专题03 函数的概念及基本性质（4基础2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题03 函数的概念及基本性质 1、 基本考点 1、函数的定义域 2、函数的值域 3、函数的基本性质 4、函数性质的简单应用 2、 提升考点 1、根据单调性和奇偶性求参问题 2、函数性质的综合应用 函数的定义域 1．（23-24高一上·北京西城·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京东城·期末）函数的定义域为 ． 3．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 . 4．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为 ． 5．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 . 6．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 . 7．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 . 8．（23-24高一上·北京海淀·期中）函数的定义域是 ． 函数的值域 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，则方程的解是 A．或 2 B．或3 C．或 4 D．或 4 3．（23-24高一上·北京海淀·期中）已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京·期中）已知，且，则的值是 . 6．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知定义在R上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时， ，则 ． 7．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域是 ． 8．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，，.设集合，若中的所有点围成的平面区域的面积为，则的最小值为 . 9．（23-24高一上·北京海淀·期中）下列函数中，在定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 函数的基本性质 1．（23-24高一上·北京西城·期中）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 2．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）. A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京西城·期中）下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京昌平·期中）下列函数既是偶函数，上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·北京·期中）设为上的奇函数，且当时，，则（    ） A．12 B． C．13 D． 10．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 函数性质的简单应用 1．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）若函数与函数在区间上都是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知为上的奇函数，当时，，则（　　） A． B．0 C．2 D．4 4．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误的是（    ） A． B．当时， C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点 5．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京·期中）若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京·期中）若函数为上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 根据单调性和奇偶性求参 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高一上·北京昌平·期中）设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ． 函数性质的综合应用 1．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的函数，给出下列三个论断： ①在上单调递增； ②； ③. 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题： ， 推出 .（把序号写在横线上） 2．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数同时具有以下性质： ①有2个零点； ②在上是增函数． 写出符合上述条件的一个函数f（x），其解析式为 ． 3．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数的定义域为，且满足下列条件： （1）对任意的，总有，且； （2）若，，，则有. 给出下列四个结论： ①； ②可能为区间中的任意值； ③函数的最大值是4； ④当时，. 其中所有正确结论的序号是 . 4．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知函数，对于任意正数k，关于x的方程都恰有两个不相等的实数根． （1）请判断是否符合题意： （填“是”或者“否”）； （2）写出a的所有可能取值： ． 5．（23-24高一上·北京·期中）设函数.给出下列四个结论： ①函数的值域是； ②，有； ③，使得； ④若互不相等的实数满足，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是 . 6．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数（）． ①当时的值域为 ； ②若在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 7．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，下列命题中： ①都不是R上的单调函数； ②，使得是R上偶函数； ③若的最小值是，则； ④，使得有三个零点． 则所有正确的命题的序号是 ． 8．（23-24高一上·北京海淀·期中）设，函数，给出下列四个结论： ①当时，在上单调递增； ②当时，存在最大值； ③设，，则； ④若，的函数图象有三个公共点，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念及基本性质 1、 基本考点 1、函数的定义域 2、函数的值域 3、函数的基本性质 4、函数性质的简单应用 2、 提升考点 1、根据单调性和奇偶性求参问题 2、函数性质的综合应用 函数的定义域 1．（23-24高一上·北京西城·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，解出的取值范围即可. 【详解】， 解得：. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京东城·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】解不等式组可得答案. 【详解】由函数有意义得，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 1、有分式时：分母不为0； 2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0； 3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0； 4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0； 5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1； 6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 3．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】利用二次根式的意义计算即可. 【详解】由题意可知， 即函数的定义域为. 故答案为： 4．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】依题意，. 5．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组，求解即可. 【详解】解：由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 6．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由题意知，解不等式组即可求出定义域. 【详解】由题意知 ，解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 7．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】要使函数有意义，则有，解出即可. 【详解】要使函数有意义，则有，解得且 所以函数的定义域是 故答案为： 8．（23-24高一上·北京海淀·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】解分式不等式求得正确答案. 【详解】依题意，，解得或， 所以的定义域是. 故答案为： 函数的值域 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】先求，进而求出. 【详解】由题意得，，则. 故选：D. 2．（17-18高一上·北京·期中）已知函数，则方程的解是 A．或 2 B．或3 C．或 4 D．或 4 【答案】C 【分析】根据函数解析式，分别求解，即可得出结果. 【详解】当时，由，解得或（舍去）； 当时，由，解得． 故选C 【点睛】本题主要考查由分段函数的值求自变量的问题，分类讨论即可，属于基础题型. 3．（23-24高一上·北京海淀·期中）已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据表格列出关于等式并解出，代入求出即可. 【详解】由表知，，，解得， 所以， 所以. 故选：B 4．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分、两种情况讨论，结合可求出实数的值. 【详解】因为，且. 当时，则，解得或（舍）； 当时，则，解得（舍）. 综上所述，. 故选：B. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知，且，则的值是 . 【答案】3 【分析】根据凑配法求出解析式，代入即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，. 又，所以有， 解得. 故答案为：3. 6．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知定义在R上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时， ，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，代入即可求解. 【详解】因为定义在R上的奇函数满足：对任意的，都有， 且当时， ， 则. 故答案为：. 7．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解的范围可得函数的值域 【详解】解：由，可得的最小值为1， 的值域为，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择． 8．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，，.设集合，若中的所有点围成的平面区域的面积为，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】设,则面积为，再分情况讨论二次函数的对称轴与区间的关系，求出的值域，并表示出S，即可求出S的最小值. 【详解】显然， 当，即时，在上单调递减，， 而，， 即有，此时， ； 当时，即时，在上单调递增，则有， 此时, ； 当时, 在上单调递减, 在上单调递增， 且，，则有， 此时, ； 当时, 在上单调递减，在上单调递增， 且，，则有， 此时, ， 综上所述，，所以S的最小值为. 故答案为： 9．（23-24高一上·北京海淀·期中）下列函数中，在定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本函数的单调性逐项判断即可. 【详解】A选项，在R上单调递增，不符合题意； B选项，在上单调递增，在上单调递减，不符合题意； C选项，在上单调递增，在上单调递减， 不符合题意； D选项，要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以由函数单调性性质得在上单调递增， 所以在上单调递减，符合题意. 故选：D 函数的基本性质 1．（23-24高一上·北京西城·期中）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可. 【详解】由函数解析式可知，即定义域关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. 故选：A 2．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义及在上的单调性，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数是R上的奇函数，A不是； 对于B，函数是R上的偶函数，且在上单调递增，B是； 对于C，函数是R上的偶函数，在上单调递减，C不是； 对于D，函数是上的奇函数，D不是. 故选：B 3．（23-24高一上·北京西城·期中）下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的基本性质即可判断. 