专题03 平面解析几何初步（直线方程、直线与圆考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）高二数学上学期湘教版2019

高二湘教版（24-25学年）数学选修一期中考点大串讲 串讲03 平面解析几何初步 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点、明确复习目标 二十大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期中、期末真题对应考点练 01考点透视 01考点透视 02题型剖析 题型一　直线的倾角与斜率 例1 直线, 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析：直线的斜率 .由于 ，所以 ,.设直线的倾斜角为 ，则有 .又，所以 ，即倾斜角的取值范围是 .故选B. √ 举一反三 变式1-1：设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）. A. B. C. D.或 【答案】 变式1-2：若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】 题型剖析 题型二　直线与线段相交问题 【例2】已知两点，，过点的直线与线段有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 解：如图，由题意可知，， (1)要使与线段有公共点，则或， 即直线的斜率的取值范围是. (2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 又的倾斜角是，的倾斜角是， ∴的取值范围是. 举一反三 变式2-1：若已知点,另有两点,,若过点的直线与线段有交点,则直线的斜率取值范围为________. 【答案】 题型剖析 题型三　求直线的方程 例2 已知过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该 直线方程为( ) A. B. C.或 D.或 思路一：直接法，设出直线与两坐标轴的交点， ，利用 三点共线，求出 ，再写出直线方程； 思路二：待定系数法，截距式设方程，利用已知条件求出方程； 思路三：待定系数法，点斜式设方程，利用已知条件求出方程. √ 解析：方法一：设直线与两坐标轴的交点分别为， ，由 于,,三点共线，所以，解得或 , 当时，直线方程为，即 ； 当时，直线方程为 . 方法二：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为 ，即 ; 当直线不过原点时，设直线方程为 , 因为直线过点,所以 , 解得,此时直线方程为 . 方法三：易知当直线的斜率不存在或直线的斜率为0时不符合题意. 设直线方程为 , 则当时，，当时， , 由题意知 , 解得或，即直线方程为或 .故选D. 求直线方程的策略： （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程 技巧点拨 举一反三 【变式3-1】已知的三个顶点坐标为,,,为的 中点， 为的中点，则中位线 所在直线的方程为( ) A. B. C. D. √ 【变式3-1】 已知点,,,则的边 上的高所在 的直线方程为( ) A. B. C. D. √ 题型剖析 题型四　两直线的位置关系 【例4】若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a的值为 (　　) A．－1 B．－2 C．－2或0 D．0 √ 【解析】由题设知(a＋1)2＝1，解得a＝0或a＝－2.当a＝0时，l：x－y＋3＝0，m：x－y－3＝0，满足题设；当a＝－2时，l：x＋y－3＝0，m：x＋y－3＝0，不满足题设．所以a＝0. 1.解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性． 2．一般式方程下两直线的平行与垂直 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 技巧点拨 举一反三 【变式4-1】 已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式4-2】已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线l2：2x＋y－1＝0，直线l3：x＋ny＋1＝0.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n= ． B -10 题型剖析 题型五　直线的交点问题 举一反三 ∵直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限， 1 已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围为________. 题型剖析 题型六　距离问题 C 举一反三 (1)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________. [0，10] 2或－6 题型剖析 题型七　对称问题 解析　设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′， 【例6】已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________________. 6x－y－6＝0 即6x－y－6＝0. 举一反三 解析　设所求直线上任意一点P(x，y)， 点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)， 1、直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________. x－2y＋3＝0 ∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0. 题型剖析 题型八　圆的方程 例1（1） (2022·全国甲卷)设点在直线上，点 和 均在上，则 的方程为______________________. 解析：方法一：设的方程为 ,则 解得 所以的方程为 . 方法二：因为点在直线上，所以设点为 ， 又因为点和均在 上， 所以点到两点的距离相等且为半径 ， 所以 ， 即，解得 ， 所以， ， 所以的方程为 . 方法三：设点,,的半径为,则， 的中 点坐标为 , 所以的垂直平分线方程为 ， 即 . 联立解得 所以,所以,所以 的 方程为 . 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 技巧点拨 举一反三 1.已知半径为2的圆的圆心在第四象限，且与直线和 均 相切，则该圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 解析：选C.设圆心坐标为，则圆心到直线 的距 离,所以 （负值已舍去）,所以该圆的标准方程为 .故选C. √ 题型剖析 题型九　直线与圆位置关系的判断 【例9】直线 与圆 的位置 关系为( ) A.相切 B.相交或相切 C.相交 D.相交、相切或相离 思路一：代数法，联立方程组，借助一元二次方程解的个数来判断； 思路二：几何法，直线恒过定点，根据定点与圆的关系来判断； 思路三：几何法，根据圆心到直线的距离与半径的关系来判断. √ 解析：方法一：联立消去 ，整理得 ，① 因为判别式 恒成立，所以①式有两个不相等的实数根， 所以直线与圆 相交. 方法二：直线的方程可化为 , 该直线恒过定点.因为，所以点 在圆 的内部，所以直线 与圆 相交. 方法三：圆的方程可化为 , 所以圆的圆心为 ，半径为3. 圆心到直线 的距离为 ,所以直线与圆相交.故选C. 举一反三 1.若过点的直线与圆有公共点，则直线 的斜率 的取值范围是( ) A.， B.， C.， D. √ 题型剖析 题型十　切线问题 【例10】与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是 (　　) C C 举一反三 【解析】圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，所以圆心为B(2，0).记A(0，－2)，设切点为M，N，如图所示． B 题型剖析 题型十一　弦长问题 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时圆心(－1，3)到直线x＝0的距离为1，满足条件； x＝0或3x＋4y－4＝0 弦长的两种求法 （1）代数法：将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程.在 判别式 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. （2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长 . 技巧点拨 举一反三 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，3)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_______． 题型剖析 题型十二　圆与圆的位置关系 【例12】(2024·浙江绍兴期末)已知圆 与圆 ,则圆与 的位置关系是( ) A.相交 B.外离 C.外切 D.内含 解析：根据题意，可知圆的半径 , 圆的半径 , 且两圆的圆心距 , 即 ,故两圆外离. √ 圆与圆的位置关系的求解策略 （1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. （2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去, 项得到. 技巧点拨 举一反三 1.圆与圆 的公切线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：选D.，圆心坐标为 ， 半径为2； ，圆心坐标为 ，半径为1.两圆圆心距为4,两圆半径和为3，因为 ，所以两圆 的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.故选D. √ 举一反三 （2）圆 与圆 的公共弦所在直线的方程为 _______________，公共弦长为_____. 解析：联立 两式相减并化简，得两圆公共 弦所在直线的方程为 . 设两圆相交于，两点，则， 两点的坐标满足方程组 解得或 所以 ， 即公共弦长为 . 题型剖析 题型十三 最值问题　 【例13】已知圆和点，由圆外一点 向圆 引切线，切点分别为，，若，则 的最小值 是( ) A. B. C. D. √ 解析：设点，连接，则 ，所以 ，即 ，可得 ，所以 ，故当 时， 取得最小值，最小值是 .故选C. 03易错易混 易错点1　有关截距问题忽略截距为零致错 【错因】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况 针对训练 03易错易混 易错点2　忽略直线斜率不存在的情况而致错 【错解】3x-4y+6=0 【错因】点斜式方程并不能表示斜率不存在的情况，故在求直线方程时，若设点斜式方程，根据条件求得斜率后，应注意验证斜率不存在的情况是否满足题意．本题就是忽略了斜率不存在的特殊情况而出错的． 针对训练 03易错易混 易错点3　化简不等价而致错 【错解】曲线方程化简为x2+(y-1)2=4,由题意可知直线y=k(x-2)+4与圆x2+(y-1)2=4有两个交点，则圆心M（0,1）到y=k(x-2)+4的距离小于2，故 ，解得 ，故选B 【错因】曲线方程化简后应为x2+(y-1)2=4（y≥1）,其图像应该是一个半圆。 针对训练 04押题预测 B D D AD 谢谢观看！ 例1 已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________. 解析　由方程组 解得 (若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行) 解得－＜k＜. 又∵交点位于第一象限，∴ ∴交点坐标为. 解析　联立 解得x＝，y＝(k≠－2). ∴>0，且>0，解得－<k<. 【解析】依题意，设直线l的方程为x＋ay＋c＝0.因为点P(2，2)在l上，且点M(1，0)到直线l的距离等于，所以消去c，得a＝2. 【例6】已知经过点P(2，2)的直线l与直线ax－y＋1＝0垂直，若点M(1，0)到直线l的距离等于，则a的值是 (　　) A．－ B．1 C．2 D． (2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是_______________. 所以所求直线的方程为＝， 所以解得a＝1，b＝0. 则得 【解析】因为直线x＋2y＋1＝0的斜率为－，所以所求直线的斜率为2.设所求的直线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0. 因为|AB|＝2，|BM|＝，故|AM|＝，cos ＝cos ∠MAB＝ ＝，sin ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2××＝. 1.设过点(0，－2)且与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝ (　　) A．1 B． C． D． 【例11】已知过点P(0，1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为______________________． 【解析】因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1，3)，半径r＝2.因为|AB|＝2，所以圆心到直线l的距离d＝＝1. 6 【正解】若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为； 若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以, 故直线l的方程为,即. 综上，直线l的方程为或. 1. 直线l过点P(1,3),且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为 【错解】因为直线l过点P(1,3),且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,将P点坐标代入得a=4,故直线l的方程为x+y-4=0. 1.过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________． 【答案】5x＋3y＝0或x－y＋8＝0. 【正解】设直线的方程为y-3=k(x-2)，即kx-y+3-2k=0． 如图，作MC⊥AB于C，在Rt△MBC中，，故，，由点到直线距离公式得点M到直线的距离为，解得，所以直线的方程为3x-4y+6=0． 当直线的斜率不存在时也满足题意， 故直线的方程为3x-4y+6=0或x=2. 2.已知圆M: ，直线 过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且 ，则直线 的方程为______． 2. （2024上·天津·高二统考期末）过 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml5724\\wps403.png" \* MERGEFORMATINET 点且与圆相切的直线方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 3．曲线 A. B. C. D. 【正解】根据题意画出图形，如图所示： 由题意可得：直线过，， 又曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆， 当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离，即， 解得：； 当直线过点时，直线的斜率为， 则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的范围为． 故选：． 3. 已知P是半圆C： INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml5724\\wps391.png" \* MERGEFORMATINET 上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由 显然当P运动到坐标原点时，有最小值，最小值为原点到直线的距离，即， 故选：D 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖南·期中）是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（ ） A．2 B． C． D． 4．（多选）（23-24高二下·湖南常德·期中）已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（ ） A．当实数变化时，直线恒过定点 B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 C．当时，圆关于直线对称 D．当时，直线与圆没有公共点 $$