清单03 平面解析几何初步(直线方程、直线与圆）（考点清单，知识导图+20个考点清单+题型解读）高二数学上学期湘教版2019

清单03 平面解析几何初步 （20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 【清单02】 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 【清单03】 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 【清单04】 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系及判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 2、圆的切线与切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3、圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： （1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. （2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 【考点题型一】直线的倾角 求倾斜角的取值范围的一般步骤 （1）求出斜率k＝tan α的取值范围． （2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 【例1】（2024上·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率的取值范围，根据直线斜率与倾斜角的关系可得出该直线倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 直线的斜率为， 当时，则； 当时，则. 综上所述，该直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 【变式1-1】（2024上·广东梅州·高二统考期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由题意得，解得， 故选：D 【变式1-2】（2024上·湖南衡阳·高二统考期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围. 【详解】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 【考点题型二】直线的斜率 【例2】（2024上·湖南益阳·高二统考期末）已知点，则直线的斜率为（    ） A．－3 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由斜率公式计算即可得. 【详解】由，则直线的斜率为. 故选：C. 【变式2-1】（2024·全国·高二专题练习）已知经过两点和的直线的斜率大于1，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点斜率公式解分式不等式． 【详解】由题意得，即，解得.故选D. 【点睛】直线斜率两种计算方法：1、斜率的两点坐标公式；2、直线斜率等于直线倾斜角的正切． 【变式2-2】（2024上·上海·高二假期作业）图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像得到直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，， 由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得， . 故选：D. 【考点题型三】过定点的直线与线段相交问题 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【例3】（2024上·广东珠海·高二珠海市第一中学校考阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，再结合图形即可得解. 【详解】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 【变式3-1】（2024·全国·高二专题练习）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线l的方程恒过定点，斜率为. 因为，， 所以，. 由题意可知，作出图形如图所示， 由图象可知，或， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 【变式3-2】已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是，， 故答案为：， 【变式3-3】已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【解析】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 【考点题型四】直线的方程 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程 【例4】（2024上·云南楚雄·高二统考期末）已知，经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对参数是否为0进行分类讨论，将直线方程的不同形式进行比较即可得出结果. 【详解】当都不为0时，所有经过两点的直线方程均可以用表示， 即， 当中有一个为0时，比如时，则直线为,符合上式； 比如时，则直线为，也符合上式， 故选项符合题意， 故选：. 【变式4-1】（2024·全国·高二专题练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解. 【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即. 故选：D 【变式4-2】（2024上·甘肃兰州·高二西北师大附中校考期末）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线求出交点坐标，根据的方向向量求出直线的斜率即可求出的方程. 【详解】联立，解得， 即直线：，：的交点为， 又直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为，故直线的方程为， 即， 故选：B． 【变式4-3】（2024上·辽宁大连·高二统考期末）己知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由倾斜角求出斜率，再用点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 所以直线方程为，即， 所以它在y轴上的截距为， 故选：A. 【变式4-4】已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】当直线经过原点时，直线方程为：． 当直线不经过原点时，设直线方程为：， 把点代入，解得． 直线方程为． 综上可得直线方程为：或， 故答案是：或． 【考点题型五】直线过定点问题 【例5】（2024·全国·高二专题练习）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解． 【详解】解：直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 【变式5-1】（2024上·全国·高二期末）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成即可求得定点坐标. 【详解】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点. 故选：C. 【变式5-2】（2024上·全国·高二期末）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 【变式5-3】（2024上·福建泉州·高二校考阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】易知动点的坐标，由已知直线化为点斜式可得动点B的坐标，由两条直线垂直公式可得两条动直线互相垂直，结合勾股定理和重要不等式可求得结果. 【详解】容易知道动直线过定点为， 由可得，所过定点为， 由可知两条动直线互相垂直，即，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A 【考点题型六】两条直线的位置关系 【例6】（2024上·江苏南京·高二校联考期末）若直线与直线平行，则实数a的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，解出来并检验即可. 【详解】由题意得，，解得，当时，两直线均为（重合），经检验满足题意. 故选：B. 