∵AB==5，如图所示： 符合条件的点C一共有6个； 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，注意计算AB的边长是关键，找到与AB等长的线段即可；注意分类讨论的思想． 5．图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的三线合一的性质解决问题； （2）取格点，连接，取的中点，连接交一点，线段即为所求； （3）取的中点，连接，取格点，连接，取的中点，连接，作的角平分线，交于点，连接，延长交于点，点即为所求（可以证明，，再利用三角形的外角的性质证明． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，点即为所求． 题型十 找出图中的等腰三角形 1．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 2．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形； 如图 同理当为底边时，有个． 如图 所以题中共有个点使其为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答． 3．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有 个． 【答案】4． 【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA为底，可能OA为腰两种情况，依此即可得出答案． 【详解】①以A为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于1个点（O除外）； ②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于2个点； ③作线段AO的垂直平分线，此时交y轴于1个点； 共1+2+1=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论． 5．如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)图中的等腰三角形有、 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键． （1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵由（1）可得 ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有、． 题型十一 根据等角对等边证明等腰三角形 1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定，根据三角形内角和定理求出另外一个内角的度数，再根据有两个内角相等的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解：A、另外一个内角的度数为，则该三角形是等腰三角形，符合题意； B、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意； C、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意； D、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意； 故选：A． 2．下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，根据题意结合等角对等边进行画图求解即可． 【详解】解：A、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； B、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； C、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； D、不可以裁成两个等腰三角形，符合题意； 故选D． 3．在△ABC中，，，则△ABC是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的判定．根据三角形内角和求出的度数即可判断三角形的形状． 【详解】解：在中，，， ， ∴， 故， 所以的形状是等腰三角形； 故答案为：等腰． 4．在中，若，，则 等腰三角形．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可得的度数，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：是 5．已知：，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边等等： （1）只需要证明，即可证明； （2）由平角的定义得到，则可证明都是等腰直角三角形，由全等三角形的性质得到，则，进而可得，则可证明都是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴都是等腰三角形． 综上所述，，，，都是等腰三角形． 题型十二 根据等角对等边证明边相等 1．如图，在中，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为14，则的周长是（   ） A．14 B．19 C．21 D．23 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义．由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，因此，推出，同理：，于是得到，由的周长，即可求出的周长． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ， ， 同理：， ， 的周长， 的周长． 故选：C． 2．在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理． 【详解】解：A. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰三角形，故该选项正确，符合题意； D. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．如图，在中，，、分别是的平分线，经过点O，且，分别交、于点M、N，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，根据、分别是、的平分线，且，推出可得出，，进而得到，，则可得的周长为，据此即可求得答案． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ，， ∵， ，， ，， ，， ∵，， 的周长为： 故答案为：16． 4．如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行的性质、翻折变换的性质来分析、解答．证明；运用平行的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：如图， 由题翻折得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即重合部分（阴影部分）是等腰三角形， 故答案为：等腰． 5．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据三角形外角的性质，证明，然后利用证明即可； （2）利用得出，，再由，得出， 即可由求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型十三 根据等角对等边求边长 1．如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．