专题04 三角形、角平分线、垂直平分线期中复习压轴题（4大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

专题04 三角形、角平分线、垂直平分线期中复习压轴题 三角形的内外角 1．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，D是上一点，E是上一点，相交于点F，，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，，分别是的高和角平分线．若设，，则用，表示的关系式为（      ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，，，，则 ． 4．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，已知直线，，，则∠3的度数为 ． 5．（23-24八年级上·河南漯河·期中）如图，是的外角，平分平分，且交于点D．若，则的度数为 ． 多边形的内外角 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是 边形． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，某同学从A点出发前进10米，向右转，又向右转，这样下去，一共走了 米． 3．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为 ． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若，则 ． 5．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在六边形中，若与的角平分线交于点，则等于 °． 角平分线的性质 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，平分，于点E，，，则的面积为 ． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，若，则点E到的距离为 ． 3．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，将沿折叠，点落在点处，连接，若平分，平分，且，则的度数为 ． 垂直平分线的性质 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，若，则的长为 ． 2．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为 ． 三角形内外角与角平分线的综合问题 1．（22-23七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，AE是的高，，， 【探究发现】 （1）如图1，若AD是的平分线，求的度数； 【迁移拓展】 （2）如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 2．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P． (1)如图1，如果，那么______°； (2)如图1，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系． 3．（23-24七年级下·广东珠海·期中）如图1，已知，A，B分别是和上一点，平分，平分．      (1)证明：； (2)如图2，若G是上一点，平分，且，求的度数； (3)如图3，过A作于点N，作交于Q，平分，求的度数． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)已知：是的一个外角（如图1）．求证：． 证明：如图2，过点作．（请完成后面的证明） (2)如图3，线段相交于点，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系． (3)如图4，由线段组成的一个“风筝”形状，运用（2）中得出的数量关系，猜想与的数量关系，并说明理由． 5．（23-24七年级下·广东惠州·期中）将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N． 【发现】 （1）如图1，若点A在内，当时，则 ； （2）如图2，若点A在内，当时， ； 【探究】 若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由； 【应用】 如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数； 【拓展】 如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ． 6．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知在中，点D在上，且． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，平分交于点F，交于点E． ①求证：； ②的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 角平分线的判定 1．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，垂足为F，，求证：点D在的平分线上． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，，点分别在边上，，与互为补角，连接． (1)求证：平分； (2)求证：． 垂直平分线的判定 1．（23-24八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，．    (1)求证：． (2)连接，求证垂直平分． 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点．    (1)求证：点是的中点； (2)若，，求的长． 3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是的角平分线，，，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 4．（23-24八年级上·广东中山·期中）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】 对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1．发现四边形满足：，．查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步应用】 (1)如图1，在中，若，，那么___________°． 【类比探究】 借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小红对筝形的性质进行了探究．如图2，求证： (2)； (3)垂直平分线段．    全等性质与HL综合 1．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，，E，F分别为线段上的两点，于E，于F，且，交于点M． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图①所示，在一条直线上，，过分别作，，若． (1)请猜想线段的数量关系，不用说明理由． (2)若将的边沿方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，是的中线，，垂足为，交的延长线于点是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．（23-24八年级上·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，，，是上一点，且，过点作，垂足为． (1)证明：． (2)猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 5．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形、角平分线、垂直平分线期中复习压轴题 三角形的内外角 1．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，D是上一点，E是上一点，相交于点F，，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解决此题的关键．先利用三角形外角的性质求出，再利用三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，，分别是的高和角平分线．若设，，则用，表示的关系式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，由高的定义得到，则，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，，，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理等知识点，根据题意得，结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ 故答案为： 4．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，已知直线，，，则∠3的度数为 ． 【答案】/58度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．先根据三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为： 5．（23-24八年级上·河南漯河·期中）如图，是的外角，平分平分，且交于点D．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键．根据角平分线的定义，由平分平分，得．根据三角形外角的性质，得，从而推断出． 