专题06 平面直角坐标系应用（四大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题06 平面直角坐标系应用 题型一 坐标系的应用 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，有三点． (1)当点在轴上时，点的坐标为________． (2)当点在轴上时，点的坐标为________． (3)当轴时，两点间的距离为________． (4)当轴于点，且时，点的坐标为________． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上方，且到x轴的距离为4个单位，试求出点P的坐标； (2)若Q（5，8），且轴，试求出点P的坐标． 3．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，把长方形纸片放在平面直角坐标系中，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，C点坐标为．求D点坐标为多少？    题型二 网格中坐标系的应用 4．（23-24八年级上·辽宁·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C点在格点上． (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出的面积； (3)直接写出的周长． 5．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的． (2)的面积为________，边上的高为________； (3)轴上存在一点使得的面积是面积的2倍，则点的坐标为________． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）（1）请画出关于y轴对称的（其中、，分别是A，B，C的对应点）； （2）直接写出三点的坐标：______，______，______． 7．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． (1)写出A，B，C三点的坐标； (2)若各项点的横坐标不变，纵坐标都乘以，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，，，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ (3)求出的面积？ 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)①画出； ②判定的形状是______三角形； (2)①画出关于x轴对称的； ②已知点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是______． 9．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A坐标为，，．    (1)点B的坐标为 ； (2)点C为整点，，若点C在第一象限 ；若点C在第三象限，请写出一个符合条件的点C的坐标 ． 10．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)建立适当的平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为； (2)在建立的平面直角坐标系中标出点，连接，画出关于轴对称的图形； (3)若点在上，则点关于轴对称的点的坐标为______． 11．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：    (1)画出关于y轴的对称图形． (2)已知点P为x轴上一动点，则最小值是________． 12．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于轴对称的，并写出点、，的坐标： ， ， ； (2)直接写出的面积 ． 13．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： (1)在网格中建立平面直角坐标系，A点，B点． (2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点坐标是　 　． (3)画出关于y轴对称的． (4)求的周长＝　 　（保留根号）；的面积＝　 　（直接写答案）． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后的顶点均在格点上．    (1)直接写出点的坐标； (2)画出关于轴对称的； (3)直接写出的周长． 15．（23-24八年级上·辽宁·期中）如答题卡中的图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．    (1)请以轴为对称轴，画出与对称的，并直接写出点的坐标； (2)点与点关于轴对称，则______， ________． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中如图，的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，． (1)画出及关于y轴对称的； (2)写出点A的对应点的坐标是______，点B的对应点的坐标是______，点C的对应点的坐标是______． (3)请直接写出以为边且与全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点． (1)请在图中画出； (2)若点P在坐标轴上，且的面积是面积的2倍，请直接写出点P的坐标． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． (1)点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)画出关于y轴对称的； (3)的面积为 ； (4)已知点P为y轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ． 19．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于轴对称的； (3)在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点　 　． 20．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中．（每个方格表示一个单位长度）    (1)画出关于y轴对称的； (2)在y轴上找一点P，使最小，请画出点P； (3)若与全等，请直接写出点D的坐标． 21．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于x轴对称的图形； (2)点的坐标为 ，线段的长为 ． 22．