由得到，，由等角对等边判定，继而可求． 【详解】解：平分，， 则，， 又∵， ∴， ，， ∴ 又， ， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握对角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：， ． 故选：B 3．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【详解】解：的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 4．如图，在中，与的平分线交于点F． 过F点作，分别交、于D、E．若，则的周长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等角对等边，平行线的性质及角平分线的定义．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，得，，根据的周长，即可解题． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可证， 的周长． 故答案为：5． 5．如图，是的外角的平分线，且，，，求的周长． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的判定，关键是掌握等角对等边．由是的角平分线，可得，再由平行线的性质可得，，得出，再由等角对等边可得，最后求解即可． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ，， ， ， 周长． 题型十四 直线上与己知两点组成等腰三角形的点 1．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了寻找直线上与已知两点组成等腰三角形的点，分别以已知两点为圆心画弧求交点是解题的关键． 分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，则其与轴、轴的交点（、除外）即为所求． 【详解】解：如图，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、，    故另一个顶点有、、、、、，共个， 故选：． 2．点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 3．如图，已知，点、是射线上的两个动点，且，点是边上的点，若使点、、构成等腰三角形的点恰好只有一个，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可． 【详解】设，则， 如图1，当时，即， 以为圆心，以4为半径的弧交于点，此时， 则点，，构成的是等边三角形，则此时构成等腰三角形的点恰好只有一个． 如图2．当时，即， 过点作于点， ∵， ∴． ∴， 作的垂直平分线交于点，则． 此时，以，，构成的等腰三角形的点恰好有2个． 则当时，以，，构成的等腰三角形恰好只有一个． 综上，的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，主要通过数形结合的思想解决问题，解题关键在于熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有 【答案】8 【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个 综上所述，满足条件的点P有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便． 5．在平面直角坐标系xOy中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点．若坐标系内两个整点A(p，q)、B(m，n)(m≤n)满足关于x的多项式能够因式分解为，则称点B是A的分解点．例如A(3，2)、B(1，2)满足，所以B是A的分解点． （1）在点A1(5，6)、A2(0，3)、A3(－2，0)中，请找出不存在分解点的点 ； （2）点P、Q在纵轴上（P在Q的上方），点R在横轴正半轴上，且点P、Q、R都存在分解点，若PQR面积为6，请直接写出满足条件的PQR的个数及每个三角形的顶点坐标； （3）已知点D在第一象限内，D是C的分解点，请探究OCD是否可能是等腰三角形？若可能，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）A2；（2）P在Q的上方，P1(0，－4)，Q1(0，－16)；当R2(3，0)时，可得P2(0，0)，Q2(0，－4)；当R3(4，0)时，可得P3(0，－1)，Q3(0，－4)；当R4(12，0)时，可得P4(0，0)，Q4(0，－1)，4个；（3）不可能，见解析 【分析】（1）根据B是A的分解点的定义判断即可． （2）因为P，Q在纵轴上，P，Q都存在分解点，推出P，Q的纵坐标只能是0，−1，−4，−16，当R1（1，0）时，由△PQR的面积为6，推出PQ＝12，由P在Q的上方，推出P1（0，−4），Q1（0，−16），同法可求其余各个点． （3）如图，设D（m，n），则m，n是正整数，由题意（x＋m）（x＋n）＝x2＋（m＋n）x＋mn且D为C的分解点，推出C（m＋n，mn）．分两种情形：①当m＝1时，D（1，n），C（n＋1，n），此时OC＞OD＞CD，不可能构成等腰三角形． ②当m≠1时，可以证明O，C，D共线，不存在△OCD． 【详解】解：（1）对于A1（5，6），，故B1（2，3）是A1的分解点； 对于A3（－2，0），，故B3（－2，0）是A3的分解点； 点A2不存在分解点． 故答案为A2． （2）∵P、Q在纵轴上，P、Q都存在分解点， ∴P、Q的纵坐标只能是0，－1，－4，－16， 当R1（1，0）时， ∵△PQR的面积为6， ∴PQ = 12， ∵P在Q的上方， ∴P1（0，－4），Q1（0，－16）， 同理，当R2（3，0）时，可得P2（0，0），Q2（0，－4）， 当R3（4，0）时，可得P3（0，－1），Q3（0，－4）， 当R4（12，0）时，可得P4（0，0），Q4（0，－1）， 综上所述，△PQR的个数为4； （3）不可能．理由如下： 如图，设D（m，n），则m，n是正整数， ∵且D为C的分解点， ∴C（m+n，mn）． 当m = 1时，D（1，n），C（n+1，n），此时OC>OD>CD，不可能构成等腰三角形． 当时，则m+n>m，mn>m，则点C必在直线x = m，y = n相交直线的右上角区域， 此时OC>OD，OC>CD，若△OCD为等腰三角形，只可能OD = CD， 如图，过C作CN⊥直线y = n，过点D作DM⊥x轴于M． 在Rt△ODM和Rt△CDN中，DM = DN = n，若OD = CD， 则Rt△ODM≌Rt△CDN（HL）， ∴DM = CN，即m = mn－n，此式子可以化为 ， ∵m，n为正整数， ∴m = 2，n = 2，即D（2，2），C（4，4）， 此时O，C，D共线，△OCD不存在， 综上所述，△OCD不可能为等腰三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了分解点的定义，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型十五 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】分或为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；    ∵，∴是等边三角形，∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形． 2．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 【答案】B 【分析】分类讨论①②③时，求出点P的个数． 