【详解】对于，是偶函数，不符合题意， 对于，不具有奇偶性，不符合题意， 对于，，是奇函数，但在定义域内不具有单调性，不符合题意， 对于，，是奇函数，在定义域内单调递增，符合题意. 故选：. 4．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可． 【详解】，对称轴为，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，由对称性可得， 所以函数的值域是. 故选：D. 5．（22-23高一上·北京·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案. 【详解】函数和函数是奇函数，不符合题意，CD选项错误. 函数是偶函数，且在上递减，不符合题意，A选项错误. 函数是偶函数，且在上单调递增，符合题意，B选项正确. 故选：B 6．（23-24高一上·北京昌平·期中）下列函数既是偶函数，上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断． 【详解】，是奇函数，不符合题意； 在上为减函数，不符合题意； 为偶函数，在上为增函数，符合题意． 故选：D 7．（23-24高一上·北京·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A. 利用一次函数的性质判断；B. 利用二次函数的性质判断；C. 利用反比例函数的性质判断；D. 由，利用一次函数的性质判断； 【详解】A. 由一次函数的性质知：在上为减函数，故错误； B. 由二次函数的性质知：在递减，在 上递增，故错误； C. 由反比例函数的性质知：在 上递增，在递增，则在上为增函数，故正确； D. 由知：函数在上为减函数，故错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题. 8．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义即可得到答案. 【详解】对于A，当时，，所以不是奇函数，故A错误； 对于B，因为的定义域为， 又，所以为奇函数， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为的定义域为， 又，所以为偶函数，故C错误. 对于D，因为的定义域为， 又，所以为偶函数，故D错误. 故选：B. 9．（23-24高一上·北京·期中）设为上的奇函数，且当时，，则（    ） A．12 B． C．13 D． 【答案】C 【分析】根据为上的奇函数，求出. 【详解】因为为上的奇函数，所以，， 所以. 故选：C 10．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】C 【分析】由奇偶性定义，结合二次函数的单调性以及奇函数的性质作出判断. 【详解】，即函数是奇函数 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增 即函数的增区间为和，减区间为 故选：C 函数性质的简单应用 1．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数在上的值域，由已知可得函数在上的值域包含，再列出不等式求解即得. 【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为， 因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含， 显然，否则当时，，不符合题意， 于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D 2．（22-23高一上·北京·期中）若函数与函数在区间上都是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数在区间上是减函数，所以， 因为在区间上是减函数，所以， 所以的取值范围是， 故选：D 3．（23-24高一上·北京·期中）已知为上的奇函数，当时，，则（　　） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，为上的奇函数，所以， 且， 所以. 故选：A 4．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误的是（    ） A． B．当时， C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB；利用零点存在性定理判断CD. 【详解】对于A，因为函数是上的增函数，所以，正确； 对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，正确； 对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点，正确； 对于D，因为函数连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点，错误， 故选：D. 5．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以， 因为在上单调递增，所以， 即， 故选：A 6．（23-24高一上·北京·期中）若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义计算即得. 【详解】函数是上的奇函数，当时，， 所以. 故选：A 7．（23-24高一上·北京·期中）若函数为上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知二次函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由于函数为上的减函数， 则二次函数在区间上为减函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，所以，； 函数在区间上为减函数，则，且有. 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 根据单调性和奇偶性求参 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性列出不等式，求解即得答案. 【详解】因为函数在上是增函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．（23-24高一上·北京昌平·期中）设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ． 【答案】 2 【分析】根据函数的奇偶性求出以及当时的解析式即可． 【详解】是定义在上的奇函数，则， 则， 令，则， 故， 故当时，，又，故时也成立， 所以当时，. 故答案为：2；． 函数性质的综合应用 1．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的函数，给出下列三个论断： ①在上单调递增； ②； ③. 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题： ， 推出 .（把序号写在横线上） 【答案】 ①（答案不唯一） ②（答案不唯一） ③（答案不唯一） 【分析】根据单调性和范围即可推出不等式. 