专题04平方根和立方根的计算（7大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题04 平方根和立方根的计算 题型一 二次根式的计算 1．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）计算：． 3．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 4．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）计算 (1) (2) (3) (4)求值 5．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）计算 (1)； (2)． 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算 (1)． (2)； 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）； （2）； （3）． 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）计算： （2）计算： 10．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 11．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 13．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算 (1) (2) 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)． (2)． (3)； (4)． 15．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2)． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2) 题型二 开方法解方程 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）求x的值： (1)； (2)． 19．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）解方程： (1)； (2)． 20．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）解方程： (1)； (2)． 题型三 二次根式的应用 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）若，，求： (1)； (2)． 22．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知x=2﹣，y=2+，求：x2+xy+y2的值． 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知求代数式：，，求代数式的值． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4 (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知3既是a﹣1的算术平方根，又是a+2b+1的立方根，求a2﹣b2的平方根． 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知 x+3 的立方根为 2，3x+y-1 的平方根为±4 ，求 3x+5y 的算术平方根． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知实数，，满足，求的值． 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知的算术平方根是0，，是的立方根，求的值． 29．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）若实数m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求平方根． 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）一个正数的平方根是和，求这个数和这个数的立方根． 32．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知 的平方根是，的算术平方根是． 求： (1)与的值； (2)立方根． 33．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知实数，满足，求的平方根． 34．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）（1）如图，已知在数轴上的两个点表示为实数a，b． 化简：______； （2）若是的整数部分，是它的小数部分，求的值． 35．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）已知是的平方根，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 36．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知的算术平方根是的平方根是是的整数部分，求的平方根． 37．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）（1）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请利用上述方法比较实数与的大小． （2）已知的平方根是，的立方根是2，c是的小数部分，求． 题型四 勾股定理与无理数 38．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在数轴上找出对应的点．    39．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，直接写出阴影部分的面积； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． (4)在数轴上作出所对应的点． 40．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫“可爱三角形”． (1)根据“可爱三角形”的定义，等边三角形一定是“可爱三角形”吗？直接答：“是”与“不是”． (2)若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形是“可爱三角形”吗？说明理由． (3)若是“可爱三角形”，．求的长． 41．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知中，所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题． (1)若，，求b； (2)若a、b、c三边满足，试判断的形状． 题型五 探究规律与二次根式 42．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列各式： 第一个式子：； 第二个式子：； 第三个式子：； … (1)求第四个式子为：　 ； (2)求第n个式子为：　 （用n表示）； (3)求＋…＋的值． 43．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：＝ ；＝ ； (2)猜想规律：＝ （n为正整数）； (3)利用规律计算的值． 题型六 二次根式与分母有理化 44．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）观察、发现：====﹣1 （1）试化简： ； （2）直接写出：=　 　； （3）求值：+++…+ ． 45．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： ． ， ． (1)用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律为_______． (2)利用上面的结论，求下列式子的值：． 46．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）先阅读，再解答：由看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________； (2)化去式子分母中的根号：___________；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：. 47．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝ ＝＝ ＝＝＝﹣1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简 （2）化简． （3）化简：＋＋＋…＋． 题型七 螺旋树与面积 48．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．（其中表示图中第个三角形的面积），，；，；，；…… (1)用含有（是正整数）的式子表示：________，________； (2)若一个三角形的面积是，则说明这是第________个三角形． (3)的值为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平方根和立方根的计算 题型一 二次根式的计算 1．