专题03 勾股定理压轴题（9大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题03 勾股定理压轴题 题型一 折叠问题与勾股定理 1．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C的坐标分别是和，E为C点左侧x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，求的长（提示：点E可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上） 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 3．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． （1）求点G的坐标，并求直线的解析式； （2）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围． （3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二 两点间距离公式的应用 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．    （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 5．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为． 例如：点和的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成：或． (1)已知、在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则，两点的距离为______； (2)线段平行于x轴，且，若点B的坐标为，则点A的坐标是______； (3)已知，，A，B两点的距离为______； (4)已知三个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 题型三 手拉手全等与勾股定理 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在等腰中，，，点F是直线AB上一个动点，作等腰，且，连接．    (1)找出图中全等三角形______． (2)如图求证：； (3)若，则______． 8．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，点是线段上一动点，连接，过点A作，且，连接，作平分交于． (1)写出线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若，，请直接写出的长． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 10．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）在中，，，如图所示作正方形，并连接． (1)操作发现：如图1，当点D在线段上时，请你直接写出与的位置关系为 ；线段的数量关系为 ． (2)猜想论证 当点D在直线上运动时，如图2，是点D在线段的延长线上时，是点D在线段的延长线上时， 请你直接写出图2，图3中，线段的数量关系： ①图2中线段的数量关系为： ， ②图3中线段的数量关系为： (3)拓展延伸 当点D在直线上运动时，若， ①你直接写出三角形的面积 ， ②直接写出线段的长度 ． 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知等腰直角，点是直线上的一动点，且不与点重合，以为一边，作等腰直角（各顶点字母按逆时针排列），连接．    (1)如图1，点在线段上，请直接判断线段与的关系______； (2)如图2，点在的延长线上时，请判断线段与线段的关系，并说明理由． (3)当时，请直接写出的长度 (4)作交于点，连接，若是以为直角边的直角三角形， ①当点在边上时，线段的长为______； ②当点在的延长线上时，的长为______． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，点D在射线上（点D不与点A，C重合），过点D作于点E，过点D作于点D，且，连接，，． (1)如图1，点D在线段的延长线上． ①求证：； ②请判断线段，，之间的等量关系，并说明理由； (2)若，请直接写出的值． 13．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知和都是等腰直角三角形，，，，．    (1)如图1，点D为上一点，E为外一点． ①求证：； ②若，，求； (2)如图2，当点E，D，C在一条直线上时，，，直接写出的长． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，于点D． (1)如图1，点E，F在上，且，求证：； (2)点M，N分别在直线上，且． ①如图2，当点M在的延长线上时，求证：； ②当点M在点A，D之间，且时，已知，直接写出线段的长． 15．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）已知：在中，，．    (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，． ①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由． ②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________． (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________． (3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：在中，，点在直线上，连接，在的右侧作．    (1)如图1，①点在边上，线段和线段关系是________； ②直接写出线段之间的数量关系________； (2)如图2，点在右侧．请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展延伸 如图3，，请直接写出线段的长． 17．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）综合与实践： 数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角和等腰直角，，，，连接，，如图1． 独立思考： （1）如图1，求证：； 实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答： （2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，． ①求的度数； ②线段与线段交于点F，求的值； ③若，求的值． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图①，与均是等腰直角三角形，，，，线段、交于点．则______． （2）如图②，是等腰直角三角形，，，延长至点，使，以为直角边在的左侧作等腰直角，使得，，连接，求线段的长． （3）如图③，为等腰直角三角形，，，在的左侧作，使得，，，连接，求线段的长．    19．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系是______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知中，． (1)如图1，在中，，若，，则线段和线段的数量关系． (2)如图2，在（1）的条件下，在中，，，求线段的长． (3)如图3，点D是等边外一点，，，求出线段的长． 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，．    (1)若，（A，D，E按逆时针排列）． ①如图1，当点D在边上时，请直接写出与的数量关系和位置关系； ②如图2，当点D在外部时（点E，B，C不在同一条直线上），且，求证； (2)点D在外部，若，且于点D，请直接写出的长． 22．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）在中，，，，E为直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1) ； (2)①如图1，当点E与点B重合时， ．②如图2，当点E在线段上时，若，求的长度； (3)若，直接写出的长度． 23．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）已知和都是等腰直角三角形． (1)如图①，连接，求证：； (2)若将绕点O顺时针旋转， ①如图②，当点N恰好在边上时，探索的数量关系并证明． ②当点A，M，N在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，当点在一条直线上时，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 判断线段的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在等腰直角三角形中，，若于点，且点在直线下方，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 【问题应用】 若，求的长； 【问题迁移】 若，求的面积． 题型四 倍长中线与勾股定理 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长． 26．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）在中，，D为内一点．连接，，延长到点E，使得． (1)如图1，延长到点F．使得．连接，．求证：； (2)连接，交的延长线于点H．依题意补全图2．若．判断与位置关系．并证明． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）【发现】如图①，点为线段的中点，连接，我们易得，进而可以得到，且． 【应用】如图②，在中，，点为线段上一点，以为斜边作等腰直角（点按顺时针顺序排列），即，，取中点，连接． （1）求的度数； （2）求证：； 【拓展】 （3）若将（2）中的点改为直线上一点，其他条件不变，设直线与直线相交于点，当时，请直接写出的长． 