北京市上学期期中测试（集合与常用逻辑用语+不等式+函数及其性质）-2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷

2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷（解析版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数及其性质。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则（　　）. A．1 B． C．1或 D．0.5 4．下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．－3 B．－6 C．13 D．1 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若命题“”为假命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若函数是上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数在上具有性质，那么，下列函数： ①；  ②；  ③；  ④ 具有性质的函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域为 . 12．已知，，则的取值范围为 ，的取值范围为 . 13．某购物网站在年月开展“买三免一”活动，规则是“购买件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：包的价格为元，衣服的价格为元，鞋的价格为元，用户应支付元，减免价格最低商品价格元，实际支付元，实际折扣约折，立省元. （1）如果在此网站上购买的三件商品价格分别为元、元、元，按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为是 折； （2）在这个网站上购买件商品，按照“买三免一”的规则，这件商品实际折扣力度最大约为 折（保留一位小数）. 14．若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 15．若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知集合，B = {x | x2 – 5x < 0}， ，全集R，求： (1)； (2). (3)如果，求的取值范围． 17．（14分）若二次函数满足，且 (1)确定函数的解析式； (2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．（13分）已知函数． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明． 19．（15分）已知关于的不等式. (1)若，求此不等式的解集； (2)若不等式的解集是，求的值； (3)若，求此不等式的解集. 20．（15分）小华在某市场独家经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.小华为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以（单位：吨，）表示下一个销售季度内，该市场该农产品需求量.（单位：元）表示下一个销售季度内小华销售该农产品的利润. (1)分别求当时，的值；当时，的值； (2)将表示为的函数； (3)求出下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围. 21．（15分）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，，有，．设全集且，且、． (1)求集合U和A； (2)集合A、B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷（解析版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数及其性质。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，而， 所以. 故选：B 2．若，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A 3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则（　　）. A．1 B． C．1或 D．0.5 【答案】B 【详解】∵x的一元二次方程的一个根是0， ∴且，∴ 故选：B． 4．下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，为奇函数，值域为，故A错； 对B、，函数为“对勾函数”因为，所以，故B错误； 对C，为奇函数，当时，因为，故在为增函数，时，函数值为0，当时，，，画出图形如图： 所以，故C正确； 对D，，函数为奇函数，值域为，故D错误； 故选：C 5．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．－3 B．－6 C．13 D．1 【答案】C 【详解】由直线，，知， 又由二次函数的对称性和图象知顶点为， 所以，解得， 由的两根为，，得，， 则． 故选：C. 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，即 ，等价于 ，解得 或 ； 故选：D. 7．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数， 因为，所以， 所以，所以或， 所以的取值范围是. 故选D. 8．若命题“”为假命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意命题“”为真命题， 所以当且仅当， 解得，即m的取值范围是. 故选：C. 9．若函数是上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是上的减函数， 所以， 故选： 10．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数在上具有性质，那么，下列函数： ①；  ②；  ③；  ④ 具有性质的函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】任取两个不等实数， ①，， 对任意有，①正确； ②当均不为0且时，，， 即存在有，正确； ③，， 令解得与题目矛盾，错误； ④当时，， 不妨令可得，故存在不等有，正确； 综上①②④正确， 故选：D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由已知得，解得且， 即函数的定义域为. 故答案为：. 12．已知，，则的取值范围为 ，的取值范围为 . 【答案】 【详解】，，又，， 即的取值范围为； ，，又，， 即的取值范围为. 故答案为：；. 13．某购物网站在年月开展“买三免一”活动，规则是“购买件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：包的价格为元，衣服的价格为元，鞋的价格为元，用户应支付元，减免价格最低商品价格元，实际支付元，实际折扣约折，立省元. （1）如果在此网站上购买的三件商品价格分别为元、元、元，按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为是 折； （2）在这个网站上购买件商品，按照“买三免一”的规则，这件商品实际折扣力度最大约为 折（保留一位小数）. 【答案】 【详解】（1）因为， 按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为是折； （2）设在这个网站上购买件商品，这件商品的价格从高到低依次为元、元、元，即， 所以，这件商品实际折扣为，且， 当且仅当时，等号成立，故这件商品实际折扣力度最大约为折. 故答案为：（1）；（2）. 14．若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点， 的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去， 如图数形结合可得 故答案为： 15．若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】原不等式可化为，设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为， 因为恒成立，所以. 故答案为：. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知集合，B = {x | x2 – 5x < 0}， ，全集R，求： (1)； (2). (3)如果，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意得集合，（2分） 集合，（2分） 则.（5分） （2） 由（1）知，，（8分） 所以.（10分） （3）由（1）知，集合，又，,所以.（13分） 17．（14分）若二次函数满足，且 (1)确定函数的解析式； (2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设二次函数， 则， （2分）           已知，所以，解得，（4分） 又，得，（6分） .（7分） （2）在区间上不等式恒成立， 则在上恒成立，（9分） 令，可知在上单调递减， 则，得（13分） 所以实数的取值范围为.（14分） 18．（13分）已知函数． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明． 【答案】(1)；(2)奇函数，证明见解析 【详解】（1）因为，则， 所以，.（6分） （2）函数为奇函数，证明如下： 对于函数，有，可得， 即函数的定义域为，（10分） 因为，所以，函数为奇函数.（13分） 19．（15分）已知关于的不等式. (1)若，求此不等式的解集； (2)若不等式的解集是，求的值； (3)若，求此不等式的解集. 【答案】(1)；(2)；(3)见解析 【详解】（1）若，则，即，解得：. 所以，此不等式的解集为.（3分） （2）由题意知，且1和5是方程的两根， ∴，且， 解得，，∴．（8分） （3）若，，原不等式为， ∴，∴．（10分） 当时，，原不等式解集为，（12分） 当时，，原不等式解集为，（13分） 当时，，原不等式解集为，（14分） 综上所述：当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为． 当时，原不等式解集为．（15分） 20．（15分）小华在某市场独家经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.小华为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以（单位：吨，）表示下一个销售季度内，该市场该农产品需求量.（单位：元）表示下一个销售季度内小华销售该农产品的利润. (1)分别求当时，的值；当时，的值； (2)将表示为的函数； (3)求出下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围. 【答案】(1)当时，元；当时，元； (2)；(3). 【详解】（1）由题意，即， 当时，元； 当时，元.（5分） （2）由（1）知：.（8分） （3）当，令，可得，则； 当，恒成立，则； 综上，.（15分） 21．（15分）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，，有，．设全集且，且、． (1)求集合U和A； (2)集合A、B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析(2)能； 【详解】（1）全集U中 ， 当时，或，此时或； 当时，，此时，所以，（4分） 由A中， 当时，，此时，即；（8分） （2）因为，当时，或，（9分） 当时，方程无实根，，解得；（11分） 时，方程有二等实根为，，此时m的值不存在；（14分） 综上知，实数m的取值范围是．（15分） 试卷第4页，共11页 试卷第3页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$