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中．（每个方格表示一个单位长度）    (1)画出关于轴对称的； (2)在y轴上找一点，使最小，请画出点，并写出点的坐标； (3)若与全等，请直接写出点的坐标． 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为，点B坐标为（1，1）． (1)请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C坐标为__________； (2)依次连接A，B，C，A，得到，请判断的形状，并说明理由； (3)若点C关于直线的对称点为点D．则点D的坐标为__________； (4)在y轴上找一点F，使的面积等于的面积，点F的坐标为__________． 24．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)请直接写出点关于轴的对称点的坐标______； (3)的面积______； (4)在轴上找一点，使得周长最小，并求出周长的最小值． 25．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，的三个顶点均在格点上 (1)若与关于轴成轴对称，在图中画出； (2)的面积=______； (3)在轴上有一点，满足，点的坐标是______； (4)在坐标轴上是否存在点．使得的面积的面积，且点与点在直线同侧，直接写出点的坐标______． 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3） (1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标． 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）． (1)求出△ABC的面积． (2)①画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）； ②在y轴上作出一点P，使PA+PB的值最小（不写作法，保留作图痕迹）． 29．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，ABC的三个顶点都在格点上． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）图中线段BC的长为 ； （3）ABC的面积为 ； （4）点P在y轴上，且ABP的面积等于ABC的面积，则点P的坐标为 ． 30．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）ABC的边AC在正方形网格中的位置如图所示，已知每个小正方形的边长为1，顶点A坐标为(﹣2，﹣2)． （1）请在网格图中建立并画出平面直角坐标系； （2）直接写出点C的坐标为 ； （3）若点B的坐标为(3，﹣2)，请在图中标出点B并画出ABC； （4）求ABC的面积． 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为A（1，2），B（4，1），C（2，4）． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′； （2）在图中x轴上作出一点P，使PA+PB的值最小；并写出点P的坐标． 32．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 题型三 坐标系的综合应用 33．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A．B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+1|+＝0，点C的坐标为（0，3）． （1）求a，b的值及S△ABC； （2）若点M在x轴上，且S△ACM＝S△ABC，试求点M的坐标． 34．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图1，，，我们能够容易地计算出的面积，根据所给的平面直角坐标系探究下列问题．（说明：三角形记作）    【思维启迪】． （1）若点的坐标是，点的坐标是，则 ①的面积是______，的面积是______； ②的面积与的面积之间的数量关系是______； ③三点所在的直线与x轴的位置关系是______． 请利用你发现的结论，尝试解决以下问题． 【学以致用】 （2）是轴上方一点，点的坐标是，若的面积与的面积相等，且，求点的坐标． 【发散思维】 （3）如图2，若点的坐标是，连接，点在轴上，线段与线段相交于点，若的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 35．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式：．一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴负半轴运动，同时一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向运动．    (1)直接写出、、三点坐标： ， ， ． (2)在运动过程中是否存在点，使的面积等于的面积?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)在点点运动的过程中，当时，请直接写出与之间的数量关系． 36．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD．    (1)求AKO的度数； (2)如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明． 题型四 定义新题型 37．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． (1)点的“短距”为 ； (2)点的“短距”为1，求的值； (3)若，两点为“等距点”，求的值． 38．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）． (1)已知点A（2，-6）的“级关联点”是点B，求点B的坐标． (2)已知点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上．求点N的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面直角坐标系应用 题型一 坐标系的应用 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，有三点． (1)当点在轴上时，点的坐标为________． (2)当点在轴上时，点的坐标为________． (3)当轴时，两点间的距离为________． (4)当轴于点，且时，点的坐标为________． 