【变式6-1】（多选）已知，，直线：，：，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由，得，即， ，，则，当且仅当，即时等号成立， 所以有，A选项正确； 由，有， 当且仅当，即时等号成立，所以有，B选项成立； 由，有，，，则，， 由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误； 由，有， ， 当且仅当，即时等号成立，D选项正确.故选：ABD. 【变式6-2】（2024上·广东湛江·高二统考期末）已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】直接根据两直线垂直的公式列式计算即可. 【详解】由，可得，所以. 故选：D. 【变式6-3】（2024上·北京昌平·高二统考期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，求得即或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为直线，， 所以当时，，即，即或， 所以“”能推出“”，“”不能推出“”， 所以“”是“”充分不必要条件， 故选：A. 【变式6-4】（2024上·湖南·高二校联考期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 【考点题型七】直线的交点问题 【例7】（2024上·重庆长寿·高二统考期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个方程的联立，加减消元法计算即可. 【详解】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 【变式7-1】（2024·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（    ） A．-1 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可列方程，解方程即可得出答案. 【详解】直线与直线的交点为， 所以. 故选：A. 【变式7-2】（2024·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解. 【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得． 方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误. 故选：C． 【考点题型八】点到直线的距离问题 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【例8】（2024上·广西北海·高二统考期末）已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 【答案】C 【分析】根据点到直线距离公式直接求解. 【详解】根据点到直线距离公式和已知可得，解得. 故选：C 【变式8-1】（2024上·新疆巴音郭楞·高二统考期末）点到直线的距离是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离求解即可. 【详解】点到直线的距离是. 故选：D 【变式8-2】（2024·全国·高二专题练习）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式代入计算解不等式即可得. 【详解】根据题意可知，，即，解得； 即可得的取值范围是. 故选：A 【变式8-3】（2024·江苏·高二假期作业）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 【变式8-4】（2024上·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市十二中校考期末）直线与之间的距离为，则等于(    ) A．0 B．-20 C．0或-20 D．0或-10 【答案】C 【分析】先转化直线，然后利用两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】解：由题意知，直线与平行，且直线，可化为， 所以，解得或. 故选：C. 【考点题型九】对称问题 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【例9】（2024上·河南驻马店·高二校考阶段练习）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直. 【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直， 则， 即点A坐标为. 故选：C 【变式9-1】（2024·全国·高二专题练习）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为， 故选：B 【变式9-2】（2024上·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 【考点题型十】二元二次方程表示圆的条件 【例10】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆的条件可得结果. 【详解】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 【变式10-1】（23-24高二上·上海·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】把方程配方得：，因为方程表示一个圆， 则，解得，则实数的取值范围是. 故答案为：． 【变式10-2】（2024上·广东江门·高二统考期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由计算即可得. 【详解】，即. 故选：D. 【考点题型十一】圆的方程 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例11】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【详解】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 【变式11-1】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得. 【详解】设该圆方程为， 则圆心为，有， 将点，代入， 有，化简得， 两式相减得，即有，则， ， 故该圆方程为. 故选：B. 【变式11-2】（2024高二上·全国·专题练习）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程. 【详解】圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是． 联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 故答案为：. 【考点题型十二】直线与圆的位置关系的判断 【例12】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】求出点到直线的距离即可求解. 【详解】因为圆，所以， 半径，因为点到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相离. 故选：C. 【变式12-1】（2024上·江苏扬州·高二统考期末）已知k为实数，则直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】由直线过定点，利用点在圆内即可得直线与圆相交. 【详解】易知恒过定点， 且易知点在点内， 所以直线与圆相交； 故选：A 【变式12-2】（2024上·全国·高二期末）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径进行比较，从而求解. 【详解】由点在圆外，得：， 圆心到直线的距离：， 所以得：直线与圆相交，故A项正确. 故选：A 【变式12-3】（2024·山东·模拟预测）已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由直线与圆有公共点， 可得圆心到直线的距离为， 解得，所以的取值范围为． 故选：B. 【考点题型十三】圆的切线问题 【例13】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B. 【变式13-1】（2024上·天津·高二统考期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【详解】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 【变式13-2】（23-24高二上·北京·期中）已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 【变式13-3】（2024·全国·高二假期作业）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【详解】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 【考点题型十四】弦长及中点弦问题 圆的弦长的求法 （1）几何法．