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，为的中点，求中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下解题思路： 如图2，延长至点，使，连接．依据可以判定，在中，利用三角形的三边关系，可先求出边的取值范围，进而求出中线的取值范围是__________． 【类比分析】 （2）老师发现小明的解法运用了转化思想，当题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的条件集中到同一个三角形中．为了帮助学生更好地感语转化思想，老师在图1条件不变的情况下，增加如下条件，并提出新问题，请你写出解答过程． 如图3，点在上，连接．若，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在图1条件不变的情况下，，，交边于点，交边于点，连接．若，求的长． 29．（23-24八年级上·辽宁铁岭期中）（1）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，连接．①试猜想线段、、之间的数量关系　　．（不用证明） ②猜想AE与BE有怎样的位置关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点F在线段上，，取中点G，连接，若，，，线段的长为　　． 30．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）如图1，，，点分别在边上，点为中点．    (1)请直接写出线段与的关系； (2)连接，将绕点逆时针旋转至如图2位置，请写出与的关系，并说明理由； (3)在绕点旋转的过程中，当三点共线时，若，，请直接写出的长． 题型五 含半角模型与勾股定理 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，点、在边上． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果M、N是边上任意两点，并满足，那么线段是否有可能使等式成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 32．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系    (1)思路梳理： 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________． (2)类比引申： 如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明． (3)联想拓展： 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长． 33．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图1和 图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，∠ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF＝45°． （1）观察猜想：如图1，若∠A、∠DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式_____； （2）类比探究：如图2，若∠A、∠C都不是直角，则当∠A与∠C满足数量关系_____时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求AE的长． 34．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）问题初探 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在中，，，点D，E在BC边上，且，则用等式表示线段之间的数量关系是______；    ①小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据三角形全筹和勾股定理知识得到线段之间的数量关系______；    ②小强同学经过分析后，将、分别沿，进行翻折，得到和，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段，，之间的数量关系 ______； 请你根据上述两名同学的分析写出用等式表示线段，，之间的数量关系是______；    类比分析 （2）张老师发现两名同学分别从旋转和轴对称的角度分析、解决问题，张老师将前面问题进行变式，请你解答； 如图4，在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；    学以致用 （3）如图5，在四边中，，，，若，，，则出的长_______．    题型六 旋转模型与勾股定理 35．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图所示，P是等边内的一点，连接，，，将绕B点顺时针旋转得，连接，当时，请猜想出，，三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想．    36．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． 37．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 题型七 动点问题---等腰三角形 38．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值． 39．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点和点在的边上运动，动点从点出发运动到点后停止，速度为每秒；动点从点出发运动到点，再从点运动到点后停止，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为秒． (1)当时， （直接填空）； (2)当点在边上运动，且是等腰三角形时，求的值； (3)当点在边上运动，且是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 40．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 41．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 题型八 一线三垂直与勾股定理 42．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．    （2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）． （3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等． 43．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）【材料阅读】 材料1：我们知道，等边三角形的三边相等．那么等腰直角三角形的三边有何特殊关系呢？我们可以作如下探讨：如图1，在中，，，此时我们称是等腰直角三角形．如果设，那么由勾股定理得：，所以．因此，我们得出结论：等腰直角三角形的斜边长等于直角边的倍． 材料2：如图2，点是等边外一点，且满足，连接，，，线段，，之间有何等量关系呢？经过探究，小聪同学给出了他的正确思路： 如图3，在上截取，连接． 因为是等边三角形，所以，，由， ，，可证得，所以，，故．由 可知是等边三角形，所以．因此最终得出线段，，之间的等量关系是 ． 【材料理解】 请结合对材料2的阅读理解，完善以上证明思路． 【材料运用】 请运用上述材料的结论和方法，解决下列问题：如图4，点是等腰直角三角形外一点（其中，），且满足，连接，，，试判断线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【解决问题】 如图5所示，将一只等腰直角三角尺的直角顶点放置在直线上并固定，点是直线上的一动点，连接，，已知当与之和最小时，，，则此时的长为 ．（用含，的代数式表示） 44．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，于点于点与交于点，连接． (1)请写出线段与之间的数量关系，并给出证明； (2)若，则的周长为________． (3)若点为平面内一点，且在直线的上方，，当为等腰直角三角形时，连接，请直接写线段的长． 题型九 垂美四边形 45．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点．    (1)判断四边形_______垂美四边形（请在横线上填写是或者不是）； (2)求证：； (3)若，，，则的长为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理压轴题 题型一 折叠问题与勾股定理 1．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C的坐标分别是和，E为C点左侧x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，求的长（提示：点E可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上） 【答案】或 【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理．分点在轴正半轴上和点在轴负半轴上，两种情况，进行求解即可．解题的关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 【详解】当点在轴正半轴上时，如图：设交轴于点，则：四边形均为长方形， ∵长方形的顶点A、C的坐标分别是和， ∴，，， ∵翻折， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即：， ∴，即：； 当点在轴负半轴上时：如图 同法可得， ∴， 设，则， 在中，， 即：， ∴，即：， 综上：或． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【答案】(1；(2；(3)的长为或10 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． （1）求点G的坐标，并求直线的解析式； （2）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围． （3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）G的坐标为，直线的解析式为；（2）；（3）P的坐标为或或或 【分析】（1）由图形折叠的不变性可得OG的长度，从而可求NG的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入G的坐标，可得直线的解析式； （2）结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围； （3）依据等腰三角形性质的定义，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，， 由勾股定理得，， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为； （2）∵直线平行于直线， ，即直线的解析式为， 当直线经过点时，， 解得，， 当直线经过点时，， 解得，， ∴直线与长方形有公共点时，， （3）①当时， 若点P在原点左侧，点P的坐标为， 若点P在原点右侧，点P的坐标为， ②当时， ， ， ， ∴点P的坐标为， ③当时， 可得， 在中，，即， 解得，，点P的坐标为， 综上所述，以为顶点的三角形为等腰三角形时， 点P的坐标为或或或． 【点睛】本题利用图形折叠的不变性，考查了一次函数解析式的求法及一次函数图像的平移，同时考查了等要三角形的定义及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握考查内容并利用数形结合的思想求解． 题型二 两点间距离公式的应用 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．    （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1）10；（2）13；（3） 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可； （3）如图所示，，，， ，则，，，故的面积即为所求，由此求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10； （2）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质，， ∴， ∴， ∴的最小值为13， 故答案为：13； （3）如图所示，，，， ， ∴，，， ∴的面积即为所求， ∴ ．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． 5．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为． 例如：点和的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成：或． (1)已知、在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则，两点的距离为______； (2)线段平行于x轴，且，若点B的坐标为，则点A的坐标是______； (3)已知，，A，B两点的距离为______； (4)已知三个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)或 (3) (4)等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）根据平行于轴的直线上两点的距离为纵坐标之差，即可求解； （2）根据，得出点的横坐标为或，即可求解； （3）根据两点距离公式进行计算即可求解； （4）根据两点距离公式分别求得的三边之长，即可求解． 【详解】（1）解：∵、在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴，两点的距离为， 故答案为：． （2）解：线段平行于x轴，且，点B的坐标为， 则点的横坐标为或， ∴点A的坐标是或， 故答案为：或． （3）解：∵， ∴， 故答案为：． （4）解： 为等腰直角三角形．理由如下： ∵，，， ∴， ， ， ∴，， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理求两点坐标距离，二次根式的性质化简，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 题型三 手拉手全等与勾股定理 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在等腰中，，，点F是直线AB上一个动点，作等腰，且，连接．    (1)找出图中全等三角形______． (2)如图求证：； (3)若，则______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【分析】（1）可证，从而得证； （2）由全等得，，得，根据勾股定理得证结论； （3）中，勾股定理求得，得，于是． 【详解】（1）解：如图，, ∴． ∴． 又， ∴． 故全等三角形为． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质；由全等三角形推证线段相等、角相等是解题的关键． 8．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，点是线段上一动点，连接，过点A作，且，连接，作平分交于． (1)写出线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）利用先证明，结合等腰三角形性质证出，由勾股定理得，再证得，即可解决问题； （2）过A点作于，根据，，由（2）可知，可以得出，又因为，，所以，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明： ，理由如下： 连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过A点作于， ∵，， 由（1）可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∴． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】(1)证明即可． (2)连接，证明是等边三角形，得到，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴； ∴； ∴； ∵， ∴ ∴． （2）连接， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴； ∴是等边三角形， ∴； ∵，，， ∴； ∴； ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 10．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）在中，，，如图所示作正方形，并连接． (1)操作发现：如图1，当点D在线段上时，请你直接写出与的位置关系为 ；线段的数量关系为 ． (2)猜想论证 当点D在直线上运动时，如图2，是点D在线段的延长线上时，是点D在线段的延长线上时， 请你直接写出图2，图3中，线段的数量关系： ①图2中线段的数量关系为： ， ②图3中线段的数量关系为： (3)拓展延伸 当点D在直线上运动时，若， ①你直接写出三角形的面积 ， ②直接写出线段的长度 ． 【答案】(1) (2)①；② (3)①或；②或5 【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质可得到结论； （2）①利用全等三角形的性质可得到结论； ②利用全等三角形的性质可得到结论； （3）①分两种情况，利用全等三角形的性质以及三角形面积解决问题即可； ②分两种情况，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①；理由如下： ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； ②．理由如下： ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：①a、当点D在线段的延长线上时， ， ， ， ； b、点D在线段的延长线上时， ， ， ， ； 故答案为：或； ②分两种情况： a、当点D在线段的延长线上时， 作于G，如图4所示： ， ， ， ； b、点D在线段的延长线上时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述，线段CE的长度为或5； 故答案为：或5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积以及分类讨论，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知等腰直角，点是直线上的一动点，且不与点重合，以为一边，作等腰直角（各顶点字母按逆时针排列），连接．    (1)如图1，点在线段上，请直接判断线段与的关系______； (2)如图2，点在的延长线上时，请判断线段与线段的关系，并说明理由． (3)当时，请直接写出的长度 (4)作交于点，连接，若是以为直角边的直角三角形， ①当点在边上时，线段的长为______； ②当点在的延长线上时，的长为______． 【答案】(1)，且 (2)，且，理由见详解 (3)当时，的长度为或 (4)①；② 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （2）证明方法同（1）； （3）分类讨论，当点在线段上时；点在的延长线上时；结合（1）、（2）的结论，证明为直角三角形，运用勾股定理即可求解； （4）①根据题意可证四边形是正方形，可得，由此即可求解；②根据题意可证，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点在线段上，    ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：，且． （2）解：，理由如下， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，且． （3）解：在中，， ∴，， 当时， ①点在线段上时，则， 根据（1）可知，，， ∴，即是直角三角形， ∴； ②当点在的延长线上时，， 根据（2）可知，，，， ∴在中，， ∴，即是直角三角形， ∴； 综上所述，当时，的长度为或． （4）解：①根据题意，组图如下，    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，，，， ∴，即，且， ∴四边形是正方形， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； ②根据题意，作图如下，是以为直角边的直角三角形，即，，    ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，且，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质的综合，掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，点D在射线上（点D不与点A，C重合），过点D作于点E，过点D作于点D，且，连接，，． (1)如图1，点D在线段的延长线上． ①求证：； ②请判断线段，，之间的等量关系，并说明理由； (2)若，请直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)的值为或 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质， （1）①结合等腰三角形的判定与性质证明，即有，则有，问题得证；②由知，，在中，，在中，，问题随之得证； （2）第一种情况，当点D在线段的延长线上时，根据（1）可知：，由，可得，即可得，进而可得，问题得解；第二种情况，当点D在线段上时，根据，可得，即有，则． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②； 由知，， ∵， ∴在中，， 又∵在中，，， ∴； （2）分类讨论， 第一种情况，当点D在线段的延长线上时， 根据（1）可知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； 第二种情况，当点D在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 的值为或． 13．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知和都是等腰直角三角形，，，，．    (1)如图1，点D为上一点，E为外一点． ①求证：； ②若，，求； (2)如图2，当点E，D，C在一条直线上时，，，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析 ② (2) 【分析】（1）①根据证明即可； ②证明，利用勾股定理求解即可； （2）证明，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：， ， 在和中， ， ； ②解：如图1中，    ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， ； （2）解：如图2中，    同法可证， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，于点D． (1)如图1，点E，F在上，且，求证：； (2)点M，N分别在直线上，且． ①如图2，当点M在的延长线上时，求证：； ②当点M在点A，D之间，且时，已知，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，② 【分析】（1）先判断出，进而得出，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）①先判断出，进而判断出，判断出，即可判断出，再判断出，即可得出结论；②先求出，求出，推出，得到，在中，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图1，过点M作，交的延长线于点P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②如图， 在中，，， ， ， ∵， ∴， ， ， 在中， ， ， ， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理含30度角的直角三角形的特征，判断出是解（1）的关键，构造出全等三角形是解（2）的关键． 15．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）已知：在中，，．    (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，． ①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由． ②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________． (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________． (3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①连接，证明即可得到； ②由全等可得，，从而得出，再由勾股定理即可得到答案； （2）连接，，证明即可得到，，从而得出，再由勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得出答案； （3）分两种情况：当点在点的左侧时，连接；当点在之间时，连接，类比（2）证明，分别利用三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，   ∴， 故答案为：； （3）解：如图，当点在点的左侧时，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在之间时，连接，    同理可证得：， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：在中，，点在直线上，连接，在的右侧作．    (1)如图1，①点在边上，线段和线段关系是________； ②直接写出线段之间的数量关系________； (2)如图2，点在右侧．请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展延伸 如图3，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）①先证出，再根据全等三角形的性质即可得出结论； ②在中，根据勾股定理即可得出结论； （2）连接，先证出，再在中，根据勾股定理即可得出结论； （3）过点作的垂线，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再在中，利用勾股定理可得，从而可得，在中，，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：①， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴线段和线段关系是， 故答案为：； ②在中，由勾股定理得：， ， 故答案为： AD2+BD2=DE2 <math latex="$AD^{2}+BD^{2}=DE^{2}$"><mrow><mi>A</mi><msup><mi>D</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>B</mi><msup><mi>D</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>D</mi><msup><mi>E</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math> ． （2）解：，理由如下： 如图，连接， AI  ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． （3）解：如图，过点作的垂线，交于点，   ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 在中，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以线段的长为． 17．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）综合与实践： 数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角和等腰直角，，，，连接，，如图1． 独立思考： （1）如图1，求证：； 实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答： （2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，． ①求的度数； ②线段与线段交于点F，求的值； ③若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②；③ 【分析】（1）根据证明，即可得出； （2）①先根据平行线的性质求出，再根据周角求出结果即可； ②先证明，得出，先证明，得出，证明为等边三角形，根据三线合一得出，求出； ③过点B作的垂线，垂足为点F，证明为等腰直角三角形，求出，，根据勾股定理求出，根据线段间关系求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图1，∵等腰直角和等腰直角， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①如图1，    ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． ②连接，如图2： 由（1）可知：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图3，过点B作的垂线，垂足为点F，    ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴，， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图①，与均是等腰直角三角形，，，，线段、交于点．则______． （2）如图②，是等腰直角三角形，，，延长至点，使，以为直角边在的左侧作等腰直角，使得，，连接，求线段的长． （3）如图③，为等腰直角三角形，，，在的左侧作，使得，，，连接，求线段的长．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）首先根据等式的性质证明，则根据即可证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）首先根据等式的性质证明，则根据即可证明，根据全等三角形的性质即可证明，在利用勾股定理即可； （3）构造如（1）的图形，得出，再根据等腰直角三角形的性质求出，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ，即， 在和中，， ， ； ∵ ∴ （2）∵为等腰直角三角形， ∴ 同理可得： ； ∵ ∴ ∴为直角三角形 在中，，，根据勾股定理得 ∴ （3）在的外部，以为直角顶点作等腰直角，使，，连接、．    同（1）得，， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴， 又， ， 在中，，，根据勾股定理得， ， ， 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形得判定和性质，解决前两问的关键是判断出，解决（3）的关键是构造全等三角形，是一道中考常考题． 19．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系是______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】（1）由“”可证，可得，．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； （2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知． 【详解】（1）①和均为等边三角形， ，，， ， ． ． 为等边三角形， ， 点，，在同一直线上， ， ， ，； ②， ，； （2）和均为等腰直角三角形， ，，． ， ， ，， 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ， ， ， 又，， ， ； （3）如图3， 由（1）知， ， ， ， ， 如图4， 同理求得， ， 综上所述：的度数是或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知中，． (1)如图1，在中，，若，，则线段和线段的数量关系． (2)如图2，在（1）的条件下，在中，，，求线段的长． (3)如图3，点D是等边外一点，，，求出线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，即可， （2）由全等三角形的性质可得，则，然后由勾股定理得的长，最后由勾股定理即可求解； （3）证明，可得，再证是等腰直角三角形，得，可得，然后由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：以为边向上作等边，连接，过点E作，交延长线于点H，如图3所示： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等求解． 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，．    (1)若，（A，D，E按逆时针排列）． ①如图1，当点D在边上时，请直接写出与的数量关系和位置关系； ②如图2，当点D在外部时（点E，B，C不在同一条直线上），且，求证； (2)点D在外部，若，且于点D，请直接写出的长． 【答案】(1)①，见解析；②见解析 (2)2或6 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）①证明，可得，，可得结论； ②由“”可证，可得； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求的长，由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：①，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②证明：连接，，设相交于点O，      ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：当点D在的上方时， 如图，过点A作，交于点H，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：； 当点D在的下方时，过点A作，交延长线于点H，      同理可得， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：； 综上所述：的长为2或6． 22．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）在中，，，，E为直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1) ； (2)①如图1，当点E与点B重合时， ．②如图2，当点E在线段上时，若，求的长度； (3)若，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①4，②5 (3) 【分析】（1）在中，由所对的直角边是斜边的一半，再由勾股定理得到，即可得到答案； （2）①利用旋转性质，证得，由全等性质即可得到；②在上截取，如图所示，由“手拉手模型”证得，则，根据（1）中，结合已知条件即可得到答案； （3）由于为直线上一动点，当，分两种情况：在直线上方；在直线下方；作图分析求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，则， ∵，则， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）知， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴当点与点重合时，，， 在和，， ∴， ∴， 故答案为：4； ②在上截取，如图所示：    ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴，则； （3）由题意可知，分两种情况讨论：在直线上方； 由（1）知在中，， 当时，，即是的角平分线， ∴过作于，如图所示：    ∴， 在中，，则， 设，则，由勾股定理可得， ∵， ∴，即，解得，则， 当在直线上方，在上截取，如图所示：    由（2）②的求解过程可知，， 当时，， ∴； 当在直线下方，过作于，如图所示：    ∴， 由（1）知在中，，，，， ∵将绕点顺时针旋转得到，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， 作点关于直线的对称点，如图所示：    则， 由（3）可知，，则， ∵， 在中，，，， 则． 【点睛】本题考查几何综合，涉及含的直角三角形、勾股定理、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关几何判定与性质，准确作出辅助线是解决问题的关键． 23．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）已知和都是等腰直角三角形． (1)如图①，连接，求证：； (2)若将绕点O顺时针旋转， ①如图②，当点N恰好在边上时，探索的数量关系并证明． ②当点A，M，N在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，证明见解析；②或． 【分析】主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识： （1）根据证明三角形全等即可． （2）①连接，证明，利用勾股定理解决问题即可．②分两种情形分别画出图形求解即可． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形 ∴，，， ∴， 即． ∴． （2）解：① 证明：如图，连接AM． ∵和都是等腰直角三角形 ∴，，，， ∴，即． ∴． ∴，， ∴ ∴， ∴， ②如图③，设交于J，过点O作于H． 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 如图④，同法可证． 综上，线段的长为或． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，当点在一条直线上时，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 判断线段的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在等腰直角三角形中，，若于点，且点在直线下方，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 【问题应用】 若，求的长； 【问题迁移】 若，求的面积． 【答案】（1）；（2）问题应用：；问题迁移： 【分析】（1）通过证明，得出，结合等边三角形的性质，即可得出结论； （2）问题应用：过点B作于点H，根据折叠的性质得出，则为等腰直角三角形，，求出，，根据勾股定理求出，最后根据即可求解； 问题迁移：过点F作于点G，设，则，，根据，，求出，，进而得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：问题应用：过点B作于点H， ∵沿直线折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，则， 根据勾股定理可得：， 则， 整理得：， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴； 问题迁移：过点F作于点G， 设， ∵，沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 题型四 倍长中线与勾股定理 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长． 【答案】6.5 【分析】如图，延长AE交BC于F，构造全等三角形△AED≌△FEC（AAS），则对应边AE=FE，AD=FC．在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求得线段AF的长度． 【详解】解：如图，延长AE交BC于F． ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC ∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE， 又∵点E是CD的中点， ∴DE=CE． ∵在△AED与△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（AAS）， ∴AE=FE，AD=FC． ∵AD=5，BC=10． ∴BF=5 在Rt△ABF中，AF＝， ∴AE=AF=6.5． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．注意，本题辅助线的作法． 26．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）在中，，D为内一点．连接，，延长到点E，使得． (1)如图1，延长到点F．使得．连接，．求证：； (2)连接，交的延长线于点H．依题意补全图2．若．判断与位置关系．并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆定理． （1）利用“”证明，即可得证结论； （2）延长至点M，使，延长交于G，连接，，由（1）同理可得，得到，，由，，可得，从而有，证得，进而根据得到，得证． 【详解】（1）在和中， ∴， ∴ （2），理由如下： 延长至点M，使，延长交于G，连接，， 在和中， ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）【发现】如图①，点为线段的中点，连接，我们易得，进而可以得到，且． 【应用】如图②，在中，，点为线段上一点，以为斜边作等腰直角（点按顺时针顺序排列），即，，取中点，连接． （1）求的度数； （2）求证：； 【拓展】 （3）若将（2）中的点改为直线上一点，其他条件不变，设直线与直线相交于点，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）5 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行线的性质． (1)根据，，得到，结合计算即可． (2)连接，过点C作，交的延长线于点N，连接，先证明 得到，，，结合， 得到，得到，结合，得到，证明即可得证． (3)当点D在线段上时，在上截取，连接，证明，继而得到，根据，得到， 设，则，，根据勾股定理，得到，求解即可．当点D在线段得延长线上时，都不成立． 【详解】(1)∵，， ∴， ∴． (2) 过点C作，交的延长线于点N，连接， ∴， ∵中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，故， ∵，， ∴． (3)当点D在线段上时，在上截取，连接，， 根据(2)得，, ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 【点睛】老师延长线上时，BF小于BC是不可能的，您说是吗？ 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，为的中点，求中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下解题思路： 如图2，延长至点，使，连接．依据可以判定，在中，利用三角形的三边关系，可先求出边的取值范围，进而求出中线的取值范围是__________． 【类比分析】 （2）老师发现小明的解法运用了转化思想，当题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的条件集中到同一个三角形中．为了帮助学生更好地感语转化思想，老师在图1条件不变的情况下，增加如下条件，并提出新问题，请你写出解答过程． 如图3，点在上，连接．若，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在图1条件不变的情况下，，，交边于点，交边于点，连接．若，求的长． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，勾股定理以及三角形三边关系等知识： （1）延长至点，使，连接．依据可以判定，在中，利用三角形的三边关系，可先求出边的取值范围，进而求出中线的取值范围； （2）延长至点，使，连接．证明得,从而可得结论； （3）延长到点G，使，连结，证明,得，推出，由勾股定理得,设，则代入上式求出x的值即可解决问题 【详解】（1）如图2，延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴ 又 ∴， ∴ 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为： （2）延长至点，使，连接 同（1）可证, ∴, ∵ ∴ ∴ ∴； （3）延长到点G，使，连结， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴中，， ∴, 设，则， ∴， 解得，， ∴． 29．（23-24八年级上·辽宁铁岭期中）（1）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，连接．①试猜想线段、、之间的数量关系　　．（不用证明） ②猜想AE与BE有怎样的位置关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点F在线段上，，取中点G，连接，若，，，线段的长为　　． 【答案】（1）；（2）AB＝AD+BC，详见解析；②AE⊥BE，详见解析；（3） 【分析】（1）延长至，使，连接，证，再根据三角形三边关系得出结论即可； （2）①延长，交于点，证，即可得出结论； ②由①知，，得，又，根据等腰三角形的性质得出结论即可； （3）延长交的延长线于点，证，得，作于点，根据特殊直角三角形的性质得出的长即可． 【详解】解：（1）延长至，使，连接， 是边上的中线， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）①如图，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②， 理由：， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于点， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点是的中点， ， 作于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键． 30．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）如图1，，，点分别在边上，点为中点．    (1)请直接写出线段与的关系； (2)连接，将绕点逆时针旋转至如图2位置，请写出与的关系，并说明理由； (3)在绕点旋转的过程中，当三点共线时，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)的长为或 【分析】（1）设交于，由，点为中点，得出，，由全等三角形的性质可得，，由得出，即可得到； （2）延长到，使，连接，得到是的中位线，即，证明，得到，再证明即可得到； （3）由可得，，分两种情况：当在延长线上时；当在线段上时；分别画出图形，结合勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 理由如下： 如图，设交于，   ， ，点为中点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， 理由如下： 如图，延长到，使，连接，   ， 为中点，为中点， 是的中位线， ， ，， ， ，， ，即， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，，； （3）解：， ，， 如图，当在延长线上时，    ， ， 为中点， ， ， ； 如图，当在线段上时，   ， ， 为中点， ， ， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了三角形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质、勾股定理的应用、三角形中位线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形全等． 题型五 含半角模型与勾股定理 31．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，，，点、在边上． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果M、N是边上任意两点，并满足，那么线段是否有可能使等式成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见详解 【分析】（1）根据已知条件“在中，，”以及等腰直角三角形的性质来判定；然后根据全等三角形的对应边相等求得； （2）过点作，垂足为点，截取，使．连接、．通过证明推知全等三角形的对应边、对应角；然后由等腰直角三角形的性质和得到，所以，故全等三角形的对应边；最后由勾股定理得到即． 本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．勾股定理，等腰直角三角形的两个底角都是，两腰相等．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ． ， ． 即得． 在和中， ． ． （2）解：成立．证明如下： 过点作，垂足为点，截取，使．连接、． ，， ． ， ． 在和中， ． ，． ，， ． 于是，由， 得． 在和中， ． ． 在中，由勾股定理，得． 即得． 32．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系    (1)思路梳理： 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________． (2)类比引申： 如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明． (3)联想拓展： 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)， 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点、、共线，再根据证明，得，可得结论； （2）作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，证明，求出，，继而得到，过A作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质求出，可得，利用勾股定理可得． 【详解】（1）解：如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即， 由旋转得：，，，， ， 即点、、共线， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）如图2，，理由是： 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则在上，    由旋转得：，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，，    由旋转得：，，， ，， ， ， ， ，， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 过A作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 33．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图1和 图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，∠ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF＝45°． （1）观察猜想：如图1，若∠A、∠DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式_____； （2）类比探究：如图2，若∠A、∠C都不是直角，则当∠A与∠C满足数量关系_____时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求AE的长． 【答案】（1）EF＝AE＋CF；（2）∠A＋∠C＝180°，见解析；（3） 【分析】（1）根据旋转的性质得出DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，AE＝CG，求出∠EDF＝∠GDF＝45°，根据SAS推出△EDF≌△GDF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案； （2）当∠A＋∠C＝180°，可得结论，由（1）同理证明△EDF≌△GDF，根据全等三角形的性质即可证明； （3）同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和全等三角形的判定条件证明△ADF≌△ADE，利用勾股定理求出BC，再利用列出方程求出DE，BE，由等腰三角形的性质得到△AED∽△BEA，故可根据对应线段成比例求出AE的长． 【详解】解：（1）∵把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合， ∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，AE＝CG，∠A＝∠DCG＝90°， ∵∠DCB＝90°， ∴∠DCB＋∠DCG＝180° ∴F、C、G共线， ∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°， ∴∠ADE＋∠FDC＝45°， ∴∠CDG＋∠FDC＝45°， 即∠EDF＝∠GDF＝45°， 在△EDF和△GDF中， ， ∴△EDF≌△GDF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵AE＝CG， ∴EF＝GF＝CF＋CG＝CF＋AE， ∴EF＝AE＋CF． 故答案为：EF＝AE＋CF． （2）当∠A＋∠C＝180°时，EF＝AE＋CF．                    理由如下：如图2， ∵AD＝DC， ∴把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，可使AD与DC重合， ∴∠ADE＝∠CDG，DE＝DG， ∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45° ∴∠FDC＋∠ADE＝45°， ∴∠EDF＝∠GDF， ∵∠A＋∠DCF＝∠DCG＋∠DCF＝∠FCG＝180°， ∴点F、C、G三点共线， 在△EDF和△GDF中，， ∴△EDF≌△GDF， ∴EF＝FG＝CG＋CF＝AE＋CF． 故答案为：∠A＋∠C＝180°． （3）如图3，把△ACE旋转到△ABF的位置，连接DF， 则∠FAB＝∠CAE，∠ABF＝∠C，BF＝CE， ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45° ， ∴∠BAD＋∠CAE＝∠BAD＋∠FAB＝∠FAD＝45°， 在△ADF和△ADE中，， ∴△ADF≌△ADE， ∴DF＝DE， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝， ∴BC＝4，∠ABC＝∠C＝∠ABF＝45°， ∴∠FBD＝90°， ∴， ∴， ∵BD＝1， ∴DC＝4－1＝3，EC＝3－DE， ∴， 解得，，    ∴ ∵∠ABC＝∠DAE＝45°，∠AEB＝∠DEA， ∴△AED∽△BEA， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高． 34．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）问题初探 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在中，，，点D，E在BC边上，且，则用等式表示线段之间的数量关系是______；    ①小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据三角形全筹和勾股定理知识得到线段之间的数量关系______；    ②小强同学经过分析后，将、分别沿，进行翻折，得到和，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段，，之间的数量关系 ______； 请你根据上述两名同学的分析写出用等式表示线段，，之间的数量关系是______；    类比分析 （2）张老师发现两名同学分别从旋转和轴对称的角度分析、解决问题，张老师将前面问题进行变式，请你解答； 如图4，在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；    学以致用 （3）如图5，在四边中，，，，若，，，则出的长_______．    【答案】（1） ①，理由见详解． ②．证明过程见解答； （2）．证明过程见解答； （3）． 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，旋转变换，翻折变换，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形． （1）①利用旋转的性质，证明即可； ②根据翻折的性质得，，，，再利用勾股定理即可解决问题； （2）如图4，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，证明，得，再利用勾股定理即可解决问题； （3）如图5中，在上取一点G，使得，证明，推出，，证明，推出，设,则，, ,在中，根据，构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：（1）． ①理由如下： 如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． ②如图3，根据题意可知：，，，， ， ． ． 故答案为：． . （2）． 作，使，连接，． 则． ∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴，． ∴． ∴． ． 在和中， ，，， ∴． ∴． 在中，根据勾股定理，，即．    （3）如图5，在上取一点G，使得， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ,则， ， , 在中， ， ， ， ． 故答案为：． 题型六 旋转模型与勾股定理 35．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图所示，P是等边内的一点，连接，，，将绕B点顺时针旋转得，连接，当时，请猜想出，，三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想．    【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理；可证是等边三角形，从而可得，再由，即可得证；能根据性质证出是解题的关键． 【详解】； 证明：由绕点B顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形， ， 在中， ， ， ，， ． 36．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】此题主要考查几何变换中的旋转变换，勾股定理； （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． 【详解】（1）证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形． ∴，， 又∵， ， 即 （2） 证明：如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等腰三角形． 且， ∴， ∵， ∴， ． 37．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得出，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）根据勾股定理求出的值，将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质得出，，，，，即可得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，然后根据勾股定理及等量代换即可得出答案． 【详解】（1） ，，， 为等边三角形 即 为等边三角形 ， 为直角三角形，且 （2）证明：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，， 在和中 ， 由勾股定理得， 即； （3）在中，，， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接 ，，，， 是等边三角形 ， 、、、四点共线 在中， ． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 题型七 动点问题---等腰三角形 38．