精品解析：上海市新中高级中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

2027届上海市新中高级中学高一新生综合素质摸底试卷 数学试卷 （考试时间40分钟 满分100分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、考试中途不得传借文具. 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.不得携带任何手机，电子手表等通讯设备，开考后一经发现，直接以作弊论处. 4.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰. 一.填空题（8题，共40分，每题5分） 1. 若集合=集合，则满足条件的的解集为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等，元素相同，即可求解 【详解】因为= 所以 或 故答案为： 2. 已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出3个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为__________ 【答案】（1）（3） 【解析】 【分析】由集合的定义逐个判断即可. 【详解】若 ，则0不能作为分母，故，故（1）正确； 当时时，，所以为单元素集，故（2）错误； 当时时，，所以集合一定包含， 当取其他整数时，则其倒数必在集合中， 所以当取遍可以取的所有数时，集合的元素一定为偶数，故（3）正确. 故答案为：（1）（3）. 3. 已知集合，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】检验A中元素是否为方程的根，确定集合的交集结果即可. 【详解】，， 把代入方程，方程不成立，故， 再把代入方程，方程不成立，故， , 故答案为： 4. 某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购_________张车票. 【答案】27 【解析】 【分析】根据韦恩图，即可求解总人数. 【详解】由题意可得韦恩图，如图所示， 参加数理化竞赛的学生有人， 所以需预购27张车票. 故答案为：27 5. 如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是_______（请用各集合的交，并，补表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用交集和补集的定义表示阴影部分所表示的集合. 【详解】由图可知，阴影部分的元素满足的条件是： 在集合中，但不在集合中， 所以可以表示为：. 故答案为：. 6. 若一元二次方程的两根分别为，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理以及方程的根，即可代入求解. 【详解】由于的两根分别为，故且， 故， 故答案为： 7. 集合有且仅有2个子集，则的取值集合为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合子集个数确定集合中元素个数，分和求解即可. 【详解】因为集合有且仅有2个子集，所以集合只有一个元素， 所以方程即只有一个根， 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，原方程化为，所以， 解得，经检验，符合题意，所以的取值集合为. 故答案为：. 8. 若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的.已知集合，集合是的三元子集，即.若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“新中集”.不同的“新中集”的个数为______ 【答案】1012 【解析】 【分析】根据和可得，，进而可得. 【详解】由得，代入即， 整理可得，展开可得， 解得或（根据集合元素的互异性，舍去）， 代入可得， 则， 所以为的整数倍，且不为0，则共有个不同的集合为“新中集”， 故答案为：1012 二.选择题（2题，共10分，每题5分） 9. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，，所以 ，故；同理， ，故.因为，故.故最低费用为.故选B. 10. 已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：因为，， 所以， 当时，等价于， 所以不成立，故不充分； 当时，，故必要， 故选：B． 三.解答题（共50分，11~13每题8分，14~15每题13分） 11. 已知关于x的不等式的解集为M. （1）当时，求集合M； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接代入得，解出即可. （2）分当则分母为0和分母不为0时讨论，若分母不为0，则将代入不不等式左边，不等号与原符号相反，得到关于的分式不等式，解出范围，最后综合即可. 【小问1详解】 当时，，则，解得， 故集合. 【小问2详解】 当， 若分母，， 若分母不为0，则将代入不等式左边得， 即，解得， 综上，实数的取值范围是. 12. 网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人. （1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数； （2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用容斥原理求出样本中移动支付和共享单车两种都没使用的人数，从而利用频率估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数； （2）利用列举法结合古典概型概率公式计算概率即可. 【小问1详解】 样本中使用过移动支付的人组成集合，使用共享单车的人组成集合， 表示集合中的元素，由题意，，， 所以， 所以样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为， 从而估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为； 【小问2详解】 由（1）知样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生有人，记为A，B，C，D，E， 其中有3人坐过高铁的学生记为A，B，C. 则从5人中抽取2人的所有抽取情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种， 其中2名学生都坐过高铁的有AB，AC，BC，共3种，故所求概率为. 所以这2名学生都坐过高铁的概率为. 13. 