【详解】因为为等腰三角形， 所以可分三类讨论： ①(有一个)．此时只要以A为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P； ②(有两个)．此时只要以O为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择； ③(一个)．作的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择． 综上所述，共有4个． 故选B.    【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质，解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏． 3．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有 个． 【答案】8 【分析】根据等腰三角形的性质作图即可； 【详解】解：如图， 以AB为腰的三角形有6个， 分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4，△ABP5，△ABP6； 以AB为底的三角形有两个， 分别是△ABP7，△ABP8． 因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，位置与坐标，准确分析判断是解题的关键． 4．过三角形一个顶点的直线，把原三角形分割成两个三角形，要求分得的两个三角形中至少有一个是等腰三角形． （1）如果原三角形是顶点为108°的等腰三角形，这样的直线有 条． （2）如果原三角形是等腰直角三角形，这样的直线有 条． （3）如果原三角形是有一个锐角是30°的直角三角形，这样的直线有 条． 【答案】 2 3 4 【分析】（1）根据题意，可先得出底角，然后即可判定直线； （2）首先斜边的高符合题意，高的两侧各有一条； （3）过90°角顶点有两条，过60°角顶点有两条. 【详解】（1）如图所示的两条虚线： 故答案为：2； （2）如图所示的3条虚线： 故答案为：3； （3）如图所示4条虚线： 故答案为：4. 【点睛】此题主要考查等腰三角形以及直角三角形的性质，熟练掌握，即可解题. 5．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标. 【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4） 【分析】因为题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5； （2）OD是等腰三角形的一条腰时： ①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 在直角△OPC中，CP= =3，则P的坐标是（3，4）； ②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 过D作DM⊥BC于点M， 在直角△PDM中，PM==3， 当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）； 当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）． 故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键． 题型十六 等腰三角形的性质和判定 1．如图，在中，，与的平分线交于点O，过点O且平行于，则图中等腰三角形的个数为（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义．根据等边对等角得到，根据平行线的性质即可证明，得到，则是等腰三角形，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，，，得到，，都是等腰三角形，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵分别为与的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，，是等腰三角形， ∴本题有5个等腰三角形． 故选：C． 2．在中，，则下列说法正确的是（    ） A．边上的高线平分 B．边上的中垂线经过点 C．边上的中线与垂直 D．的平分线与垂直 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；根据等腰三角形的性质即可求解； 【详解】解：， ， 故三角形为等腰三角形， 等腰三角形顶角平分线，底边上的中线与底边上的高重合， 即边上的中线与垂直； 故选：C． 3．如图，直线，交于点，点是直线上的点，在直线上寻找一点，使是等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由条件确定出点的位置是解题的关键，注意分类讨论． 分别以、、为顶角进行讨论即可求得答案． 【详解】解：∵为等腰三角形， ∴分三种情况： （1）当以为顶角时，则有，即点在线段的垂直平分线上，可知满足点在直线上只有一个点； （2）当以为顶角时，则有，由两直线夹角为，可知此时点在直线的上，一个在直线的上方，一个点在直线的下方，一共有两个点； （3）当以为顶角时，则有，此时点在直线的上，有一两个点． 综上可知满足条件的点有4个． 故答案为：4． 4．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点都在格点上，连接，，则 ． 【答案】/45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据题意证明出，得到，同理得到，得到，，然后证明出是等腰直角三角形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 由网格可得，，， ∴ ∴ 同理可得， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴． 故答案为：． 5．如图，在中，，D是上的一点，，过点D作的垂线交于点，交于点．求证：垂直平分． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；先证，即可得出是的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证． 【详解】证明：，且， ， 在和中， ， ∴， ， ， 是等腰三角形， ，， 垂直平分． 1．如图所示，在中，，，，于点，于点，则下列三个结论：①；②；③中（ ） A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①和正确 D．仅①和③正确 【答案】B 【分析】本题利用了全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．只要证明，推出，即可判断①；由，推出，以及，可得，即可判断②．根据在与中，只有，以及，即可判断③． 【详解】解：∵于点，于点 ∴在和中， ， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，②正确， 在与中，只有，以及， ∴不能判断，故③错误； 故选：B． 2．如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，先根据等边三角形的性质求出，的度数，再根据等腰三角形的性质得，可求答案． 【详解】解∶∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，是等边三角形，，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的周长，由等边三角形和平行线的性质可得为等边三角形，进而求出即可求解，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴， ∴的周长为， 故选：． 