专题03 平方差公式和完全平方公式（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

专题03 平方差公式和完全平方公式 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用乘法公式进行简便运算 1 类型二、利用乘法公式进行求值 2 类型三、利用完全平方求多项式的最值 3 类型四、平方差公式与几何图形 5 类型五、完全平方公式与几何图形 6 压轴能力测评 8 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ①位置变化：；②符号变化： ③指数变化：；④系数变化： 2.完全平方公式：， 两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ， 类型一、利用乘法公式进行简便运算 【例1】的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【例2】简便计算： (1) (2) 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 类型二、利用乘法公式进行求值 【例3】已知，满足，则 ． 【例4】如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图 2)． (1)观察图2，写出，，之间的等量关系是 ； (2)根据(1)中的结论，若，，则 (3)拓展应用：若，求的值． 【变式2-1】已知，则的值为 ． 【变式2-2】已知，，则代数式的值为 ． 【变式2-3】已知，且，则的值为 ． 类型三、利用完全平方求多项式的最值 【例5】已知，则代数式有（    ） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 【例6】已知 (1)若，则 ， ； (2)若，则 ； (3)若，求的最大值． 【变式3-1】已知，． （1）若是完全平方式，则 ； （2）的最小值是 ． 【变式3-2】在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为4 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有_________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于_________（k为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【变式3-3】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等． 例如：求代数式的最小值．． ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当x为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值； (2)a,b为何值时，多项式有最小值，求出最小值； (3)当a,b为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 类型四、平方差公式与几何图形 【例7】如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例8】综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【变式4-1】如图，在边长为的正方形中央剪去一个边长为的小正方形（），将剩余部分剪开恰好组成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为 ． 【变式4-2】如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为 ． 【变式4-3】如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值； (3)请求解下面实际问题： 如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 类型五、完全平方公式与几何图形 【例9】如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（   ） A． B． C． D． 【例10】【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为__________；图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为__________． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图③的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． （2）若，，求的值． 【解决问题】如图④，C是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【变式5-1】如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式5-2】阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如，由图可以得到 ．请解答下列问题： (1)小明同学打算用如图的x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片 B，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片 C拼出一个面积为的长方形，那么他总共需要 张纸片A、 张纸片B、 张纸片 C； (2)写出图中所表示的数学等式 ； (3)利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 求的值． 【变式5-3】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________； (2)利用（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值． 1．用简便方法计算： (1) (2) 2．设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是 . 4．图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 5．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了“求和”符号“”．例如：记，；已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 7．求 的最小值． 8．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题都有广泛的应用． 例如：用配方法分解因式：． 原式． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 9．在公式中，如果我们把，，分别看做一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值． (1)已知，，求的值； (2)已知，试求的值． 10．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：___________； 方法2：___________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． 根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： (3)已知，，求___________． (4)已知，求的值． 11．探寻规律，解决问题： 【观察探索】 (1)比较与的大小： ①当，时， ． ②当，时， ． 【猜想证明】 (2)通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明． 【问题解决】 (3)如图1，点C在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为1，求的最小值． 【应用拓展】 (4)如图2，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是4和16．请直接写出四边形面积的最小值 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平方差公式和完全平方公式 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用乘法公式进行简便运算 2 类型二、利用乘法公式进行求值 5 类型三、利用完全平方求多项式的最值 8 类型四、平方差公式与几何图形 12 类型五、完全平方公式与几何图形 16 压轴能力测评 21 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ①位置变化：；②符号变化： ③指数变化：；④系数变化： 2.完全平方公式：， 两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ， 类型一、利用乘法公式进行简便运算 【例1】的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 【例2】简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 【变式1-1】计算： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将变形为． 【变式1-2】利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9996 (2)9801 (3) 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 【变式1-3】（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 【答案】（1），  （2）9996    （3）22048 ；6  （4）①2049300   ② 【详解】解：（1）， 原式 ， 故答案为：，； （2）原式 ； （3）原式 ； ∵，，，，，，……， 而， ∴的个位数字是6， 故答案为：，6； （4）①原式 ； ②原式 类型二、利用乘法公式进行求值 【例3】已知，满足，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，，当及时，等号成立， ∴，当及时，等号成立， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【例4】如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图 2)． (1)观察图2，写出，，之间的等量关系是 ； (2)根据(1)中的结论，若，，则 (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 提示：由图可知，图1的面积为，图2中白色部分的面积为： 因为图1的面积和图2中白色部分的面积相等， 所以 ． （2）解：根据(1)中的结论，可知 ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【变式2-1】已知，则的值为 ． 【答案】13 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握完全平方公式，利用整体思想进行求值是解题的关键． 【变式2-2】已知，，则代数式的值为 ． 【答案】28 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：28． 【变式2-3】已知，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵ ∴原式 故答案为： 【点睛】 本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 类型三、利用完全平方求多项式的最值 【例5】已知，则代数式有（    ） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值10， 故选：C． 【例6】已知 (1)若，则 ， ； (2)若，则 ； (3)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)1 【详解】（1）解：当时， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：由（2）可知， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为1． 【变式3-1】已知，． （1）若是完全平方式，则 ； （2）的最小值是 ． 【答案】 【详解】（1）∵是完全平方式，是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∴当，时，有最小值，最小值是， 故答案为：． 【变式3-2】在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为4 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有_________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于_________（k为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)②④ (2) (3)最大值 【详解】（1）解：①不能分解因式，不是完全平方式； ②，是完全平方式； ③，不能因式分解，不是完全平方式； ④，是完全平方式， 故答案为：②④； （2）∵是一个完全平方式， ∴，解得， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， 即代数式有最大值有最大值，最大值为． 【变式3-3】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等． 例如：求代数式的最小值．． ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当x为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值； (2)a,b为何值时，多项式有最小值，求出最小值； (3)当a,b为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)当时，有最小值，最小值是 (2)当时，有最小值，最小值是5 (3)当时，有最小值，最小值是3 【详解】（1）解：， ∴当时，有最小值，最小值是． （2）解：， ∴当时，有最小值，最小值是5． （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值是3． 类型四、平方差公式与几何图形 【例7】如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为3， 故选：D． 【例8】综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 【变式4-1】如图，在边长为的正方形中央剪去一个边长为的小正方形（），将剩余部分剪开恰好组成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解： 拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 该平行四边形的面积为： ， 故答案为：． 【变式4-2】如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为 ． 【答案】16 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形边长为， 设正方形边长为x，则， ∴，， ∵阴影部分面积为， ∴， 整理得：， ∴，解得：， ∴正方形面积为． 故答案为：． 【变式4-3】如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值； (3)请求解下面实际问题： 如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形， ∴图的长方形面积为：， ∵图的边长为，图阴影部分的面积为：， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形，， ∴，，， ∵长方形的面积是， ∴， 设，，即，则， ∴阴影部分面积 ， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 即阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键． 类型五、完全平方公式与几何图形 【例9】如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设扩大后的广场的长为米，宽米，依题意得：， ， ∴ ∵花圃的总面积， 故选：B． 【例10】【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为__________；图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为__________． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图③的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． （2）若，，求的值． 【解决问题】如图④，C是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】【知识回顾】； 【拓展探究】（1）；（2） 【解决问题】8 【详解】（1）由图可得：图①中阴影部分的面积可以看成是一个大正方形的面积即，或两个正方形的面积加两个长方形的面积即， ∴图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 图②中阴影部分可以看成是边长为的正方形，即面积为；也可以看成大正方形与两个长方形和一个小正方形的面积差，所以面积为，所以图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； （2）大正方形的面积为，小长方形的面积为，阴影部分的面积为， ∴； （3）由（1）得： ∵，， ∴ ∴； （4）设正方形和的边长分别为 由题意得：， ∴ ∴ ∴ 【变式5-1】如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 【变式5-2】阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如，由图可以得到 ．请解答下列问题： (1)小明同学打算用如图的x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片 B，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片 C拼出一个面积为的长方形，那么他总共需要 张纸片A、 张纸片B、 张纸片 C； (2)写出图中所表示的数学等式 ； (3)利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 求的值． 【答案】(1)12；35；41 (2) (3)29 【详解】（1）解： ， 拼出了一个面积为的长方形，它总共需要12张纸片、35张纸片、41张纸片． 故答案为：12；35；41； （2）解：图2中的图片是边长为的正方形， 图2中的面积为：． 又图2中由1个边长为的正方形，1个边长为 的正方形，1个边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形组成， 图2中的面积为：． 图2中所表示的数学等式为：． 故答案为：； （3）解：， ． ，， ． 【变式5-3】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________； (2)利用（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值． 【答案】(1) (2)16 (3) 【详解】（1）由图1和图2中矩形的面积为等量得： 故答案为：； （2）由（1）中公式可得： ． 同理可得： ； （3）连接， 在正方形和正方形中，， ， ∴和的边上的高相等， ． 当时，， 当时，， …… 当时，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，观察图形，找出相应的规律是解题关键． 1．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解： （2）解： 2．设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， ，， ， ， 解得：； 故选：A 3．如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是 . 【答案】8 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ， 故答案为：8． 4．图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 【答案】16 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 故答案为：16． 5．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了“求和”符号“”．例如：记，；已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ，， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出的值． 6．已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ； （2） ． 7．求 的最小值． 【答案】6 【详解】解： ∵   ∴当时取最小值，最小值为6． 8．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题都有广泛的应用． 例如：用配方法分解因式：． 原式． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 【答案】(1)；6 (2)，最小值 【详解】（1）根据题意，得， 故答案为：；6． （2）根据题意，得， ， 故最小值为． 9．在公式中，如果我们把，，分别看做一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值． (1)已知，，求的值； (2)已知，试求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴． 10．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：___________； 方法2：___________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． 根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： (3)已知，，求___________． (4)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)16 【详解】（1）解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，； （3）解：由（2）题结论可得， ，时， ， ； ； （4）解：设，， 可得， ， ， 又， 且由， 可得， ． 【点睛】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题． 11．探寻规律，解决问题： 【观察探索】 (1)比较与的大小： ①当，时， ． ②当，时， ． 【猜想证明】 (2)通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明． 【问题解决】 (3)如图1，点C在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为1，求的最小值． 【应用拓展】 (4)如图2，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是4和16．请直接写出四边形面积的最小值 ． 【答案】(1)①，② (2)，证明见解析 (3)4 (4)36 【详解】（1）解：①把，代入，得 ， 故答案为：； ②把，代入，得 ， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，猜想：，理由如下： ，即 （3）解：由题意可知， 的面积为1，即 的最小值为4． （4）解：设 与中和边上的高相等，与中和边上的高相等 ， ，解得 由（2）可知， 四边形面积的最小值为36． 故答案为：36． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$