【答案】(1) (2) (3)4 (4)或 【分析】本题考查了点的坐标： （1）在轴上的点的纵坐标为0，据此即可作答． （2）在轴上的点的横坐标为0，据此即可作答． （3）平行于轴的线上的两个点的纵坐标相等，据此即可作答． （4）垂直于轴的线上的两个点的横坐标相等，据此即可作答． 【详解】（1）解：∵点在轴上时，且， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在轴上，且， ∴ ∴点的坐标为； （3）解：∵轴，且 ∴ 解得 ∴ ∴两点间的距离为4； （4）解：∵轴于点，且， ∴， ∴点的坐标为或 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上方，且到x轴的距离为4个单位，试求出点P的坐标； (2)若Q（5，8），且轴，试求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出等式求出m的值即可解决问题； （2）根据轴，可得点P的横坐标为5，结合题意，列出等式即可解决问题． 【详解】（1）∵点P在x轴上方，且到x轴的距离为4个单位， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； （2）∵轴， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查坐标轴内点的特征和坐标轴内平行线的性质，解题的关键是掌握坐标轴内点的特征和坐标轴内平行线的性质． 3．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，把长方形纸片放在平面直角坐标系中，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，C点坐标为．求D点坐标为多少？    【答案】D点坐标为 【分析】本题考查的是翻折变换、勾股定理，根据折叠的性质可以得到，然后根据题目中的数据，即可得到，最后根据勾股定理即可求得及的长，即可得出结论． 【详解】解：（按步骤酌情赋分） ∵， ∴， ∵C点坐标为， ∴，由勾股定理得，． 在直角三角形ABC中， 设，由折叠可知，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴D点坐标为． 题型二 网格中坐标系的应用 4．（23-24八年级上·辽宁·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C点在格点上． (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出的面积； (3)直接写出的周长． 【答案】(1)图见解析，点的坐标 (2)的面积为 (3)的周长为 【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）分割法求三角形的面积即可； （3）勾股定理求出各边边长，求和即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；由图可知：点的坐标 （2）的面积为： （3）由勾股定理得，，，， ∴的周长为 5．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的． (2)的面积为________，边上的高为________； (3)轴上存在一点使得的面积是面积的2倍，则点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)3， (3)或 【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握坐标与图形的应用是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先求出，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）设点的坐标为，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ． （2）解：∵，， ，边上的高为2，， 的面积为， ∴边上的高为， 故答案为：3，． （3）解：由题意，设点的坐标为， 则， 解得或， 则点的坐标为或， 故答案为：或． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）（1）请画出关于y轴对称的（其中、，分别是A，B，C的对应点）； （2）直接写出三点的坐标：______，______，______． 【答案】见详解； 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，根据轴对称的性质画轴对称图形；能够准确找到对称点是解决本题的关键． 【详解】（1）先分别找到三点的对应点， 再将他们点与点之间进行连接，如图所示． （2）三点关于轴对称， 所以纵坐标不变，横坐标变为其相反数， 三点的坐标为， 三点的坐标为， 故答案为． 7．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． (1)写出A，B，C三点的坐标； (2)若各项点的横坐标不变，纵坐标都乘以，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，，，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ (3)求出的面积？ 【答案】(1)，， (2)画图见解析，与关于x轴对称 (3)5 【分析】本题考查的是坐标与图形，轴对称的性质，求解网格三角形的面积，熟悉平面直角坐标系是解本题的关键． （1）由A，B，C三点的位置可得答案； （2）先求解，，，再画图可得答案； （3）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由A、B、C的位置知：，， （2）解：根据题意，得，，， 画图如下： 与关于x轴对称； （3）解：的面积为． 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)①画出； ②判定的形状是______三角形； (2)①画出关于x轴对称的； ②已知点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是______． 【答案】(1)①见解析；②等腰 (2)①见解析；②或 【分析】本题考查了坐标与圈形变化：轴对称、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）①根据各点坐标画出即可；②根据勾股定理及等腰三角形的定义可判断的形状； （2）①画出关于x轴对称的即可；②由求出点P的坐标即可； 【详解】（1）①如图所示； ②，，， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）①如图所示； ② ， 点与点P到的距离相等， 点P是y轴上一点， 或． 故答案为：或． 9．