已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求:m的值及其对应a的取值范围. 【答案】当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，则． 【解析】 【分析】分，且，且三种情况，分别求得m的取值，再根据求解对应a的范围即可． 【详解】由于且，故， 当时，，此时，不合题意，故， 由于得，， ①若，若，则，不合题意，所以，则， 当时，解得，此时， 又因为，所以，解得； 当时，解得，此时， 又因为，所以，解得； ②若，时，即， 当时，，联立解得，此时， 又因为，则，解得； 当时，，联立解得，此时， 又因为，所以，解得； ③若，时，即， 由，得，由根与系数关系得，，解得， 此时，，符合题意， 又因为，所以，解得， 综上所述，当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，则． 14. 利用反证法，是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略，请利用它证明我们初中所学的真命题 （1）求证：是无理数 （2）①求证：三角形的内角和为180° ②求证：三角形至少有一个内角大于等于60° 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）假设是有理数，那么它可以表示成（是互质的两个正整数），推理可得均是3的倍数，得出矛盾，可得结论； （2）①：假设三角形的内角和不等于，过点作，由假设可得出，进而得出矛盾，可得结论； ②：假设三角形至少有一个内角大于等于不成立，可得出，进而可得出矛盾，可得结论. 【小问1详解】 假设是有理数，那么它可以表示成（是互质的两个正整数）， 所以，所以，即是3的倍数，所以是3的倍数， 所以可设，所以，所以， 所以是3的倍数，所以是3的倍数， 这与“是互质的两个正整数”相矛盾，所以假设不成立，故是无理数. 【小问2详解】 ①：假设三角形的内角和不等于，即， 过点作，则， 因为，所以， 即，这与是平角相矛盾， 故假设不成立，所以三角形的内角和等于. ②：假设三角形至少有一个内角大于等于不成立，即三角形三个内角都小于， 则可得，这与三角形的内角和等于相矛盾， 所以假设不成立，所以三角形至少有一个内角大于等于. 15. 已知集合，，. （1）试判断：0，1234是否属于集合A，并说明理由； （2）试判断：A与B的包含关系，并说明理由； （3）求：. 【答案】（1）0属于集合A，1234不属于集合A，理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对集合进行变形，通过对从奇数和偶数的角度进行分析得到集合中元素满足的条件. （2）利用集合间的关系进行分析. （3）根据交集的定义得到结果. 【小问1详解】 在集合中，，， ①当同奇或者同偶时，，均为偶数，所以为4的倍数， ②当为一奇一偶时，，均为奇数，所以为奇数， 所以集合中的元素为奇数和4的倍数， 所以0属于集合A，1234不属于集合A. 【小问2详解】 ，表示所有奇数， 而中的元素为所有奇数和4的倍数，故； 【小问3详解】 ，， 所以集合中的元素为：4，5，6，……，30，31， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届上海市新中高级中学高一新生综合素质摸底试卷 数学试卷 （考试时间40分钟 满分100分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、考试中途不得传借文具. 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.不得携带任何手机，电子手表等通讯设备，开考后一经发现，直接以作弊论处. 4.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰. 一.填空题（8题，共40分，每题5分） 1. 若集合=集合，则满足条件的的解集为_________ 2. 已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出3个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为__________ 3. 已知集合，，则__________． 4. 某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购_________张车票. 5. 如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是_______（请用各集合的交，并，补表示） 6. 若一元二次方程的两根分别为，则______ 7. 集合有且仅有2个子集，则的取值集合为______ 8. 若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的.已知集合，集合是的三元子集，即.若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“新中集”.不同的“新中集”的个数为______ 二.选择题（2题，共10分，每题5分） 9. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A. B. C. D. 10. 已知，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，且，．那么“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 三.解答题（共50分，11~13每题8分，14~15每题13分） 11. 已知关于x的不等式的解集为M. （1）当时，求集合M； （2）若，求实数a的取值范围. 12. 网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人. （1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数； （2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率. 13. 已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求:m的值及其对应a的取值范围. 14. 利用反证法，是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略，请利用它证明我们初中所学的真命题 （1）求证：是无理数 （2）①求证：三角形的内角和为180° ②求证：三角形至少有一个内角大于等于60° 15. 已知集合，，. （1）试判断：0，1234是否属于集合A，并说明理由； （2）试判断：A与B的包含关系，并说明理由； （3）求：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $