精品解析：重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题

重庆市第十一中学校教育集团高2025届高三第一次质量检测数学试题 2024.9 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 1. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C D. 2. 集合，，若，则为（ ） A. B. C. D. 或 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是，则一年后“进步”的是“落后”的约（ ）（参考数据：） A. 99倍 B. 101倍 C. 292倍 D. 832倍 6. 如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. B. C. D. 7. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上函数，设的极大值和极小值分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分. 9. 若，则下列选项正确的有（ ） A B. C. D. 10. 下列选项正确的有（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. ，函数的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 当，时，若，则的最小值为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 数列的前项之和为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则 _____ 13. 若，则的值为______ 14. 函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是_____ 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求在的最小值. 16. 我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. （1）求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； （2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 17. 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点. （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求平面与平面所成锐二面角的大小. 18. 椭圆过点且. （1）求椭圆的标准方程； （2）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 19. 给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，.已知在处的阶帕德近似注：，，，，… （1）求，，的值； （2）比较的大小，并说明理由； （3）求不等式的解集，其中 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市第十一中学校教育集团高2025届高三第一次质量检测数学试题 2024.9 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 1. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集. 【详解】的解为或， 故解集为：或， 故选：A 2. 集合，，若，则为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，可求的值. 【详解】因为，故，故或， 若，此时，满足， 若即，此时，不满足， 故选：B. 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定形式可直接得出结论. 【详解】易知命题“”的否定为. 故选：B 4. 随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布和正态分布的期望和方差公式可判断AB的正误，根据正态分布的对称性可判断C的正误，根据二项分布的概率的公式可判断D的正误. 【详解】对于AB，，故， ，故，故AB错误； 对于C，根据正态分布对称性可得，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：C. 5. 我们可以把看作每天“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是，则一年后“进步”的是“落后”的约（ ）（参考数据：） A. 99倍 B. 101倍 C. 292倍 D. 832倍 【答案】D 【解析】 【分析】直接计算，根据所给数值求解. 【详解】 ， 故. 故选：D 6. 如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对、号无人机颜色与至号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】根据题意可知，至号的无人机颜色有4种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色相同时，号无人机颜色有3种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色不同时，、号无人机颜色有3种选择，号无人机颜色有2种选择； 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种. 故选：D 7. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，推得函数图象关于直线对称，且函数的周期为2，再由题设函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函数的图象交点问题即可解得. 【详解】 由可知函数的图象关于直线对称， 且，因是偶函数，则，故有， 即函数的周期为2.又当时，，故可作出函数的图象如图. 由关于x的方程恰有5个实数解，可理解为与恰有5个交点. 而这些直线恒过定点,考虑直线与相交的两个临界位置, 由图知，需使，即. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数对称性和周期性的应用以及函数与方程的转化思想，属于难题. 解题思路在于通过对抽象等式和奇偶性的理解，推理得到函数对称性和周期性，从而作出函数的简图，接着利用方程的解的个数与两函数的交点个数的对应关系解题. 8. 已知定义在上的函数，设的极大值和极小值分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数求出，结合韦达定理用表示，再求出指数函数的值域得解. 【详解】， 令，显然函数的图象开口向下，且， 则函数有两个异号零点， 不妨设，有， 而恒成立，则当或时，， 当时，， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增， 又当时，恒成立， 当时，恒成立，且， 于是最大值， 最小值， 于是， 由，得 ，，则， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分. 9. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值判断AC，去绝对值后，赋值判断B，两边求导后，再赋值，判断D. 【详解】A.令，得，故A正确； B.，令 令展开式中的，得，故B错误； C.令展开式中的，得， 所以，故C正确； D.展开式的两边求导，得， 令，得，故D正确. 故选：ACD 10. 下列选项正确的有（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. ，函数的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 当，时，若，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二次函数的定义域，求函数的最小值，判断A，根据基本不等式判断BC，根据“1”的妙用与变形，结合基本不等式，即可判断D. 【详解】A.，，当时，函数去掉最小值1，故A正确； B.， 当，，得，所以的最大值为，故B错误； C. ， 设，则在区间单调递增，当时，取得最小值，所以函数的最小值为，故C错误； D.若，则，则， 当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 数列的前项之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设条件可得、，故可求函数的周期为，故可判断A的正误，利用反证法可判断B的正误，根据可得，故可判断C的正误，计算出后可判断D的正误. 【详解】因为，所以， 而，故， 故即，故， 故，故函数的周期为，故A正确； 又，而，而即， 故，若关于对称，则，矛盾，故B错误. 因为，故， 故即，故 故的图象关于直线对称，故C正确. 因为的周期为，故的周期也是4， 而，故， 故， 因为，故，故， 又，故，故， 故， 故数列的前项和为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：根据抽象函数的单调性我们可得到该函数的周期性及导函数的周期性、对称性等，性质讨论的方法是变换的思想. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则 _____ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知结合诱导公式计算求解即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 若，则值为______ 【答案】69 【解析】 【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数m，再计算组合数即可. 【详解】因为，所以或，解得或, 因为，所以,可得, 所以. 故答案为：69. 14. 函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由解析式得出，令，得为奇函数，再利用导数得出的单调性，根据奇偶性与单调性求解不等式即可． 【详解】因为， 所以， 令，则，可得为奇函数， 又因为， ，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； 所以，可得在上为增函数， 因为， 所以在上恒成立， 当时，显然成立； 当，需满足，解得， 综上，， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：由函数解析式得出，构造是解题关键． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求在的最小值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性，再求函数的最小值. 【小问1详解】 ，， 且，， 切线方程为：，即； 【小问2详解】 ， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 在区间的最小值为. 16. 我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. （1）求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； （2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质可求当时，第三组进入决赛概率最大为. （2）根据二项分布可求的分布列和数学期望. 【小问1详解】 由题知：第三组通过初赛和复赛的概率， 又因为，所以 所以，当时，第三组进入决赛概率最大为. 【小问2详解】 由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为. 因为进入决赛的队伍数， 所以；； ；. 所以随机变量的分布列为: . 17. 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点. （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求平面与平面所成锐二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质以及正方形性质，利用面面垂直判定定理即可得出证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求得两平面法向量即可求得结果. 【小问1详解】 底面是正方形，， 平面，平面，， 又，，，平面， 平面，又平面， 平面平面. 【小问2详解】 平面，，平面，所以，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，建立空间直角坐标系,如下图所示： 则，，，，，，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，得， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则,解得，令，得， 故平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的大小为. 18. 椭圆过点且. （1）求椭圆的标准方程； （2）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）代入点坐标并于联立计算可得，求出椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出，再由弦长公式计算可得结果. 【小问1详解】 将代入椭圆方程可得，即， 又因为，所以，代入上式可得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由(1)可得， 设直线的方程为，如下图所示： 联立，得， 所以， 则， 所以 ， 解得，即， 所以， 则的面积. 19. 给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，.已知在处的阶帕德近似注：，，，，… （1）求，，的值； （2）比较的大小，并说明理由； （3）求不等式的解集，其中 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义先求导函数，再代入求参即可； （2）先化简换元令，再求导函数根据正负得出函数单调性即可证明； （3）结合（2）结论应用单调性解不等式 【小问1详解】 因为 ， ， ， 则 ， 则 ，则 ， ， 所以 . 【小问2详解】 ， 令， 则 ， 令 ， ， 所以 在 单调递增， 在 单调递增， ， 即 ， 所以 ， ， 所以 ， 综上， . 【小问3详解】 若要使 成立， 则 ， 即 或 ， 当 时， 即 ， 由（2）知上式成立， 所以 ， 当 等价于 ， 当 时， 等价于 ， 成立; 当 时， 等价于 ， 不成立， 所以解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$