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； （2）解：在中，，， ∴， 若，如图，    ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 若，如图，    则在中，， 解得：； 若，如图，    则，解得： ∴当为等腰三角形时，的值为或或； 39．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点和点在的边上运动，动点从点出发运动到点后停止，速度为每秒；动点从点出发运动到点，再从点运动到点后停止，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为秒． (1)当时， （直接填空）； (2)当点在边上运动，且是等腰三角形时，求的值； (3)当点在边上运动，且是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)当运动时间为3秒或秒时，为是以为腰的等腰三角形． 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识． （1）可求得和，则可求得，在中，由勾股定理可求得的长； （2）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：当时，则，， ， ， 在中，由勾股定理可得， 故答案为：； （2）解：由题意可知，， ， ， 当为等腰三角形时，因，则有， 即， 解得， 出发秒后能形成等腰三角形； （3）解：在中，由勾股定理可求得， 当点在上时，， ， 是以为腰的等腰三角形， 有和两种情况， 如图， ①当时，则， 解得； ②当时，则， ， ， ， ， ， 解得； 综上，可知当运动时间为3秒或秒时，为是以为腰的等腰三角形． 40．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1)4或 (2)或5或8 【分析】（1）根据勾股定理可求出的长．分类讨论当时和时，作出图形，利用勾股定理，结合题意即可求出结果． （2）分类讨论①当AP=BP时，利用勾股定理即可解题；②当AB=BP时，直接用BP的长除以2即得出答案；③当AB=AP时，由等腰三角形三线合一的性质，易求出BP的长，即可得出答案． 【详解】（1）在中，． 分类讨论：①当时，如图， 此时P点与C点重合， ∴， ∴． ②当时，如图， 设，则． ∵在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得：，即， ∴， ∴． 综上可知，当t的值为4或时，△ABP为直角三角形． （2）分类讨论：①当AP=BP时，如图， 设，则， ∵在中，，即， 解得：， ∴， ∴； ②当AB=BP时，如图， ∵AB=10， ∴BP=10， ∴； ③当AB=AP时，如图， ∵AB=AP，， ∴BC=CP=8， ∴BP= BC+CP=16， ∴． 综上可知，当t的值为或5或8时，△ABP为等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质以及利用勾股定理解三角形，利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键． 41．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1)4cm (2)当为直角三角形时，或 (3)当为等腰三角形时，或或 【分析】（1）直接根据勾股定理求出的长度； （2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的值即可； （3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值． 【详解】（1）解：在中，， ； （2）解：由题意知， ①当为直角时，点与点重合，，即； ②当为直角时，，，， 在中， ， 在中，， 即：， 解得：， 故当为直角三角形时，或； （3）解：①当时，； ②当时，，； ③当时，，，， 在中，， 所以， 解得：， 综上所述：当为等腰三角形时，或或． 【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 题型八 一线三垂直与勾股定理 42．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．    （2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）． （3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）O应建在离C点52.5千米处． 【分析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可； （2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积； （3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO=BO列出方程，求解即可． 【详解】（1）由面积相等可得， ∴， ∴， ∴． （2），， ∴． 故答案为： （3）设千米，则千米． ∵到A，B两个城市的距离相等， ∴，即， 由勾股定理，得， 解得． 即O应建在离C点52.5千米处． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键． 43．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）【材料阅读】 材料1：我们知道，等边三角形的三边相等．那么等腰直角三角形的三边有何特殊关系呢？我们可以作如下探讨：如图1，在中，，，此时我们称是等腰直角三角形．如果设，那么由勾股定理得：，所以．因此，我们得出结论：等腰直角三角形的斜边长等于直角边的倍． 材料2：如图2，点是等边外一点，且满足，连接，，，线段，，之间有何等量关系呢？经过探究，小聪同学给出了他的正确思路： 如图3，在上截取，连接． 因为是等边三角形，所以，，由， ，，可证得，所以，，故．由 可知是等边三角形，所以．因此最终得出线段，，之间的等量关系是 ． 【材料理解】 请结合对材料2的阅读理解，完善以上证明思路． 【材料运用】 请运用上述材料的结论和方法，解决下列问题：如图4，点是等腰直角三角形外一点（其中，），且满足，连接，，，试判断线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【解决问题】 如图5所示，将一只等腰直角三角尺的直角顶点放置在直线上并固定，点是直线上的一动点，连接，，已知当与之和最小时，，，则此时的长为 ．（用含，的代数式表示） 【答案】【材料理解】；，；；【材料运用】，证明见详解；【解决问题】 【材料理解】根据“材料阅读”材料2小聪提供的证明方法，是等边三角形，可求出，从而证明，由此可得为等边三角形，所以，由此即可求证；【材料运用】根据“材料理解”中的结论，可知，且有是等腰直角三角形，由此即可求解；【解决问题】根据“材料运用”中的结论即可求解． 【详解】解：【材料理解】 ∵是等边三角形， ∴，且， ∴在，中，， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， 故答案为：；，； 【材料运用】， 证明：如图所示，在上截取，连接， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【解决问题】如图所示， 根据“材料运用”中的结论可知，，，且， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的证明，动点运动问题，掌握三角形全等的证明方法，等腰三角形的性质以及等腰直角三角形两边的关系是解题的关键． 44．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，于点于点与交于点，连接． (1)请写出线段与之间的数量关系，并给出证明； (2)若，则的周长为________． (3)若点为平面内一点，且在直线的上方，，当为等腰直角三角形时，连接，请直接写线段的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)）5或或 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （2）根据得到，根据勾股定理求出，即可进求出的周长； （3）分点为直角顶点、点为直角顶点、当为直角顶点三种情况分类讨论，画出图形，添加辅助线，由等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：． 证明：∵，， ， ∵，，， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ， 即， ； （2）解：∵， ， 在中，， 的周长为． 故答案为：； （3）解：的长为5或或． 如图1，当点为直角顶点，过点作于点， ∵，， ， ∵，， ， ，， ， ； 如图2，当点为直角顶点，过点作于点， 同理可得， ，， ， ； 如图2，当为直角顶点，过点作的垂线，过点作的垂线，垂足分别为，， 同理可得出， ，， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为5或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键，第（3）步要注意分类讨论． 题型九 垂美四边形 45．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点．    (1)判断四边形_______垂美四边形（请在横线上填写是或者不是）； (2)求证：； (3)若，，，则的长为________． 【答案】(1)是 (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）先证明，可得，再证，由此即可求解； （2）运用直角三角形的勾股定理即可求证； （3）结合（2）中的结论，运用勾股定理即可求解； 本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解图示，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 故答案为：是． （2）证明：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得，（舍去），， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$