【详解】①②推出③； 证明：当在单调递增且当时，有，得证. ①③推出②； 证明：当在单调递增且当时，有，得证. ①②无法推出③； 取，此时满足且，但不满足在单调递增. 故答案为：①；②；③.（答案不唯一） 2．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数同时具有以下性质： ①有2个零点； ②在上是增函数． 写出符合上述条件的一个函数f（x），其解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知只需满足一元二次方程有两个不相等的实数根，且开口方向向上，对称轴为轴或轴的左侧即可. 【详解】设， 解可得，， 所以，和是的2个零点，满足条件①； 的对称轴为， 根据二次函数的性质可知，在上是增函数，满足条件②． 所以，满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 3．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数的定义域为，且满足下列条件： （1）对任意的，总有，且； （2）若，，，则有. 给出下列四个结论： ①； ②可能为区间中的任意值； ③函数的最大值是4； ④当时，. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④. 【分析】根据所给性质取判断①；根据所给性质取特殊值求出判断②；根据所给性质可推断出函数的单调性判断③；利用性质（2）推理可判断④. 【详解】令，得，即，所以，①正确； 令，得，所以，结合条件（1）知，故②错误； 任取，，则， 所以在上单调递增，所以， 即函数的最大值是4，③正确； 因为， 所以，当时，， 所以当时，，故④正确. 故答案为：①③④ 4．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知函数，对于任意正数k，关于x的方程都恰有两个不相等的实数根． （1）请判断是否符合题意： （填“是”或者“否”）； （2）写出a的所有可能取值： ． 【答案】 否 1 【分析】（1）将有两个不相等的实数根转化为的图象与的图象有两个交点，然后结合图象判断即可； （2）分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，图象如下所示：    由图可知，当时，有两个不相等的实数根不成立， 所以不符合题意； （2）当时，，图象如下所示：    所以在单调递减，，单调递增， 所以，解得， 当时，，图象如下所示：    所以在，上单调递减，上单调递增， 所以，无解， 综上所述，. 故答案为：否；1. 5．（22-23高一上·北京·期中）设函数.给出下列四个结论： ①函数的值域是； ②，有； ③，使得； ④若互不相等的实数满足，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】对于①，利用二次函数与反比例函数的图像性质画出函数图1，结合图像即可判断； 对于②，举反例排除即可； 对于③，将问题转化为与有交点，作出图2即可判断； 对于④，结合图1对进行分析即可. 【详解】对于①，因为， 所以由二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图1， 由的图像易知的值域是，故①正确； 对于②，易得，，显然在上并不单调递增，所以②说法不成立，故②错误； 对于③，假设存在，，则，即， 即与有交点，作出图像，如图2，显然假设成立，故③正确； 对于④，由图1易知，则， 因为，所以，即，解得， 所以，即的取值范围是，故④正确； 综上：①③④正确. 故答案为：①③④. 6．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数（）． ①当时的值域为 ； ②若在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若在区间上单调递增，则有，解之即可得解. 【详解】解：当时， 若，则， 若，则， 所以当时的值域为； 由函数（）， 可得函数在上递增，在上递增， 因为在区间上单调递增， 所以，解得， 所以若在区间上单调递增，则的取值范围是. 故答案为：；. 7．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，下列命题中： ①都不是R上的单调函数； ②，使得是R上偶函数； ③若的最小值是，则； ④，使得有三个零点． 则所有正确的命题的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断；对于②，可取特殊值，结合奇偶性定义进行判断；对于③，分类讨论，结合二次函数的最小值求出a的值，即可判断；对于④，举特殊值，说明符合题意即可判断. 【详解】对于①，当时，，其图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 当时，，其图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 即，且，， 即在处的函数值相等， 由于的对称轴在的对称轴的左侧， 则存在区间，使在上递增， 存在区间，使在上递减， 故都不是R上的单调函数，①正确； 对于②，当时，，定义域为R， 此时，即为偶函数，②正确； 对于③，由①的分析可知的最小值在或时取到， ，，， 当时，函数最小值在处取到，由， 解得或（舍去）； 当时，函数最小值在处取到，由， 解得或（舍去）； 当时，由于，恒成立， 不合题意，舍去； 故的最小值是，则或，③错误； 对于④，当时，， 当，即时，当时，令，解得； 当时，令，解得； 即此时有三个零点，④正确， 故答案为：①②④ 【点睛】难点点睛：本题考查了函数的单调性以及奇偶性以及零点问题，综合性较强，解答时难点在于二次函数的性质的灵活应用，要注意分类讨论，注意函数最值的确定. 8．（23-24高一上·北京海淀·期中）设，函数，给出下列四个结论： ①当时，在上单调递增； ②当时，存在最大值； ③设，，则； ④若，的函数图象有三个公共点，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论，对于①：结合图像即可判断；对于②：分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③：结合图像分类讨论可知的范围；对于④：分段讨论与的交点分布，进而列式求解. 【详解】依题意，， 当时，，其图像为一条右端点取不到的单调递增的射线； 当时，，开口向下，对称轴为y轴，与x轴交点为， 其图象为抛物线位于x轴上方（含x轴交点）部分； 当时，，其图像是一条左端点取不到的单调递减的曲线； 对于①：若，则的图像如下， 由图像可知：在上单调递增，故①正确； 对于②：当时，则有： 若时，； 若时，显然取得最大值； 若时，， 综上所述：取得最大值，故②正确； 对于③：当时，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时； 当时， 若时，部分射线在x轴上方，此时； 若时，此时； 综上所述：，故③正确； 对于④：当时，令，解得， 可知此时与至多有1个交点； 当时，由图象的图像可知：此时与有且仅有1个交点； 当时，令，整理得， 解得或（舍去），所以， 可知此时与至多有1个交点； 综上所述：若，的函数图象有三个公共点， 可知与在和内均有1个交点； 则，解得， 所以a的取值范围是，故④正确； 故答案为：①②③④. 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