【详解】解：∵平分平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 多边形的内外角 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是 边形． 【答案】六/6 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题，利用多边形的内角和公式即可求解，熟知相关公式是解题的关键． 【详解】解：因为多边形的内角和公式为， 所以， 解得， 所以这个多边形的边数是6． 故答案为：六． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，某同学从A点出发前进10米，向右转，又向右转，这样下去，一共走了 米． 【答案】200 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形的外角，掌握公式即可求出． 利用多边形外角和等于360度即可求出答案． 【详解】解：因为小陈从点出发当他第一次回到出发点A时正好走了一个正多边形， ∵正多边形的外角和等于， （米）． 故答案为：200． 3．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题主要考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可． 【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等， ， ， ， 则该正多边形的边数为， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若，则 ． 【答案】 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形的外角和为，先求得，根据邻补角即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在六边形中，若与的角平分线交于点，则等于 °． 【答案】60 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，角平分线的定义，三角形内角和，解题的关键是根据六边形的内角和为，，求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：六边形的内角和是：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 角平分线的性质 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，平分，于点E，，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质．由角平分线的性质得到是解题的关键． 由角平分线的性质推出，由三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，过D作于H， 平分，于点E， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，若，则点E到的距离为 ． 【答案】5 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点E作与点F，由三角形的高线可得出，再根据角平分线的性质定理即可得出． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， 即点E到的距离为5， 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，将沿折叠，点落在点处，连接，若平分，平分，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．连接，先求出，再由平分，平分，可得平分，最后由三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， 平分，平分，， ，， ， ， ， ， 平分，平分，， 平分， ， 沿折叠， ， ， 故答案为：． 垂直平分线的性质 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，若，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：1． 2．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为 ． 【答案】16 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 三角形内外角与角平分线的综合问题 1．（22-23七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，AE是的高，，， 【探究发现】 （1）如图1，若AD是的平分线，求的度数； 【迁移拓展】 （2）如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】（1）12°；（2）45° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求得度数，进而求解即可得出结论； （2）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】解：（1），，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ， ； （2）和的角平分线交于点G， ，， ，， ， 即， 是的高， ， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线，掌握相关性质以及定义是解题的关键． 2．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P． (1)如图1，如果，那么______°； (2)如图1，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)； (3)． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （3）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ； 故答案为：； （2）解：； 理由如下： 同理， 与的平分线交于点， ，， ； （3）解：， 的外角，的平分线交于点， ，． ， ， ； 3．（23-24七年级下·广东珠海·期中）如图1，已知，A，B分别是和上一点，平分，平分．      (1)证明：； (2)如图2，若G是上一点，平分，且，求的度数； (3)如图3，过A作于点N，作交于Q，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由角平分线的定义和平角的性质可得结论； （2）由角平分线的定义和三角形内角和可求解； （3）由平行线的性质和角平分线的定义可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴，， 又平分，且， ∴， ∴ ． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)已知：是的一个外角（如图1）．求证：． 证明：如图2，过点作．（请完成后面的证明） (2)如图3，线段相交于点，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系． (3)如图4，由线段组成的一个“风筝”形状，运用（2）中得出的数量关系，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）结合（2），根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，过点C作， ∴， ∵， ∴； （2）解：在图3中，有， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴． 5．（23-24七年级下·广东惠州·期中）将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N． 【发现】 （1）如图1，若点A在内，当时，则 ； （2）如图2，若点A在内，当时， ； 【探究】 若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由； 【应用】 如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数； 【拓展】 如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ． 【答案】（1）；（2），探究：，理由见解析；应用：；拓展： 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，正确识图是解本题的关键． （1）先判断出，进而得出，即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； 探究：同（1）的方法即可得出结论； 应用：由（探究）知，，进而求出，即可求出，最后用平角的定义即可得出结论； 拓展：首先利用角的关系推导出，结合，得到，进而得解． 【详解】（1）解：∵是直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是直角三角形， ∴， ∴，在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， 应用：由（探究）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 拓展：∵，，，， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 6．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知在中，点D在上，且． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，平分交于点F，交于点E． ①求证：； ②的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）根据垂直定义，得到，根据三角形内角和定理，结合即可得证； （2）①根据角平分线的定义，得到，在和中，根据三角形外角性质，结合，可得结论；②根据角平分线的定义，证明,得到，得到，根据，得到，即得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，且， ∴； （2）①∵平分， ∴， ∵，，且， ∴； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①知，． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．熟练掌握三角形角平分线的定义，垂直定义，三角形的内角和定理，平角性质，直角三角形的两个锐角性质，三角形的外角性质，是解题的关键． 角平分线的判定 1．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，垂足为F，，求证：点D在的平分线上． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质．证明，可得，再由角平分线的判定定理，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D在的平分线上． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等角对等边得出，根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，即可求解； （2）过点作的垂线，垂足分别为点，根据角平分线的性质与判定即可得证； 【详解】（1）分别为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作的垂线，垂足分别为点，   ， ， 又， ， ， ， 同理， 平分． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质以及角平分的性质与判定是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，，点分别在边上，，与互为补角，连接． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】（）过点作于点，根据全等三角形的判定和性质定理以及平分线的性质即可得到结论； （）证明，再根据性质可得，最后由线段和差即可． 【详解】（1）如图，证明：过点作于点 ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分 （2）由（）得：，，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 垂直平分线的判定 1．（23-24八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，．    (1)求证：． (2)连接，求证垂直平分． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键． （1）利用角平分线的性质可得，再利用“”证明，即可证明； （2）利用“ “证明，可得，所以点在的垂直平分线上，根据，可得点在的垂直平分线上，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：于点， ， 又平分，， ， 在和中， ， ． （2）证明：在和中， ， ， ． 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分； 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点．    (1)求证：点是的中点； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）根据平行线的性质及中点性质，再结合已知条件，利用全等三角形的判定定理得到，再由全等性质即可得证； （2）由（1）中，结合中垂线的判定与性质即可得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在与中， ， ，即点是的中点； （2）解：， ， 又，， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及平行线性质、中点定义与判定、三角形全等的判定与性质、中垂线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等判定与性质、中垂线的判定与性质是解决问题的关键． 3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是的角平分线，，，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，则点D在的垂直平分线上；再证明得到，则点A在的垂直平分线上，由此即可证明结论； （2）根据进行计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴， ∴点D在的垂直平分线上． 又∵，， ∴， ∴， ∴点A在的垂直平分线上． ∴是的垂直平分线； （2）解；∵， ∴ ． 4．（23-24八年级上·广东中山·期中）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】 对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1．发现四边形满足：，．查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步应用】 (1)如图1，在中，若，，那么___________°． 【类比探究】 借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小红对筝形的性质进行了探究．如图2，求证： (2)； (3)垂直平分线段．    【答案】(1)20； (2)见解析； (3)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）证明，根据内角和定理、外角性质和全等三角形的性质即可求解； （2）根据即可证明； （3）根据（2）全等的性质和线段垂直平分线的判定定理即可证明； 【详解】（1）在中，若，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）证明：在和中， ∴； （3）证明：∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定． 全等性质与HL综合 1．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，，E，F分别为线段上的两点，于E，于F，且，交于点M． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质： （1）先证明，再根据证明，根据全等三角形对应边相等可得出； （2）根据证明即可得出，代入数据可得结论． 【详解】（1）∵， ∴，即 在和中， ∴ ∴； （2）∵，， ∴, 在和中, ∴ ∴ ∴ 2．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图①所示，在一条直线上，，过分别作，，若． (1)请猜想线段的数量关系，不用说明理由． (2)若将的边沿方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1)； (2)结论依然成立，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（）．证明，得到，再证明即可求证； （）结论依然成立．理由与（）同理； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：． 理由：，， ， ， ， 即， 在和中，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：结论依然成立． 理由：，， ， ， ， 即， 在和中，， ， ， 在和中， ， ， ． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，是的中线，，垂足为，交的延长线于点是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而证明，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵AD是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，，，是上一点，且，过点作，垂足为． (1)证明：． (2)猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）根据两直线平行内错角相等可求，再证明，即可得出结论； （2）连接，利用证明即可得出． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图，连接， ，， ， 在和中， ， ， ． 5．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． 【答案】(1)见解析； (2)①，理由见解析；②． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）①连结，根据全等三角形的性质及三角形等面积法可得，再利用证得，进而可求解；②根据全等三角形的性质可得，，设，则，利用即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中 ， ． ． （2）①，理由如下： 连结，如图：   ，， 是边上的高，是边上的高， ， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ． ②由①得， ，， 在和中， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， 点为的中点， ， 设，则， ， 即：， ， ． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$