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． （1）先将除法运算变成乘法，再运用乘法分配律进行计算； （2）先计算零次幂、负整数指数幂、和二次根式，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、去绝对值符号，先求算术平方根、立方根，去绝对值符号，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5)0 (6) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及二次根式的性质． （1）先根据二次根式的性质化简，根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，根据二次根式的加减运算法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，根据二次根式的混合运算法则计算即可； （4）先根据二次根式的性质、0次幂化简，根据二次根式的加减运算法则计算即可； （5）先根据二次根式的性质、绝对值的性质化简，根据二次根式的加减运算法则计算即可； （6）先根据完全平方公式、平方差公式展开括号，根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 4．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）计算 (1) (2) (3) (4)求值 【答案】(1)1 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算等知识。解题的关键是： （1）先利用二次根式的性质、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义等化简各式，然后合并即； （2）先化简各式，然后计算除法，并合并同类项，最后化简即可； （3）先计算乘方，除法，再计算乘法，最后计算加减即可； （4）利用平方根的定义求解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ∴， ∴或， ∴或. 5．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算开方，再化绝对值，最后加减； （2）利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握二次根式及立方根的性质，绝对值的意义，平方差公式等是解题的关键． 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算 (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，实数混合运算，零指数幂和负整指数幂．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，并用完全平方公式和平笔差公式计算，再合并即可； （2）先计算乘方，并化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）6；（3） 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握去绝对值，零指数幂和求立方根的计算，二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）化简二次根式并按运算顺序进行二次根式运算即可； （2）先利用绝对值，零指数幂，立方根计算出各项，再进行加法运算即可； （3）先化简二次根式及绝对值、零指数幂，再进行二次根式的运算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，然后进行加减运算即可； （2）先利用二次根式的性质进行化简，进行乘除运算，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算是解题的关键． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再利用二次根式的加减运算法则进行计算； （2）先算平方和二次根式的乘法，同时利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减运算法则进行计算． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 10．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算； （1）根据二次根式乘除式以及二次根式的性质化简即可求解； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的意义等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各式，然后计算加减即可； （2）先化简各式，然后计算乘除，最后计算加减即可； （3）利用平方差公式、完全平方公式计算即可； （4）先化简各数，然后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解∶ ． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，（1）根据平方差公式计算即可；（2）根据二次根式的运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查二次根式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算和实数的混合运算法则是解题的关键． （1）先将括号内的各二次根式化简，再合并同类二次根式，最后再根据二次根式除法法则计算即可； （2）先根据二次根式除法法则计算，并求出立方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)． (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键． （1）先计算乘方，绝对值，零指数幂和化简二次根式，再计算加减即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减即可； （3）先化简，再计算加减即可； （4）直接根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 15．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零次幂及负整数指数幂的运算： （1）利用二次根式的混合运算、零次幂及负整数指数幂的运算法则即可求解； （2）利用二次根式的混合运算法则即可求解； 熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据2023的0次方都为1、绝对值的意义解题即可． （1）化解绝对值直接解题即可． （2）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】（1）解： . （2） ． 题型二 开方法解方程 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算乘方，负整数指数幂，化简绝对值，求解立方根，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，熟记定义是解题的关键． （1）运用立方根和平方根的定义求解即可； （2）运用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 化简得 开平方得， 解得． （2）． 化简得 开立方得． 19．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）利用求一个数的立方根方法解方程即可； （2）利用求一个数的平方根方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即； （2）解：， ， 或． 【点睛】此题主要考查了立方根和平方根，正确掌握求一个数的立方根与平方根是解题关键． 20．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程，掌握一个正数的平方根有两个，他们互为相反数是解题的关键． （1）利用开平方解方程； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1） 或 或； （2） ． 题型三 二次根式的应用 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）若，，求： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)5 【分析】（1）直接把，的值代入进行计算即可； （2）把原式化为的形式，再把，的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 22．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知x=2﹣，y=2+，求：x2+xy+y2的值． 【答案】15 【分析】将x2+xy+y2变形为x2+2xy+y2﹣xy，得到原式=（x+y）2﹣xy，再把x=2﹣，y=2+代入计算即可求解． 【详解】解：∵x=2﹣，y=2+， ∴x2+xy+y2 =x2+2xy+y2﹣xy =（x+y）2﹣xy =（2﹣+2+）2﹣（2﹣）（2+） =16﹣4+3 =15． 【点睛】考查了二次根式的混合运算和代数式的求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答问题的关键． 