4．如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，一元一次方程的应用． 设运动时间为，表示出，的长，由得到，从而，即可得到关于t的方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则 ，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定得出可能为底，可能为腰两种情况，依此即可得出答案． 【详解】解：如图：①以A为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于两个点（除外）； ②以O为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于四个点； ③作线段的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点， 共有：， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论． 6．如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出是解答本题的关键．由三角形内角和定理得，由等腰三角形的性质得，，从而可求，得出，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：4． 7．等边中，射线上有一点D，连结，以为边向上作等边，连结和，下列结论：①；②与直线夹的锐角为；③当D在射线上时，总有；④当时，，正确的结论序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用等边三角形性质证明，可以证明①②正确，③错误，当时，易知，根据即可判断④正确． 【详解】解：如图，设交于O． ，都是等边三角形， ，，， ， ， ，， 故①正确； ， ， 与夹的锐角为， 故②正确； ，， ， 故③错误； 当时， ， ， ， 故④正确， 故答案为：①②④． 8．如图，在中，，和是内的两点，平分，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，延长交于点，延长交于点，由等腰三角形的性质得，，证明是等边三角形，则，，再根据角所对直角边是斜边的一半得即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵在中，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，，分别是和的角平分线，且，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由分别是和的角平分线，得，，根据平行线的性质得出，，从而有，，则，，然后代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵分别是和的角平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 10．（1）ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积20，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 ． （2）如图，直角坐标系中，点，点在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点共 个． 【答案】 6 4 【分析】（1）根据题意过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，利用角平分线的性质可知OE=OF=OD=2，利用三角形的面积公式进行计算即可； （2）根据题意分AB=AP，BP=AB，AP=BP三种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO， ∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC， ∴OE=OF=OD=2， ∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC =AB•OE+AC•OF+BC•OD =×6×2+×8×2+×BC×2 ∵△ABC的面积20， ∴×6×2+×8×2+×BC×2=20， 解得：BC=6. 故答案为：6； （2）如图，点A（-2，2）、B（0，1）， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（-1，0），P2（-3，0），此时（AP=AB）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（-2，0），（2，0）不能组成△ABP，故舍去，此时（BP=AB）； ③AB的垂直平分线交x轴于一点P4（PA=PB），此时（AP=BP）； 设此时P4（x，0）， 则（x+2）2+4=x2+1， 解得：x=- ， ∴P4（- ，0）． ∴符合条件的点有4个． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线，利用角平分线的性质是解答此题的关键．注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 11．（1）如图1，在中，，是高，于点，于点，求证：． （2）如图2，在中，，，和分别平分和，求证：．    【答案】（1）证明见见解；（2）证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质，得到，进而证明，即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质，得到，，再结合角平分线的定义，得到，证明，即可得到结论； 【详解】（1）证明：，是高， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ，， 和分别平分和， ，， ， 在和中， ， ， ． 12．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 13．如图，在中，，点在上，且， (1)请直接写出图中所有的等腰三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定． （1）由在中，，，可得图中的等腰三角形有：，，； （2）首先设，然后由等腰三角形的性质，求得，然后由三角形的内角和定理，得到方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：在中，，， 图中的等腰三角形有：，，； （2）设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ． 14．如图，中，，点D、E分别是、上两点，且，交于点．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了等角对等边、全等三角形的判定与性质，由等角对等边得出，证明，得出，求出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒速度沿折线运动（回到点即停止）．设运动时间为秒．    （1）如图1，若点恰好在的角平分线上，求的值． （2）当为何值时，？ （3）在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案） 【答案】（1）秒． （2）秒或秒． （3）秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）过点作，从而可得在≌，在中再根据勾股定理即可求出答案． （2）分别讨论P在AB，BC，AC三种情况，明显是BC边上不可能，只要讨论AB，AC两种情况即可． （3）讨论P在AB边上时每一条边都可能是底的情况，讨论P在AC边上时每一条边都可能是底的情况，解出即可． 