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A坐标为，，．    (1)点B的坐标为 ； (2)点C为整点，，若点C在第一象限 ；若点C在第三象限，请写出一个符合条件的点C的坐标 ． 【答案】(1) (2)，（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）如图，过A作轴于E，过B作轴于D，根据等腰三角形的性质得到和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：（1）如图，过A作轴于E，    ∵点A坐标为， ∴，， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴，， ∴B； 故答案为：； （2），所以点C在的角平分线上，如图上图，点C为整点，若点C在第一象限，则点C可以为；若点C在第三象限，点C在的角平分线的反向延长线上，则点C的坐标可以为． 故答案为：，（答案不唯一）． 10．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)建立适当的平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为； (2)在建立的平面直角坐标系中标出点，连接，画出关于轴对称的图形； (3)若点在上，则点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了建立平面直角坐标系，作轴对称图形，关于坐标轴对称的点坐标．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据点坐标，建立平面直角坐标系，如图1； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据轴对称的性质求点坐标即可． 【详解】（1）解：由题意建立平面直角坐标系如图1所示． （2）解：如图1，点和即为所求． （3）解：由题意知，点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：    (1)画出关于y轴的对称图形． (2)已知点P为x轴上一动点，则最小值是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理以及最短路径问题 （1）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到，然后描点连接即可； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，根据两点之间线段最短可判断此时有最小值，然后计算出即可． 【详解】（1）如图，为所求作：    （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图， ∵点A与点关于x轴对称， ∴， ∴， ∴此时有最小值， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于轴对称的，并写出点、，的坐标： ， ， ； (2)直接写出的面积 ． 【答案】(1)图见解析，；； (2) 【分析】本题主要考查了轴对称作图，坐标与图形； （1）先作出点、、的对称点分别是点、，，顺次连接，即可求解； （2）根据长方形的面积减去3个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，    由图得：，，； 故答案为：；；． （2）解：的面积， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： (1)在网格中建立平面直角坐标系，A点，B点． (2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点坐标是　 　． (3)画出关于y轴对称的． (4)求的周长＝　 　（保留根号）；的面积＝　 　（直接写答案）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)，4 【分析】本题主要考查作图﹣轴对称变换，坐标与图形以及勾股定理等知识． （1）根据题意画出平面直角坐标系即可； （2）作线段的垂直平分线，与格点相交于点C，则C点即为所求点； （3）画出关于 y轴对称的即可； （4）运用勾股定理求出可得三角形的周长，利用分割法可求出三角形的面积． 【详解】（1）如图所示： （2）如图，即为所作，点 故答案为：； （3）如图，即为所作； （4）如图， 所以, 的周长; , 故答案为: ，4 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后的顶点均在格点上．    (1)直接写出点的坐标； (2)画出关于轴对称的； (3)直接写出的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的周长为 【分析】此题考查坐标与图形，轴对称画图，勾股定理， （1）根据点在坐标系中的位置直接得到坐标即可； （2）根据轴对称的性质确定点，顺次连线即可得到； （3）利用勾股定理分别求出各边，相加即可得到周长． 【详解】（1） （2）如图，即为所求；    （3），，， 的周长为． 15．（23-24八年级上·辽宁·期中）如答题卡中的图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．    (1)请以轴为对称轴，画出与对称的，并直接写出点的坐标； (2)点与点关于轴对称，则______， ________． 【答案】(1)图见解析，点 (2)，1 【分析】本题考查作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得，，求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点，   ； （2）解：∵点与点关于轴对称，， ∴点的坐标为， ， 解得， 故答案为：；1． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，． (1)画出及关于y轴对称的； (2)写出点A的对应点的坐标是______，点B的对应点的坐标是______，点C的对应点的坐标是______． (3)请直接写出以为边且与全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2)，， (3)第三个顶点的坐标为，或 【分析】本题主要考查了运用轴对称变换进行作图、全等三角形的性质以及坐标确定位置的运用，解决问题的关键是掌握画一个图形的轴对称图形的方法，画图时先从确定一些特殊的对称点开始． （1）根据各点坐标画出三角形即可，再根据轴对称的性质，画出三角形即可； （2）根据各顶点的位置写出其坐标即可； （3）根据以为公共边且与全等的三角形的第三个顶点的位置，写出其坐标即可． 