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知求代数式：，，求代数式的值． 【答案】18 【分析】先求出，，再将代数式利用完全平方公式变形，代值即可求出． 【详解】解：，， ，， 原式． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算，解题关键是熟悉完全平方公式进行巧算． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4 (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为． 【分析】（1）直接根据题意列等式求解即可； （2）直接将，代入计算，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， 解得，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知3既是a﹣1的算术平方根，又是a+2b+1的立方根，求a2﹣b2的平方根． 【答案】． 【分析】先根据算术平方根与立方根的定义求出的值，从而可得的值，再根据平方根的定义即可得． 【详解】解：是的算术平方根， ， 解得， 又是的立方根， ，即， 解得， 则， ， 的平方根是． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、平方根，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题关键． 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知 x+3 的立方根为 2，3x+y-1 的平方根为±4 ，求 3x+5y 的算术平方根． 【答案】5 【分析】根据立方根的立方得被开方数和平方根的平方等于被开方数，可得二元一次方程组，根据解方程组，可得 x、y 的值，再计算 3x+5y 的值，根据算术平方根的定义，可得答案． 【详解】解：由 x+3 的立方根为 2，3x+y-1 的平方根为±4 ，得： ∴3x+5y=15+10=25， ∵25 的算术平方根为 5， ∴3x+5y 的算术平方根为 5 【点睛】本题主要考查了立方根，平方根和算术平方根，解题关键是利用立方根的立方和平方根的平方等于被开方数得出二元一次方程组． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知实数，，满足，求的值． 【答案】-40 【分析】根据绝对值的非负性，二次根式的意义，完全平方公式的性质求出x、y、z，再代入即可求解； 【详解】解：原式配方得：， ∴x+11=0，2x-3y-2=0，z-2=0， 则x=-11，y=-8，z=2， ． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，二次根式的意义，完全平方公式的性质，实数的运算，掌握相关知识是解题的关键． 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知的算术平方根是0，，是的立方根，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查算术平方根，立方根，代数式求值．根据算术平方根，立方根的定义，求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴． 29．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）若实数m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案； （2）结合（1）中所求，结合平方根的定义分析得出答案． 【详解】（1）解： （2）由（1）知 的平方根为； 【点睛】此题主要考查了平方根以及绝对值，正确得出m,n的值是解题关键． 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根求出a，根据平方根的性质求出c，继而得到b，代入中计算，即可求出平方根． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴平方根为． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的知识，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义． 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）一个正数的平方根是和，求这个数和这个数的立方根． 【答案】这个数是64，它的立方根是4． 【分析】本题主要考查了平方根的性质，立方根．根据平方根的性质可得，从而得到，进而求出这个正数，即可求解． 【详解】解：∵正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴这个正数为， ∴这个数的立方根为． 32．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知 的平方根是，的算术平方根是． 求： (1)与的值； (2)立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根； （1）根据平方根的定义，算术平方根的定义，可得，，即可求解； （2）根据（1）可得，，代入代数式，再求立方根，即可求解． 【详解】（1）解： 的平方根是，的算术平方根是． ，， ，； （2），， ， 的立方根是 33．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知实数，满足，求的平方根． 【答案】 【分析】首先根据非负数的性质解得，的值，再代入并求值，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意，， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根，即4的平方根为． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性质、算术平方根非负性质、代数式求值以及平方根等知识，利用非负数的性质解得的值是解题关键． 34．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）（1）如图，已知在数轴上的两个点表示为实数a，b． 化简：______； （2）若是的整数部分，是它的小数部分，求的值． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，无理数的整数部分和小数部分： （1）根据数轴得出，，进而判断和的正负，利用二次根式的性质化简，再进行整式的加减运算即可； （2）先根据求出a和b的值， 再代入求值． 【详解】解：（1）由数轴知，， ，， ， 故答案为：； （2）， ，即， 的整数部分为7，小数部分为， ，， ． 35．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）已知是的平方根，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算． （1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出的值； （2）将的值代入代数式，进行计算即可． 熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的平方根，的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当时，， 的平方根为． 36．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知的算术平方根是的平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】由算术平方根与平方根的含义可得，，由无理数的整数部分的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意可得 ，解得； ，把代入可得； ∵是的整数部分，而， ∴； 把，，代入得 ； 【点睛】本题考查的是算术平方根，平方根的含义，无理数的整数部分的含义，熟记基本概念并灵活运用是解本题的关键． 37．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）（1）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请利用上述方法比较实数与的大小． （2）已知的平方根是，的立方根是2，c是的小数部分，求． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据平方根及立方根的定义求得a，b的值，再利用无理数的估算求得c的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； （2）解：∵的平方根是，的立方根是2， ，， 解得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平方根，立方根及无理数的估算，熟练掌握相关定义及估算无理数大小的方法是解题的关键． 题型四 勾股定理与无理数 38．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在数轴上找出对应的点．    【答案】见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理；如图截取，轴，根据勾股定理可得，再以点A为圆心，以为半径画弧与数轴的交点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为对应的点．    39．（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，直接写出阴影部分的面积； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． (4)在数轴上作出所对应的点． 【答案】(1)4 (2)8 (3) (4)作图见解析 【分析】（1）根据正方体的体积公式求出棱长即可； （2）求出每个小正方体的棱长，再根据勾股定理求出即可； （3）用A所表示的数减去的长即可； （4）根据（2）可知，以及正方形在数轴上的位置，即可解答． 【详解】（1）解：这个魔方的棱长为：； （2）解：每个小正方体的棱长为：； 阴影部分的边长为：， 阴影部分的面积为， （3）解：根据（2）可知， ∵点A与重合， ∴点D表示的数为． （4）解：如下图，设原点是O，截取，则点E即为所求作的点. 【点睛】本题考查了数轴、勾股定理，求立方根等，灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． 40．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫“可爱三角形”． (1)根据“可爱三角形”的定义，等边三角形一定是“可爱三角形”吗？直接答：“是”与“不是”． (2)若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形是“可爱三角形”吗？说明理由． (3)若是“可爱三角形”，．求的长． 【答案】(1)是 (2)是，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、算术平方根，理解题中定义是解答的关键． （1）根据等边三角形的性质和题中定义求解即可； （2）根据“可爱三角形”的定义判断即可； （3）根据“可爱三角形”的定义，结合勾股定理分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：是． 理由：设等边三角形的边长为a， ∵， ∴等边三角形一定是“可爱三角形”； （2）解：是，因为：，，． 所以，满足两边的平方和等于第三边平方的2倍．所以它是“可爱三角形”． （3）解：由勾股定理可得：， 由它是“可爱三角形”可分两种情况： 1），即， 解得（负值舍去）； 2），即， ∴， 解得（负值舍去）． 综上，的长为或． 41．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知中，所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题． (1)若，，求b； (2)若a、b、c三边满足，试判断的形状． 【答案】(1)7 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】 （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先根据非负数的性质求出，证明，则由勾股定理的逆定理可知是直角三角形． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） 解：是直角三角形，理由如下 ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，非负数的性质，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 题型五 探究规律与二次根式 42．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列各式： 第一个式子：； 第二个式子：； 第三个式子：； … (1)求第四个式子为：　 ； (2)求第n个式子为：　 （用n表示）； (3)求＋…＋的值． 【答案】(1) (2)（n为正整数） (3) 【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，解题的关键是： （1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题． （2）利用（1）中的发现即可解决问题． （3）根据（2）中的结论即可解决问题． 【详解】（1）解：观察题中所给式子可知， 第四个式子为：． 故答案为：． （2）由（1）中的发现可知， 第个式子为：． 故答案为：为正整数）． （3）原式 ． 43．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：＝ ；＝ ； (2)猜想规律：＝ （n为正整数）； (3)利用规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3) 【分析】本题考查数字变化的规律，解题的关键是： （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取3之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知， 从1开始连续个奇数的和等于的平方， 又， 所以． 故答案为：． （3）原式 ． 题型六 二次根式与分母有理化 44．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）观察、发现：====﹣1 （1）试化简： ； （2）直接写出：=　 　； （3）求值：+++…+ ． 【答案】（1）；（2）（3）9 【分析】（1）仔细阅读，发现规律：分母有理化，然后仿照规律计算即可求解； （2）根据规律直接写出结果； （3）根据规律写出结果，找出部分互为相反数的特点，然后计算即可． 【详解】解：（1）原式= = =； （2）原式= =； 故答案为 （3）由（2）可知： 原式=﹣1++﹣+…+﹣ =﹣1+ =9． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，观察式子找到规律是解题的关键． 45．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： ． ， ． (1)用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律为_______． (2)利用上面的结论，求下列式子的值：． 【答案】(1) (2)1011 【分析】本题主要考查利用平方差公式分母有理化，二次根式的混合运算等知识点， （1）数字找规律，进行计算即可解答； （2）利用前边的规律，进行计算即可解答； 注意根据平方差公式的结构找到另一因式是求解的关键． 【详解】（1）总结规律可知： ， 故答案为：； （2） ． 46．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）先阅读，再解答：由看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________； (2)化去式子分母中的根号：___________；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的运算； （1）根据有理化因式的定义可直接得出答案； （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，然后计算即可； （3）先进行分母有理化，然后计算二次根式的加减，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：的有理化因式是， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 47．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝ ＝＝ ＝＝＝﹣1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简 （2）化简． （3）化简：＋＋＋…＋． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）分子，分母同乘，再根据二次根式的运算法则，即可化简； （2）分子，分母同乘-，再利用平方差公式和约分，化简即可； （3）分母有理化后，分母都是2，分子相加，进而即可求解． 【详解】（1）原式= = = = =； （2）原式= = = =； （3）原式=＋＋＋…＋ =＋＋＋…＋ =（＋＋＋…＋） =． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质以及分母有理化，是解题的关键． 题型七 螺旋树与面积 48．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．（其中表示图中第个三角形的面积），，；，；，；…… (1)用含有（是正整数）的式子表示：________，________； (2)若一个三角形的面积是，则说明这是第________个三角形． (3)的值为________． 【答案】(1)n， (2)28 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，化简二次根式，正确理解题意和熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出推出，即可得到； （2）根据（1）所求把代入中进行求解即可； （3）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得： ，…，， ∴． ∴， 故答案为：n，． （2）解：若一个三角形的面积是，则， ∴，即， ∴这是第28个三角形， （3）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$