【详解】（1）如图所示，过点作于点，    在的角平分线上，，， ， 在和中 ， ， ， 又，，， 在中，由勾股定理得： ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ， 秒． （2）①当点在上时， ， ， 秒， ②当点在上时，如图所示，    过点作于点， ， 代入可得：， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得： ， ， 秒， 综上，当的值为秒或秒时，． （3）①当时， ，则， 秒， ②当时，过作，如图所示，    ，， 为的中线， 又， ， 为的中位线， 为的中点， ， ， 秒， ③当，点在上时， ， 秒， 点在上时，如图所示，过作于，    由（2）可得：，， ，， 为的中线， 点是的中点， ，则， 秒． 综上，当的值为秒或秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形，勾股定理等知识点，孰练记住它们的性质和会分类讨论思想是解决问题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 全等三角形 13.3 等腰三角形（16大题型提分练） 题型一 等边对等角 1．若等腰三角形的底角为，则它的顶角度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，为的角平分线，，，的度数是（   ） A． B． C． D． 3．已知，是的平分线上一点，若在射线上存在点使是等腰三角形，则的度数是 ． 4．等腰三角形的一个内角的度数是，则底角的度数是 ． 5．如图，点E在上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型二 根据等边对等角证明 1．如图，线段和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知中，，点D为的中点，如果点M在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段上由C点向A点运动，若使与全等，则点N的运动速度应为 厘米/秒． 4．如图，已知，若依据“”证明，则需增加的一个条件是 ． 5．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)如图1，在中，，D是上任意一点，则与________“融通三角形”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，与是“融通三角形”，其中，，，求证：． 题型三 三线合一 1．如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一” C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 2．如图是人字型屋架的设计图，由、、、四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且，D为的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（    ） A．和焊接点B B．和焊接点A C．和焊接点A D．和焊接点D 3．如图，中，，于点，于点，于点，，则 ． 4．如图，在等腰三角形中，是边上的高，，点E、F是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 5．如图，在中，，． (1)平分吗？为什么？ (2)若的面积是S，的面积是x，则S与x之间的数量如何表示？ 题型四 根据三线合一证明 1．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 2．最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （    ）    A． B． C． D． 3．如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 4．如图，在中，于点D，点E，F分别在上，且，则 ． 5．如图，在 中，平分，，于点，于点， (1)求证：； (2)求证： 题型五 等边三角形的性质 1．在等边中，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则的长为（    ） A．7 B．8 C． D．9 3．如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    4．如图，，都是等边三角形．与的关系是 ． 5．在等边 中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)如图1，填空：__________度； (2)如图2，以为边作等边，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，判断与有什么数量关系？并说明理由． 题型六 等边三角形的判定 1．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．满足下列条件的三角形，不一定是等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且是轴对称图形的三角形 D．三边都相等的三角形 3．已知a，b，c是的三边长，且满足，判断此三角形的形状为 三角形． 4．在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 5．已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，，试判断的形状； (2)化简：． 题型七 等边三角形的判定和性质 1．如图，为等边三角形，D为延长线上一点，作交的延长线于E．若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 2．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为米，则（　　） A．45米 B．48米 C．50米 D．52米 3．如图，在中，，点，分别在边，上，与交于点，过点作线段于点．若，则的度数为 ． 4．如图，是等边的边上一点，是延长线上一点，连接交于点，，过点作于点，，则线段的长度为 ． 5．如图，，，，求的度数 题型八 等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两边分别为5和8，那么它的周长是（   ） A．13 B．18 C．21 D．18或21 2．一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则等腰三角形周长的值可能是（    ） A．10 B．15 C．12 D．12或15 3．等腰三角形，，中线把这个三角形的周长分成和的两部分，则三角形的底边长为 ． 4．已知等腰中，，，、分别是边、上两点，且，当时， ； 5．如图，在中，，，，M在上，且，过点A（与在同侧）作射线，若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒． (1)经过______秒时，是等腰直角三角形？ (2)经过______秒时，？判断这时的与的位置关系，说明理由； (3)经过几秒时，？说明理由． 题型九 格点图中画等腰三角形 1．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若点C也在格点上，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的格点数为（　　） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 3．