【详解】（1）解：所作和如图所示：    （2）解：由图可得，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是； （3）解：为公共边， 与全等的三角形的第三个顶点的坐标为，或． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点． (1)请在图中画出； (2)若点P在坐标轴上，且的面积是面积的2倍，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了坐标与图形，利用割补法求解三角形面积等知识，掌握利用割补法求解三角形面积是解答本题的关键．解答此题时注意分类讨论的思想． （1）在平面直角坐标系中作出点，连接得到； （2）利用割补法求出的面积，然后分为点P在x轴和点P在y轴两种情况分别计算解题即可． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）的面积为． 当点P在x轴上时， 设点， ∵的面积是面积的2倍， ， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点P在y轴上时， 设点， ∵的面积是面积的2倍， ， 解得或， ∴点P的坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． (1)点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)画出关于y轴对称的； (3)的面积为 ； (4)已知点P为y轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）由图可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． （4）使的周长最小，即最小，连接，交y轴于点P，连接，此时满足最小，最小值为的长，利用勾股定理分别求出，的长，即可得出答案． 本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：． （2）如图，即为所求． （3）的面积=． 故答案为：． （4）∵使的周长最小， ∴最小， ∵，为定值， ∴使最小， 连接，交y轴于点P，连接， 此时满足最小，最小值为的长， ∵， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 19．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于轴对称的； (3)在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点　 　． 【答案】(1)，， (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题， （1）关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，根据两点之间线段最短可知此时点到、两点的距离和最小，观察图形可得出点的坐标； 熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：∵与关于轴对称，，， ∴，，； （2）如图，点，，分别为点，，的对应点， 连接，，， 则即为所作； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接， ∴， 此时点到、两点的距离和最小，则点即为所作，且点的坐标为． 故答案为：． 20．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中．（每个方格表示一个单位长度）    (1)画出关于y轴对称的； (2)在y轴上找一点P，使最小，请画出点P； (3)若与全等，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）连接交轴于点，则点即为所求； （3）根据全等三角形的性质结合网格即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点即为所求，； （3）如图所示，点的坐标为或或．    【点睛】本题考查了作图轴对称变换，全等三角形的性质，熟记轴对称变换的性质是解题的关键． 21．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于x轴对称的图形； (2)点的坐标为 ，线段的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了作图轴对称变换，解题的关键是： （1）画图时，根据轴对称变换的性质找出对应点，依次连接． （2）根据图形直接得到坐标与线段的长度即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图，，线段的长为2． 22．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中．（每个方格表示一个单位长度）    (1)画出关于轴对称的； (2)在y轴上找一点，使最小，请画出点，并写出点的坐标； (3)若与全等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)或或 【分析】（1）在坐标系中分别画出点、、的对称点、、，再顺次连接三点就可得所求三角形； （2）连接，交轴于点，可知点在线段的中点处，即点的坐标为； （3）根据轴网格的特点，全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）解：连接，交轴于点，则点即为所求，；    （3）解：如图所示，    ，，． 【点睛】本题主要考查了轴对称与坐标变化，掌握点关于对称轴的对称点是解题的关键． 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为，点B坐标为（1，1）． (1)请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C坐标为__________； (2)依次连接A，B，C，A，得到，请判断的形状，并说明理由； (3)若点C关于直线的对称点为点D．则点D的坐标为__________； (4)在y轴上找一点F，使的面积等于的面积，点F的坐标为__________． 【答案】(1)图形见解答，； (2)是直角三角形，理由见解答； (3)； (4)． 【分析】（1）根据点B的坐标画出平面直角坐标系，再根据点C在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）由勾股定理算出三边的平方，根据两个小的数之和等于大数，即可； （3）在图中作出点C关于直线的对称点为点D，即可； （4）根据的面积等于的面积，这两个三角形同底，所以高相等，则点F、D到的距离相等，即可得到答案． 