专题01 一元二次方程【6大经典基础题+4大优选提升题】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题01 一元二次方程 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 一元二次方程的定义 · 题型02、 一元二次方程的解 · 题型03、 解一元二次方程 · 题型04、 一元二次方程的判定式 · 题型05、一元二次方程跟与系数关系 · 题型06、一元二次方程的实际问题 【优选提升题】 · 题型01、利用一元二次方程的解求值 · 题型02、判定式与系数关系综合 · 题型03、实际问题应用 · 题型04、配方法的应用 一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东河源·期中）方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东韶关·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广东江门·期中）下列方程中一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东韶关·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 一元二次方程的解 6．（23-24九年级上·广东佛山·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 7．（23-24九年级上·广东东莞·期中）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·广东肇庆·期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（　　） A．2024 B．2022 C．2023 D．2021 9．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 10．（23-24九年级上·广东江门·期中）若、是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 解一元二次方程 11．（23-24九年级上·广东梅州·期中）解下列方程： (1)； (2) 12．（23-24九年级上·广东汕头·期中）解方程 (1) (2) 13．（23-24九年级上·广东河源·期中）解方程： (1)； (2)． 14．（23-24九年级上·广东深圳·期中）解方程： (1)； (2)． 15．（23-24九年级上·广东东莞·期中）解方程 (1) (2) (3) 一元二次方程的判定式 16．（23-24九年级上·广东广州·期中）关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 17．（22-23九年级上·广东韶关·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 18．（23-24九年级上·广东惠州·期中）方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 19．（23-24九年级上·广东佛山·期中）关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 20．（23-24九年级上·广东江门·期中）若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 一元二次方程跟与系数关系 21．（23-24九年级上·广东东莞·期中）已知一元二次方程的两根为，则的值是（    ） A． B．3 C． D．6 22．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知一元二次方程的两根为，，则的值为 （    ） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 24．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 25．（22-23八年级下·广东广州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．1 D．7 一元二次方程的实际问题 26．（23-24九年级上·广东广州·期中）某校组织一次篮球联赛，邀请了个球队参加比赛，每两队之间赛一场，计划安排15场比赛．可列方程（    ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·广东广州·期中）2020年是脱贫攻坚决胜之年，为落实“一户一策”精准帮扶方案，某地区2018年投入15亿元用于当地扶贫产业，之后投入的资金逐年增长，到2020年底三年累计投入亿元，假设投入资金的年平均增长率为x，则下列根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（22-23九年级上·四川南充·期末）在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为,2023年上学期平均每天书面作业时长为70min.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（　　） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·广东佛山·期中）耕地是我们祖祖辈辈款以生存、生活、生产的基础和保障，是粮食生产的命根子，只有保住耕地才能保住我们的饭碗．为此，同学们在“梦里水乡”农场开荒地、挖水渠，种植农作物．如图，在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，你知道水渠应挖多宽吗?若设水渠应挖宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24九年级上·广东佛山·期中）电影《志愿军：雄兵出击》于2023年9月28日上映，首周票房约亿，第三周票房约亿，若每周票房按相同的增长率增长，设增长率为，则根据题意可列方程为(    ) A． B． C． D． 利用一元二次方程的解求值 31．（21-22九年级上·广东广州·期中）已知关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ）． A．8 B．10 C．8或10 D．6或10 32．（21-22九年级上·广东广州·期中）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 33．（21-22八年级下·浙江金华·期末）已知关于x的方程的解是，则方程的解是 ． 判定式与系数关系综合 34．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为、，且，求m的值． 35．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，且，求的值． 36．（23-24九年级上·广东佛山·期中）课本再现： （1）若一元二次方程的两个根是，，则_____，_____．（用含，，的代数式表示） 类比探究： （2）写出以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_____． 拓展应用： （3）已知，，且，满足，，求的值． 37．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知，关于的方程． (1)求证：不论取任意实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2)设方程的两根分别是，且，求的值． 38．（23-24九年级上·广东珠海·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． （1）材料理解：一元二次方程两个根为，则： ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 实际问题应用 39．（23-24九年级上·广东广州·期中）某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克． (1)预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少； (2)某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天的利润为元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大？ 40．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为． (1)写出y与x的函数关系式； (2)当花圃的面积为时，长为多少米？ (3)当长为多少米时，所围成的花團面积最大？最大值是多少？ 41．（23-24九年级上·广东东莞·期中）海战博物馆在2021年共接待游客达10万人次，预计在2023年将接待游客达12.1万人次． (1)求海战博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率． (2)海战博物馆销售一款水果茶，每杯成本价为6元，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，设每杯降价a元，为了每天利润达到6300元，又能让顾客获得最大优惠，求每杯水果茶的定价． 42．（23-24九年级上·广东佛山·期中）2023年10月15日，公众号“健康南海”发布公益推文：“家长最关心的5大传染病，专家在线指导预防”，文中指出，“登革热”高发季节为夏秋季，一般为每年的5-11月份，预防“登革热”主要做好防蚊、灭蚊．“登革热”是一种传播速度很快的传染病，云南某市在9月2日发现一位确诊患者，两天后，该市共有81位确诊患者． (1)求每天平均一个人传染了多少人？ (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共多少人？ 43．（23-24九年级上·广东中山·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．若设每件衬衫降价元，商场平均每天赢利元． (1)写出与之间的函数关系式，并化成一般式； (2)若商场平均每天赢利要达到1200元，且让顾客得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？ (3)若每件衬衫的盈利不少于30元，求每天盈利的最大值？ 配方法的应用 44．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知多项式，若无论取何实数，的值都不是负数，则的取值范围是 ． 45．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值为 ． 46．（22-23九年级上·广东梅州·期中）代数式可化为；无论a取何值，所以，即有最小值为4．仿照上述思路，代数式的最大值为 ． 47．（22-23九年级上·广东梅州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)若可配方成（m、n为常数），则________； 探究问题： (3)已知，则____________； (4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： (5)已知实数x、y满足，求的最值． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 一元二次方程的定义 · 题型02、 一元二次方程的解 · 题型03、 解一元二次方程 · 题型04、 一元二次方程的判定式 · 题型05、一元二次方程跟与系数关系 · 题型06、一元二次方程的实际问题 【优选提升题】 · 题型01、利用一元二次方程的解求值 · 题型02、判定式与系数关系综合 · 题型03、实际问题应用 · 题型04、配方法的应用 一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、最高次为3次，不符合题意． 故选B． 2．（23-24九年级上·广东河源·期中）方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 3．（23-24九年级上·广东韶关·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A．当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意； B．该方程是分式方程，故此选项不符合题意； C．该方程有两个未和数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24九年级上·广东江门·期中）下列方程中一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义“等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程”依次进行判断即可． 【详解】解：A. 不是整式方程，不是一元二次方程，故A不符合题意； B. 是一元二次方程，故B符合题意； C. 化简后为，最高次数是1，不是一元二次方程，故C不符合题意； D. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故D不符合题意． 故选：B． 5．（23-24九年级上·广东韶关·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程．据此即可获得答案． 【详解】解：A、，若，则该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，可整理为，是一元二次方程，本选项符合题意； C、，不是整式方程，故不是一元二次方程，本选项不符合题意； D、，不是整式方程，故不是一元二次方程，本选项不符合题意． 故选：B． 一元二次方程的解 6．（23-24九年级上·广东佛山·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程得，然后解关于b的方程即可． 【详解】解：把代入一元二次方程，得 ， 解得：． 故选：C． 7．（23-24九年级上·广东东莞·期中）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的解的定义，把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程求得的值；注意二次项系数不为0． 【详解】∵一元二次方程的一个解为0， ∴且， 解得． 故选：C． 8．（23-24九年级上·广东肇庆·期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（　　） A．2024 B．2022 C．2023 D．2021 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再把整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将代入，进行求解即可． 【详解】解：将代入，得：； 故选A． 10．（23-24九年级上·广东江门·期中）若、是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根的定义，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 由题意知，，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴， 故选：C． 解一元二次方程 11．（23-24九年级上·广东梅州·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是解本题的关键； （1）先把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先把，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； 【详解】（1） 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2） ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 12．（23-24九年级上·广东汕头·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)，； (2)或 【分析】此题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握配方法，因式分解法，是解决本题的关键． （1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 即， 则， ∴； ∴，； （2）∵， ∴， 则， ∴或， 解得：或． 13．（23-24九年级上·广东河源·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再方程两边同时除以4，最后利用开方解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 14．（23-24九年级上·广东深圳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）首先确定、、的值，然后再利用公式法解方程即可； （2）首先把等号右边代数式移到左边，再把左边分解因式，然后可得或，再解一元一次方程即可； 解题的关键是掌握四种解方程的方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）并根据方程特点正确选准方法即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）， ， ， ∴或， 解得：，． 15．（23-24九年级上·广东东莞·期中）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键； （1）因式分解法求解可得； （2）公式法求解可得； （3）因式分解法求解可得； 【详解】（1）因式分解，得， 于是得或， 即； （2）解：， ， 故方程有两个不相等的实数根， 故 ， 即； （3）方程化为， 因式分解，得， 于是得或， 即 一元二次方程的判定式 16．（23-24九年级上·广东广州·期中）关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解题的关键是证得判别式． 【详解】解：一元二次方程的根的判别式 ∵ ∴，即 所以原方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 17．（22-23九年级上·广东韶关·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 18．（23-24九年级上·广东惠州·期中）方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与的关系，计算判别式的值配方后得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ， 该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 19．（23-24九年级上·广东佛山·期中）关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及定义，解题关键是掌握根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根．根据一元二次方程的根的判别式以及定义求解，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程 没有实数根， ， 解得：， 又该方程为一元二次方程， ， ， m的取值范围为． 故选B． 20．（23-24九年级上·广东江门·期中）若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．熟练掌握有两个实数根，则，是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴，， 解得，且， 故选：D． 一元二次方程跟与系数关系 21．（23-24九年级上·广东东莞·期中）已知一元二次方程的两根为，则的值是（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由是方程的两根，则，，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴由根与系数的关系，得：，， ∴； 故选：B． 22．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知一元二次方程的两根为，，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，，从而即可求解． 【详解】解：由一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴； 故选：C． 23．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，先把已知条件变形得到，，则可把a，b是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，从而得到答案． 【详解】∵，， ∴，， ∵a、b、m、n为互不相等的实数， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 故选：A． 24．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 故选：A． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系的应用，注意：如果是一元二次方程（a，b，c为常数，）的两个解，则，． 25．（22-23八年级下·广东广州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】D 【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式． 一元二次方程的实际问题 26．（23-24九年级上·广东广州·期中）某校组织一次篮球联赛，邀请了个球队参加比赛，每两队之间赛一场，计划安排15场比赛．可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛的总场次数 参赛队伍数（参赛队伍数）列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设有支球队参加比赛， 根据比赛的总场次数 参赛队伍数（参赛队伍数）， 列出一元二次方程为， 故选：D． 27．（23-24九年级上·广东广州·期中）2020年是脱贫攻坚决胜之年，为落实“一户一策”精准帮扶方案，某地区2018年投入15亿元用于当地扶贫产业，之后投入的资金逐年增长，到2020年底三年累计投入亿元，假设投入资金的年平均增长率为x，则下列根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用即增长率问题，根据题意可得到2019投入的资金、2020年的资金，三年的和为亿元，即可得到结果，理解题意并列出等式是解题的关键． 【详解】解：设投入资金的年平均增长率为x， 则该地区2019年投入亿元，2020年投入亿元， 依题意得：， 故选：D． 28．（22-23九年级上·四川南充·期末）在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为,2023年上学期平均每天书面作业时长为70min.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年上学期平均每天书面作业时长=2022年上学期每天书面作业平均时长×（1﹣该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设根据题意得：． 故选：C． 29．（23-24九年级上·广东佛山·期中）耕地是我们祖祖辈辈款以生存、生活、生产的基础和保障，是粮食生产的命根子，只有保住耕地才能保住我们的饭碗．为此，同学们在“梦里水乡”农场开荒地、挖水渠，种植农作物．如图，在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，你知道水渠应挖多宽吗?若设水渠应挖宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程．6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，求出矩形的长和宽，根据面积为即可列出方程． 【详解】解：由题意知，6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，长为，宽为， ∵6个矩形小块的面积和为， ∴． 故选：A． 30．（23-24九年级上·广东佛山·期中）电影《志愿军：雄兵出击》于2023年9月28日上映，首周票房约亿，第三周票房约亿，若每周票房按相同的增长率增长，设增长率为，则根据题意可列方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设增长率为，根据题意得， ， 故选：B． 利用一元二次方程的解求值 31．（21-22九年级上·广东广州·期中）已知关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ）． A．8 B．10 C．8或10 D．6或10 【答案】B 【分析】先求得方程的两个根，再根据等腰三角形的条件判断即可． 【详解】∵关于的方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程变形为， 解得， ∵方程的两个根恰好是等腰的两条边长， ∴其三边可能是2，2，4或4，4，2， ∵2+2=4，故三角形不存在， 故三角形的周长为10， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的解法，等腰三角形的分类，熟练解一元二次方程是解题的关键． 32．（21-22九年级上·广东广州·期中）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得,， ，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， ， ， 故答案为：2021． 33．（21-22八年级下·浙江金华·期末）已知关于x的方程的解是，则方程的解是 ． 【答案】，． 【分析】把方程看作关于（x+1）的一元二次方程，然后根据题意得到x+1=1或x+1=-6，再解两个一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵关于x的方程的解是，， ∴方程化为或， 解得，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把（x+1）看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解． 判定式与系数关系综合 34．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意． 35．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根、一元二次方程根的判别式得出，再解不等式即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式的变形得到，由此解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴， 即，解得； （2）由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，， ∵， ∴的值为0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． 36．（23-24九年级上·广东佛山·期中）课本再现： （1）若一元二次方程的两个根是，，则_____，_____．（用含，，的代数式表示） 类比探究： （2）写出以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_____． 拓展应用： （3）已知，，且，满足，，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案； （2）根据根与系数的关系求得及的值，即可得到答案； （3）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵一元二次方程的两个根是，， ∴，， 故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根为2和3，则有， ，， ∵二次项系数为1， ∴新方程为：； （3）∵m，n满足，， ∴m，n是方程的两根， ∴，， ∴． 37．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知，关于的方程． (1)求证：不论取任意实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2)设方程的两根分别是，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)0 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意知，，然后进行作答即可； （2）由题意知，，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∴不论取任意实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的值为0． 38．（23-24九年级上·广东珠海·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． （1）材料理解：一元二次方程两个根为，则： ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】（1）5，；（2）；（3）． 【分析】（1）根据材料1解答即可； （2）由题可知m，n是方程的两个不相等的实数根，再根据材料1可得出，，将所求式子变形为，再整体代入求值即可； （3）等式两边同时除以，得：即，即说明实数s和可看作方程的两根，即得出，，将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：（1）∵一元二次方程两个根为， ∴，． 故答案为：5，； （2）由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，， 所以； （3）∵要求的值， ∴， ∴等式两边同时除以，得：，即， ∴实数s和可看作方程的两根， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 实际问题应用 39．（23-24九年级上·广东广州·期中）某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克． (1)预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少； (2)某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天的利润为元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大？ 【答案】(1) (2)37元 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键． （1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解得的值并根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设每千克的平均销售价为元，由题意得关于的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为， 由题意，得：， 解得：，（舍去）． 答：平均每年的增长率为； （2）设每千克的平均销售价为元，由题意得： ， ， 当时，取得最大值为2450． 答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元． 40．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为． (1)写出y与x的函数关系式； (2)当花圃的面积为时，长为多少米？ (3)当长为多少米时，所围成的花團面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当长为时，面积为 (3)当长为时，花圃面积最大，最大面积为 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件； （1）根据题意可以得到与的函数关系式； （2）根据（1）中的关系可以求得的长． （3）根据（1）中的函数关系式化为顶点式，注意的取值范围； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 即与的函数关系式是； （2）令， 则． 解得，， 由题意，得， 解得，． 即当长为时，面积为． （3） 由题意，得 ∴当时，有最大值，的最大值为200，即当长为时，花圃面积最大，最大面积为． 41．（23-24九年级上·广东东莞·期中）海战博物馆在2021年共接待游客达10万人次，预计在2023年将接待游客达12.1万人次． (1)求海战博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率． (2)海战博物馆销售一款水果茶，每杯成本价为6元，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，设每杯降价a元，为了每天利润达到6300元，又能让顾客获得最大优惠，求每杯水果茶的定价． 【答案】(1)博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是 (2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程； （1）设博物馆2021至2023年期间接待游客人次的平均增长率是，可得：，即可解得博物馆2021至2023年期间接待游客人次的平均增长率是； （2）设每杯降价为a元，可得：，解得或，又让顾客获得最大优惠，即知当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额． 【详解】（1）解：设博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是， 根据题意得：，解得，（舍去）， 答：博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是； （2）设每杯降价为元， 根据题意得： 解得或， ∵让顾客获得最大优惠， ∴取5， 定价为：元， 答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额． 42．（23-24九年级上·广东佛山·期中）2023年10月15日，公众号“健康南海”发布公益推文：“家长最关心的5大传染病，专家在线指导预防”，文中指出，“登革热”高发季节为夏秋季，一般为每年的5-11月份，预防“登革热”主要做好防蚊、灭蚊．“登革热”是一种传播速度很快的传染病，云南某市在9月2日发现一位确诊患者，两天后，该市共有81位确诊患者． (1)求每天平均一个人传染了多少人？ (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共多少人？ 【答案】(1)每天平均一个人传染了8人 (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共729人 【分析】（1）设每天平均一个人传染了x人，根据题意列方程即可解答； （2）根据（1）的数据即可求解； 本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每天平均一个人传染了x人． 由题意得，， 解得：（舍去）． ∴每天平均一个人传染了8人． （2）（人） 答：如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共729人． 43．（23-24九年级上·广东中山·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．若设每件衬衫降价元，商场平均每天赢利元． (1)写出与之间的函数关系式，并化成一般式； (2)若商场平均每天赢利要达到1200元，且让顾客得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？ (3)若每件衬衫的盈利不少于30元，求每天盈利的最大值？ 【答案】(1) (2)每件衬衫应降价20元 (3)每天盈利的最大值为1200元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件，根据总利润每件的利润销售数量列式即可； （2）当时，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）由，利用二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件， 依题意，得：； （2）解：当时， ， 整理，得：， 解得：，， ∵让顾客得到实惠， ∴． 答：每件衬衫应降价20元； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵，图象开口向下， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∵， ∴当时，， 答：每天盈利的最大值为1200元． 配方法的应用 44．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知多项式，若无论取何实数，的值都不是负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解： ∵无论取何实数，的值都不是负数， ∴ ∴， 故答案为：． 45．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将一元二次方程变形，用含的式子表示的值，再将带入方程，表示出的值，最后运用配方法即可求解． 【详解】解：一元二次方程， ∴， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的运用，配方法求最值的方法，掌握以上知识是解题的关键． 46．（22-23九年级上·广东梅州·期中）代数式可化为；无论a取何值，所以，即有最小值为4．仿照上述思路，代数式的最大值为 ． 【答案】 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， ∵无论a取何值，都有， ∴， ∴，即有最大值， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键． 47．（22-23九年级上·广东梅州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)若可配方成（m、n为常数），则________； 探究问题： (3)已知，则____________； (4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： (5)已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】(1) (2) (3) (4)时，S为“完美数”，理由见解析 (5)6 【分析】（1）把10分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值； （3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值； （4）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； （5）由已知等式表示出y，再代入中，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴10是“完美数” 故答案为． （2）解：∵ ∴ ∴ 故答案为． （3）解： ∴ ∴． 故答案为． （4）解：当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵ ∴． （5）解：∵， ∴，即， ∴ ． 当时，最大，最大值为6． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、二次函数求最值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$