如图，由36个完全相同的小正方形组成的网格中，点A，B在格点上，在网格的格点上找到点C，使为等腰三角形，这样的点C共有 个． 4．如图，在7×7的正方形网格中，A，B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有 个． 5．图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 题型十 找出图中的等腰三角形 1．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 2．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    4．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有 个． 5．如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 题型十一 根据等角对等边证明等腰三角形 1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（    ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，，，则△ABC是 三角形． 4．在中，若，，则 等腰三角形．（填“是”或“不是”） 5．已知：，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形． 题型十二 根据等角对等边证明边相等 1．如图，在中，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为14，则的周长是（   ） A．14 B．19 C．21 D．23 2．在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．，    3．如图，在中，，、分别是的平分线，经过点O，且，分别交、于点M、N，则的周长是 ． 4．如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是 三角形． 5．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十三 根据等角对等边求边长 1．如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 2．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 4．如图，在中，与的平分线交于点F． 过F点作，分别交、于D、E．若，则的周长是 ． 5．如图，是的外角的平分线，且，，，求的周长． 题型十四 直线上与己知两点组成等腰三角形的点 1．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，已知，点、是射线上的两个动点，且，点是边上的点，若使点、、构成等腰三角形的点恰好只有一个，则的取值范围是 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有 5．在平面直角坐标系xOy中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点．若坐标系内两个整点A(p，q)、B(m，n)(m≤n)满足关于x的多项式能够因式分解为，则称点B是A的分解点．例如A(3，2)、B(1，2)满足，所以B是A的分解点． （1）在点A1(5，6)、A2(0，3)、A3(－2，0)中，请找出不存在分解点的点 ； （2）点P、Q在纵轴上（P在Q的上方），点R在横轴正半轴上，且点P、Q、R都存在分解点，若PQR面积为6，请直接写出满足条件的PQR的个数及每个三角形的顶点坐标； （3）已知点D在第一象限内，D是C的分解点，请探究OCD是否可能是等腰三角形？若可能，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不可能，请说明理由． 题型十五 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 3．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有 个． 4．过三角形一个顶点的直线，把原三角形分割成两个三角形，要求分得的两个三角形中至少有一个是等腰三角形． （1）如果原三角形是顶点为108°的等腰三角形，这样的直线有 条． （2）如果原三角形是等腰直角三角形，这样的直线有 条． （3）如果原三角形是有一个锐角是30°的直角三角形，这样的直线有 条． 5．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标. 题型十六 等腰三角形的性质和判定 1．如图，在中，，与的平分线交于点O，过点O且平行于，则图中等腰三角形的个数为（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 2．在中，，则下列说法正确的是（    ） A．边上的高线平分 B．边上的中垂线经过点 C．边上的中线与垂直 D．的平分线与垂直 3．如图，直线，交于点，点是直线上的点，在直线上寻找一点，使是等腰三角形，这样的点有 个． 4．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点都在格点上，连接，，则 ． 5．如图，在中，，D是上的一点，，过点D作的垂线交于点，交于点．求证：垂直平分． 1．如图所示，在中，，，，于点，于点，则下列三个结论：①；②；③中（ ） A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①和正确 D．仅①和③正确 2．如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，是等边三角形，，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 6．如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是 ． 7．等边中，射线上有一点D，连结，以为边向上作等边，连结和，下列结论：①；②与直线夹的锐角为；③当D在射线上时，总有；④当时，，正确的结论序号有 ． 8．如图，在中，，和是内的两点，平分，，若，，则的长为 ． 9．如图，在中，，分别是和的角平分线，且，，则的周长是 ． 10．（1）ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积20，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 ． （2）如图，直角坐标系中，点，点在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点共 个． 11．（1）如图1，在中，，是高，于点，于点，求证：． （2）如图2，在中，，，和分别平分和，求证：．    12．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案） 13．如图，在中，，点在上，且， (1)请直接写出图中所有的等腰三角形； (2)求的度数． 14．如图，中，，点D、E分别是、上两点，且，交于点．求证： 15．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒速度沿折线运动（回到点即停止）．设运动时间为秒．    （1）如图1，若点恰好在的角平分线上，求的值． （2）当为何值时，？ （3）在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$