【详解】（1）建立平面直角坐标系如图所示，， 故答案为； （2）为直角三角形，理由为： 由网格图，可知 ，，， ∵， 即， ∴为直角三角形； （3）在图中作出点C关于直线的对称点为点D， ∴， 故答案为：； （4），理由如下： ∵的面积等于的面积， ∴点F、D到的距离相等， 则， 解得， 又∵点F在y轴上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，平面内的点与有序数对一一对应，勾股定理及其逆定理的运用，轴对称的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握各个知识点，灵活运用所学知识解决问题． 24．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)请直接写出点关于轴的对称点的坐标______； (3)的面积______； (4)在轴上找一点，使得周长最小，并求出周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 (4) 【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征得到点的坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积，去计算的面积； （4）点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断此时最小，然后计算和，从而得到周长的最小值． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； （3）解：的面积； （4）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求， ， 此时的值最小，周长最小， ，， 周长的最小值为． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路径问题． 25．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，的三个顶点均在格点上 (1)若与关于轴成轴对称，在图中画出； (2)的面积=______； (3)在轴上有一点，满足，点的坐标是______； (4)在坐标轴上是否存在点．使得的面积的面积，且点与点在直线同侧，直接写出点的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】（1）作出A、B、C关于y轴的对称点，然后描点即可； （2）直接根据割补法计算即可； （3）设，先根据勾股定理求出的值，再根据求出a的值即可； （4）先求出Q点的范围，再分类讨论即可． 【详解】（1）如图： （2）的面积 ． 故答案为． （3）设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为． （4）解：设直线的解析式为， 将，分别代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 当时，， ∵点与点在直线同侧且在坐标轴上， ∴点在下方或右方， 由（2）可知． 当点在下方时，如图： 设， ， 此时， 即； 当点在右方时， 设， 当时，如图： ，故不合题意； 当时，如图： ， 解得：， 即； 当时，如图： ， 解得：，不合题意； 综上所述，点的坐标或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了轴对称作图，勾股定理，网格中的图形面积，在运用割补法求面积时可以画出图形使问题更直观． 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）从三角形的三边向轴作垂线，并延长相同的距离找到三点的对称点，顺次连接； （2）从图形中找出点，，，并写出它们的坐标即可； （3）利用割补法求的面积即可． 【详解】（1）解：△A1B1C1如图所示． （2）由图形可知，； （3）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、作图-轴对称变换以及求三角形面积等知识，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3） (1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析，4； (2)（−4，3）； (3)（10，0）或（－6，0）． 【分析】（1）根据点的坐标，描点、连线即可得到△ABC，直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （2）根据关于y轴对称的点的性质得出答案； （3）根据三角形的面积求出BP＝8，进而可得点P的坐标． 【详解】（1）解：△ABC如图所示，△ABC的面积是：3×4−×1×2−×2×4−×2×3＝4， 故答案为：4； （2）解：∵点D与点C（4，3）关于y轴对称， ∴点D的坐标为：（−4，3）； 故答案为：（−4，3）； （3）解：∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4， ∴， ∴BP＝8， ∴点P的横坐标为：2＋8＝10或2−8＝－6， 故点P坐标为：（10，0）或（－6，0）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，网格中三角形面积求法以及关于y轴对称的点的性质，熟练掌握坐标与图形性质是解题关键． 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）． (1)求出△ABC的面积． (2)①画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）； ②在y轴上作出一点P，使PA+PB的值最小（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，， 【分析】（1）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可； （2）①分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； ②作点A关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为所求． 【详解】（1）解： （2）解：①先作出三个顶点关于x轴的对称点、、，再首尾顺次连接，则即为所求，，，； ②作点A关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点P即为所求，如图所示： 【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出变换后的对应点． 29．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，ABC的三个顶点都在格点上． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）图中线段BC的长为 ； （3）ABC的面积为 ； （4）点P在y轴上，且ABP的面积等于ABC的面积，则点P的坐标为 ． 【答案】（1）A（3，4），B（0，2）；（2）；（3）；（4）（0，）或（0，） 【分析】（1）根据点的位置直接写出坐标； （2）利用勾股定理结合点的坐标计算； （3）利用割补法计算即可； （4）根据△ABC的面积得到△ABP的面积，再设P（0，a），根据三角形面积公式列出方程，解之即可． 【详解】解：（1）由图可知： A（3，4），B（0，2）； （2）BC==； （3）S△ABC==； （4）由题意可得：S△ABP=， ∵点P在y轴，则设P（0，a）， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为（0，）或（0，）． 30．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）ABC的边AC在正方形网格中的位置如图所示，已知每个小正方形的边长为1，顶点A坐标为(﹣2，﹣2)． （1）请在网格图中建立并画出平面直角坐标系； （2）直接写出点C的坐标为 ； （3）若点B的坐标为(3，﹣2)，请在图中标出点B并画出ABC； （4）求ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）(0，2)；（3）见解析；（4）10 【分析】（1）根据点A的坐标建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系得到C的坐标； （3）根据题意作出图形即可； （4）根据A坐标为（﹣2，﹣2），C的坐标为（2，0），B的坐标为（3，﹣2），即可得到结论． 【详解】解：（1）如图所示； （2）C的坐标为（0，2）； 故答案为：（0，2）； （3）如图所示，△ABC即为所求； （4）∵A坐标为（﹣2，﹣2），C的坐标为（2，0），B的坐标为（3，﹣2）， ∴S△ABC＝×5×4＝10． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系，坐标与图形，三角形面积，解题的关键在于能够准确建立合适的平面直角坐标系. 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为A（1，2），B（4，1），C（2，4）． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′； （2）在图中x轴上作出一点P，使PA+PB的值最小；并写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； 【详解】（2）作出点A关于x轴的对称点A″，再连接A″B，与x轴的交点即为所求． 解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求． （2）如图所示，作A点关于x轴得对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，则点P即为所求，其坐标为（3，0）． 【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 32．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【分析】本题主要考查了建立坐标系、轴对称变换、坐标与图形等知识，正确建立坐标系是解题关键． （1）易得轴在的右边一个单位，轴在的下方3个单位，即可获得答案； （2）作出三点关于轴对称的三点，顺次连接即可； （3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标． 【详解】解：（1）如图所示； （2）如图所示，即为所求； （3）点的坐标为． 题型三 坐标系的综合应用 33．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A．B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+1|+＝0，点C的坐标为（0，3）． （1）求a，b的值及S△ABC； （2）若点M在x轴上，且S△ACM＝S△ABC，试求点M的坐标． 【答案】（1）a＝﹣1，b＝5，S△ABC＝9；（2）M的坐标为（1，0）或（﹣3，0） 【分析】（1）由|a+1|+＝0结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a、b的值，再结合三角形的面积公式即可求出S△ABC的值； （2）设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三角形的面积公式结合S△ACM＝S△ABC，即可得出点M的坐标． 【详解】解：（1）由|a+1|+＝0，|a+1|≥0，≥0 ∴a+1＝0，b﹣5＝0， ∴a＝﹣1，b＝5， ∴点A（﹣1，0），点B（5，0）． 又∵点C（0，3）， ∴AB＝|﹣1﹣5|＝6，CO＝3， ∴S△ABC＝AB•CO＝×6×3＝9． （2）设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|， 又∵S△ACM＝S△ABC， ∴AM•OC＝×9， ∴|x+1|×3＝3， ∴|x+1|＝2， 即x+1＝±2， 解得：x＝1或﹣3， 故点M的坐标为（1，0）或（﹣3，0）． 【点睛】此题考查的是非负性的应用、求点的坐标和根据点的坐标求面积，掌握绝对值和算术平方根的非负性和点的坐标与各线段长的关系是解决此题的关键． 34．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图1，，，我们能够容易地计算出的面积，根据所给的平面直角坐标系探究下列问题．（说明：三角形记作）    【思维启迪】． （1）若点的坐标是，点的坐标是，则 ①的面积是______，的面积是______； ②的面积与的面积之间的数量关系是______； ③三点所在的直线与x轴的位置关系是______． 请利用你发现的结论，尝试解决以下问题． 【学以致用】 （2）是轴上方一点，点的坐标是，若的面积与的面积相等，且，求点的坐标． 【发散思维】 （3）如图2，若点的坐标是，连接，点在轴上，线段与线段相交于点，若的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）①，②相等，③平行；（2）点的坐标是或；（3） 【分析】（1）①根据点的坐标是，点的坐标是，，可知，，进而即可解答；②点的坐标是，点的坐标是，，可知，，，进而即可解答；③根据点的坐标是，点的坐标是，横坐标相等即可解答； （2）根据设点，根据面积相等，再根据可知进而即可解答； （3）根据可知进而即可解答． 【详解】解：（1）①∵点的坐标是，点的坐标是，，， ∴ ，，， ∴，， 故答案为； ②∵点的坐标是，点的坐标是，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为； ③∵点的坐标是，点的坐标是，， ∴三点的横坐标相等， ∴三点所在的直线与x轴的位置关系是平行．    （2）∵设点，在平面直角坐标系内取一点，连接， 过点作轴的垂线交轴于，过点作轴的垂线交轴于点， ∵， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴上方， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴或，    （3）设， ∵点的坐标是，点的坐标是，， ，点的坐标是， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不符合题意， ∴， ∴点．    【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，平行于轴的点的坐标特征，三角形的面积与平面直角坐标系，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键． 35．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式：．一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴负半轴运动，同时一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向运动．    (1)直接写出、、三点坐标： ， ， ． (2)在运动过程中是否存在点，使的面积等于的面积?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)在点点运动的过程中，当时，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，，； (2)存在，当在上时，；当在的延长线上时，． (3)或． 【分析】（）利用几个非负数之和为零，每一项都为两，即可求出，，，则可求解，，； （）分情况讨论，当在上时，设，则，，当的面积等于的面积时，即，则有，故；当在延长线上时，设，则，，当的面积等于的面积时，即，则有，故； （）分情况讨论，当在上时，过作，由（）得，则，再根据平行线的性质和角度和差即可求解，当在延长线上时，过作，由（）得，则，再根据平行线的性质和角度和差即可求解， 【详解】（1）∵， ∴，，， 解得：，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）存在，如图， 当在上时，    由（）得：，，， ∴，，，， 设， ∴，， 当的面积等于的面积时，即， ∴，解得：， ∴， 当在得延长线上时，    由（）得：，，， ∴，，，， 设， ∴，， 当的面积等于的面积时，即， ∴，解得：， ∴， （3）当在上时，如图，    过作，由（）得， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当在得延长线上时，如图    过作，由（）得， ∴， ∴，， ∵， ∴， 【点睛】此题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用和添加辅助线进行分类讨论． 36．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD．    (1)求AKO的度数； (2)如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明． 【答案】(1)； (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系． （1）作于E，于F．只要证明，推出（全等三角形对应边上的高相等），，推出平分，再证明，即可解决问题； （2）结论：；过点B作轴交的延长线于H．只要证明，以及即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于E，于F．    ∵， ∴， ∴， ∴（全等三角形对应边上的高相等），， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论：． 理由：如图，过点B作轴交的延长线于H．    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四 定义新题型 37．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． (1)点的“短距”为 ； (2)点的“短距”为1，求的值； (3)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)2； (2)或； (3)或． 【分析】（1）根据点到坐标轴的距离及“短距”的定义求解即可； （2）根据“短距”的定义得出方程求解即可； （3）点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4，由，进而分类讨论，根据“等距点”的定义列出方程与，解方程即可求解． 【详解】（1）解：点到x轴、y轴距离分别为2，5， ∴“短距”为2， 故答案为：2； （2）点的“短距”为1， ， ∴，， 解得：或； （3）点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4， ∴当时，即或时，， ∴或， 解得或； 当时，即时，， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所诉，或． 【点睛】本题考查了新定义问题，掌握点到坐标轴的距离、解绝对值方程，并理解新定义是解题的关键． 38．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）． (1)已知点A（2，-6）的“级关联点”是点B，求点B的坐标． (2)已知点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上．求点N的坐标． 【答案】(1) (2)N(0，-15) 或 N(，0) 【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）根据关联点的定义和点M（m-1，2m）的“-4级关联点”N位于x或y轴上，即可求出的坐标． 【详解】（1）因为点A（2，-6）的“级关联点”是点B， 所以点B的横坐标为，纵坐标为 ． ∴点B的坐标为（-5，-1）； （2）∵点M（m-1，2m）的“-4级关联点”为N（-4（m-1）+2m，m-1+（-4）×2m）， 当点N位于位于y轴上， ∴-4（m-1）+2m=0， 解得：m=2 ∴m-1+（-4）×2m=-15， ∴N（0，-15）． 当点N位于位于x轴上， m-1+（-4）×2m=0 解得， ∴-4（m-1）+2m= ∴N(，0) 综上，点N的坐标为：N(0，-15) 或 N(，0) 【点睛】本题考查点的坐标，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$