设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则． （2）代数法．设直线与圆相交于点，，由，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式得出结果． 【例14】（23-24高三下·重庆·开学考试）已知圆，弦过定点，则弦长不可能的取值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先判断点所在的位置，然后求出弦长的最值，即可得解. 【详解】圆的半径， 因为， 所以点在圆内， 当弦过圆心时，， 当时，弦最短， ， 所以， 所以弦长不可能的取值是D选项. 故选：D. 【变式14-1】（23-24高二上·贵州黔南·期末）直线l：和圆C：交于A，B两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线过的定点、圆的圆心坐标及半径，再利用圆的性质及弦长公式计算即得. 【详解】依题意，直线l：过定点， 圆C：即的圆心，半径， 由，知点在圆内， 所以当且仅当直线与直线垂直时，直线截圆所得弦长最短， 则所求最短弦长为. 故选：B 【变式14-2】（23-24高二上·安徽·期末）过点的直线被圆：所截得的弦长的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先分类讨论得圆心到直线的距离最大值，结合弦长公式即可求解. 【详解】根据题意：直线过定点， 判断可知点在圆内， 而圆， 若直线斜率存在时，设， 圆心到直线的距离为， 所以，若，则， 若，则，解得或， 直线斜率存在时，，此时， 若直线斜率不存在时，即，圆心到直线的距离为， 综上所述，圆心到直线的距离最大值为， 所以所截的弦长的最小值为． 故答案为：. 【变式14-3】（23-24高二上·广东揭阳·期末）已知直线：，圆：. (1)若，求直线被圆截得的弦长； (2)当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及的方程. 【答案】(1) (2)，的方程为 【分析】（1）时，直线的方程为，先求出圆心到直线的距离，再由弦长公式进行求解即可. （2）由分析知直线过定点，当圆心到直线的距离最大时，弦长最短. 此时，进而即可求出结果. 【详解】（1）时，直线的方程为， 圆心到直线的距离，圆C的半径为， 所以直线被圆截得的弦长为. （2）直线：可转化为 由得，所以直线过定点， 当圆心到直线的距离最大时，弦长最短. 此时， 因为，，所以即，可得 故的方程为. 【考点题型十五】最值问题 【例15】已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【详解】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 【变式15-1】（2024上·贵州铜仁·高二统考期末）已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点到直线：的距离为，点在圆上运动，则其到直线的最短距离为，求解即可. 【详解】圆：的圆心， 所以点到直线：的距离为， 所以点在圆上运动，则其到直线的最短距离为：. 故选：A. 【变式15-2】（23-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出点的轨迹，然后利用几何关系求出到直线距离的最小值. 【详解】由直线与直线，得 所以两直线垂直， 又因为直线恒过，直线恒过， 所以点的轨迹为以点和点为直径的圆， 即圆心为，半径， 所以， 圆心到直线的距离， 到直线距离的最小值为. 故答案为： 【考点题型十六】圆与圆位置关系的判断 【例16】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 【变式16-1】（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径的关系判断. 【详解】由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切. 故选：B. 【变式16-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】由直线平分圆求出，再判断两圆的位置关系即得. 【详解】由圆的面积被直线平分， 得圆的圆心在直线上，即，解得， 因此圆的圆心，半径， 而圆的圆心，半径， 显然，所以圆与圆外切. 故选：D 【变式16-3】（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 【变式16-4】（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出两圆得圆心及半径，再根据两圆相交，可得，解之即可. 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程得， 则，半径， 因为两圆相交， 所以， 即，解得（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【考点题型十七】公共弦问题 【例17】（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆公共弦方程特征进行求解即可. 【详解】两个圆的方程相减，得， 故选：C 【变式17-1】（2024·全国·高二专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减即可得解. 【详解】两圆相减可得， 经检验，该方程满足题意， 故公共弦所在直线的方程为. 故选：A. 【变式17-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【答案】6 【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解． 【详解】解：将两圆方程联立，得：， 得， 两式相减，得：， 则两圆的公共弦所在的方程为：， 因为公共弦所在的直线经过原点， 所以：， 得， 故答案为：6 【变式17-3】（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两圆相交，再将两圆做差可得公共弦所在直线方程，然后利用垂径定理求弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距离为，故两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线方程为，即， 所以公共弦的长度为. 故选：D. 【考点题型十八】公切线问题 【例18】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程. （2）利用公共切线斜率与圆心连线斜率相等，再利用圆心到直线距离等于半径求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心为， ，得， 故圆心为，， 圆M的标准方程为：， 圆M的一般方程为：. （2） 由于圆M和圆O的半径均为2， 公切线与OM平行，则，设公切线方程为， 则，得或， 故公切线方程为或. 【变式18-1】（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 【变式18-2】（2024高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【详解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【考点题型十九】轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的方法 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 【例19】（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程． 【详解】解：设圆上任意一点为，中点为， 则，可得， 代入得， 化简得． 故选：D． 【变式19-1】（23·24高三上·河南·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】圆，所以圆心为，半径为2，设， 由线段的中点为，可得， 即有， 即，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 【变式19-2】（22·23高三上·甘肃平凉·期中）动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 【答案】（） 【解析】由题意可知：，则点的轨迹是以为直径的圆（除外）， 即以的中点为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程是（） 故答案为：.（） 【考点题型二十】直线与圆综合问题 【例20】已知圆，过圆外一点引圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求圆的标准方程； (2)若直线l的横截距为，纵截距为，直线l被圆C截得的弦长为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相切可得四边形为正方形，即可利用求解半径， （2）根据圆的弦长公式可得可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）∵与圆相切，且， ∴ 四边形为正方形， ∴，即， ∴ 圆的标准方程为.    （2）∵ 直线被圆截的弦长为, ∴ 圆心到直线的距离为， 又直线的横截距为，纵截距为 则直线的方程可设为，即， ∴，即， 由，得， 解得或， ∵，∴，故， 当且仅当时取得“＝”， ∴的最小值为 【变式20-1】（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设圆心，，由距离公式求出，即可得到圆的方程； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； （3）取圆关于轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）设圆心，， 由于，所以，所以， 即圆心的坐标为，则圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切； 若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即， 因为直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 即，此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； （3）取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径， 可知直线与圆相切， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 【变式20-2】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M的横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据圆与轴相切，即可根据判别式求解， （2）联立直线与圆的方程，结合两点斜率公式即可化简求解. 【详解】（1）由得， 因为圆与轴相切，所以，解得或4， 故所求圆C的方程为或． （2）令得， 解得或，而，即，． 设，， 当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为， 由得， ，， 又，即NA，NB的斜率互为相反数， ， 即， 整理得 所以，即，解得． 当直线AB与x轴垂直时，仍然满足， 即NA，NB的斜率互为相反数． 综上所述，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 平面解析几何初步 （20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 【清单02】 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 【清单03】 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 【清单04】 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系及判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 2、圆的切线与切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3、圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： （1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. （2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 【考点题型一】直线的倾角 求倾斜角的取值范围的一般步骤 （1）求出斜率k＝tan α的取值范围． （2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 【例1】（2024上·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024上·广东梅州·高二统考期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式1-2】（2024上·湖南衡阳·高二统考期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】直线的斜率 【例2】（2024上·湖南益阳·高二统考期末）已知点，则直线的斜率为（    ） A．－3 B． C． D．3 【变式2-1】（2024·全国·高二专题练习）已知经过两点和的直线的斜率大于1，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式2-2】（2024上·上海·高二假期作业）图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【考点题型三】过定点的直线与线段相交问题 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【例3】（2024上·广东珠海·高二珠海市第一中学校考阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（2024·全国·高二专题练习）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【变式3-3】已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【考点题型四】直线的方程 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程 【例4】（2024上·云南楚雄·高二统考期末）已知，经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·全国·高二专题练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 【变式4-2】（2024上·甘肃兰州·高二西北师大附中校考期末）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024上·辽宁大连·高二统考期末）己知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式4-4】已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ． 【考点题型五】直线过定点问题 【例5】（2024·全国·高二专题练习）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024上·全国·高二期末）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024上·全国·高二期末）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024上·福建泉州·高二校考阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 【考点题型六】两条直线的位置关系 【例6】（2024上·江苏南京·高二校联考期末）若直线与直线平行，则实数a的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 【变式6-1】（多选）已知，，直线：，：，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024上·广东湛江·高二统考期末）已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式6-3】（2024上·北京昌平·高二统考期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-4】（2024上·湖南·高二校联考期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】直线的交点问题 【例7】（2024上·重庆长寿·高二统考期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（    ） A．-1 B． C．1 D．2 【变式7-2】（2024·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【考点题型八】点到直线的距离问题 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【例8】（2024上·广西北海·高二统考期末）已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 【变式8-1】（2024上·新疆巴音郭楞·高二统考期末）点到直线的距离是（    ） A． B． C．3 D． 【变式8-2】（2024·全国·高二专题练习）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·江苏·高二假期作业）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【变式8-4】（2024上·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市十二中校考期末）直线与之间的距离为，则等于(    ) A．0 B．-20 C．0或-20 D．0或-10 【考点题型九】对称问题 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【例9】（2024上·河南驻马店·高二校考阶段练习）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·全国·高二专题练习）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024上·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】二元二次方程表示圆的条件 【例10】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高二上·上海·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是 . 【变式10-2】（2024上·广东江门·高二统考期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】圆的方程 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例11】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024高二上·全国·专题练习）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 【考点题型十二】直线与圆的位置关系的判断 【例12】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【变式12-1】（2024上·江苏扬州·高二统考期末）已知k为实数，则直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【变式12-2】（2024上·全国·高二期末）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式12-3】（2024·山东·模拟预测）已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（    ） A．1 B． C． D． 【考点题型十三】圆的切线问题 【例13】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2024上·天津·高二统考期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式13-2】（23-24高二上·北京·期中）已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 【变式13-3】（2024·全国·高二假期作业）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【考点题型十四】弦长及中点弦问题 圆的弦长的求法 （1）几何法．设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则． （2）代数法．设直线与圆相交于点，，由，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式得出结果． 【例14】（23-24高三下·重庆·开学考试）已知圆，弦过定点，则弦长不可能的取值是（    ） A． B． C．4 D． 【变式14-1】（23-24高二上·贵州黔南·期末）直线l：和圆C：交于A，B两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（23-24高二上·安徽·期末）过点的直线被圆：所截得的弦长的最小值为 ． 【变式14-3】（23-24高二上·广东揭阳·期末）已知直线：，圆：. (1)若，求直线被圆截得的弦长； (2)当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及的方程. 【考点题型十五】最值问题 【例15】已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【变式15-1】（2024上·贵州铜仁·高二统考期末）已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（23-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 【考点题型十六】圆与圆位置关系的判断 【例16】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【变式16-1】（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式16-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【变式16-3】（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式16-4】（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 【考点题型十七】公共弦问题 【例17】（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（2024·全国·高二专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【变式17-3】（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【考点题型十八】公切线问题 【例18】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【变式18-1】（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式18-2】（2024高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型十九】轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的方法 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 【例19】（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】（23·24高三上·河南·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【变式19-2】（22·23高三上·甘肃平凉·期中）动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 【考点题型二十】直线与圆综合问题 【例20】已知圆，过圆外一点引圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求圆的标准方程； (2)若直线l的横截距为，纵截距为，直线l被圆C截得的弦长为，求的最小值． 【变式20-1】（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 【变式20-2】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M的横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$