专题03 旋转【7大经典基础题+2大优选提升题】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题03 旋转 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、旋转三要素 · 题型02、旋转对称图形 · 题型03、旋转的性质 · 题型04、坐标与图形变换-旋转 · 题型05、中心对称图形 · 题型06、中心对称性质 · 题型07、原点对称的点坐标问题 【优选提升题】 · 题型01、旋转中的规律问题 · 题型02、旋转综合问题（几何变换） 旋转三要素 1．（21-22九年级上·广东江门·期中）如图，将中，，将其绕点顺时针方向旋转到的位置，使得在同一条直线上，那么旋转角的度数为（　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东云浮·期中）如图，将正六边形分割成6个全等的小等边三角形，其中的可以看成是将以点O为旋转中心（　　） A．顺时针旋转得到 B．顺时针旋转得到 C．逆时针旋转得到 D．逆时针旋转得到 3．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中的位置，且，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是 ，旋转角是 度.    4．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，在正方形中，F是延长线上一点，且可旋转得到．    (1)旋转中心为： ．旋转方向为： ；旋转角度为： ． (2)求证：是等腰直角三角形 5．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．    (1)将绕点F顺时针旋转得到，画出． (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ． 旋转对称图形 6．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（    ） A． B． C． D． 7．（21-22八年级下·山东济南·期中）在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．（2021八年级下·广东·专题练习）如图，是正五边形，该图形绕它的中心至少旋转（    ）可以跟自身重合． A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，把含的三角板绕点A逆时针旋转得到，使得点、A、三点共线，则旋转角的度数为（ ）    A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使点恰好与的中点重合，交于点，则的面积为(　　) A． B． C． D． 旋转的性质 11．（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，图形绕中心至少旋转 度与自身重合． 12．（21-22九年级上·广东广州·期中）在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，2），将线段AB绕点B顺时针旋转后，点A的对应点C落在y轴上，那么旋转角是 °． 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形的边长为4，点O是的中心，，绕点O旋转，分别交线段、于D、E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中不正确的有 ． 14．（22-23九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，，点为垂足，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在点处，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，求证：． 15．（23-24九年级上·广东广州·期中）在中，，，顺时针旋转一定角度后与重合，点E落在边上，且点E是的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数； (2)连接，求出的长． 坐标与图形变换-旋转 16．（23-24九年级上·广东中山·期中）直角坐标系中，将绕原点逆时针方向后的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 18．（22-23九年级上·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，，，点A绕点O顺时针旋转得到点B，则B点的坐标是 ． 19．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出绕顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标． (2)在（1）的条件中，求到所经过的路径长． 20．（21-22九年级上·广东广州·期中）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系．已知顶点坐标分别，，，请解答下列问题：    (1)画出关于点O的中心对称图形，并写出：（____，____），（____，____），（____，____）； (2)画出绕点B逆时针旋转的图形． 中心对称图形 21．（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·广东广州·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的，并写出的坐标； (2)在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 中心对称性质 26．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 27．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（  ）    A．点A与点是对称点 B． C． D． 28．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知的顶点的坐标分别是，，． (1)作出关于原点中心对称的图形； (2)将绕原点O按顺时针方向旋转后得到，画出．并求点所旋转的弧长长度． 29．（23-24九年级上·广东云浮·期中）如图，各顶点的坐标分别为．    (1)将绕点_____________逆时针旋转_____________得到； (2)请在图中画出关于原点O对称的． 30．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．    原点对称的点坐标问题 31．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知点，关于原点对称，则 ， ． 32．（23-24九年级上·广东珠海·期中）点与点关于原点对称，则 ． 33．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，其中，请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出关于坐标原点O成中心对称的图形，并写出点的坐标_____； (2)求的面积． 34．（23-24九年级上·广东汕头·期中）（1）用配方法解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求点的坐标． 35．（23-24九年级上·广东阳江·期中）如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上．    (1)画出关于原点对称的；并写出点、、的坐标； (2)若点为轴上一点，当取得最小值时，画出点，并直接写出点的坐标． 旋转中的规律问题 36．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第2023次旋转后点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 37．（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA1＝2OA）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到，则的长度为（　　） A． B．×22020 C．×22021 D．×22019 38．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为 ． 39．（22-23九年级上·广东江门·期中）如图，在平而直角坐标系中，将，，绕点O顺时针旋转后得到，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到，如果点A的坐标为，那么点的坐标为 ． 40．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，在直角三角形中，，且在直线l上，将绕点A顺时针旋转到位置①得到点，将位置①的三角形绕点P顺时针旋转到位置②得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止（在直线l上）．则： 旋转综合问题（几何变换） 41．（23-24九年级上·广东中山·期中）已知，如图，菱形的边长为2，，将菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为 .    42．（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 43．（23-24九年级上·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 44．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．    (1)当点E落在上时，则线段的长度等于 ； (2)如图2，当点E落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 45．（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，点D是边的中点，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交直线于M、N两点，以点D为中心旋转（的度数不变） (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若与不垂直，且点M在边上，点N在边上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由； (3)如图③，若与不垂直，且点M在边上，点N在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出之间的数量关系，并说明理由． ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 旋转 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、旋转三要素 · 题型02、旋转对称图形 · 题型03、旋转的性质 · 题型04、坐标与图形变换-旋转 · 题型05、中心对称图形 · 题型06、中心对称性质 · 题型07、原点对称的点坐标问题 【优选提升题】 · 题型01、旋转中的规律问题 · 题型02、旋转综合问题（几何变换） 旋转三要素 1．（21-22九年级上·广东江门·期中）如图，将中，，将其绕点顺时针方向旋转到的位置，使得在同一条直线上，那么旋转角的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角的性质得到即可解答． 【详解】解：∵在中，，在同一条直线上， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了平角的定义，旋转性质、三角形外角的性质，找到旋转角并掌握三角形外角的性质是解题的关键． 2．（22-23九年级上·广东云浮·期中）如图，将正六边形分割成6个全等的小等边三角形，其中的可以看成是将以点O为旋转中心（　　） A．顺时针旋转得到 B．顺时针旋转得到 C．逆时针旋转得到 D．逆时针旋转得到 【答案】D 【分析】根据等边三角形每一个角都是可得，然后求出旋转角，再根据图形确定旋转方向即可解答． 【详解】解：∵所有小三角形均是全等的等边三角形， ∴， ∴， ∴可以看成是将以点O为旋转中心，逆时针旋转120°得到． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质等知识点，利用了等边三角形的性质以及旋转的性质确定旋转角是解题的关键． 3．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中的位置，且，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是 ，旋转角是 度.    【答案】 90 【分析】根据旋转性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解． 【详解】解：如图，点为旋转中心，旋转角，    故答案为：，90． 【点睛】本题考查坐标与图形变换-旋转，解答的关键是熟知对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 4．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，在正方形中，F是延长线上一点，且可旋转得到．    (1)旋转中心为： ．旋转方向为： ；旋转角度为： ． (2)求证：是等腰直角三角形 【答案】(1)；逆时针旋转； (2)见详解 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用； （1）由题意可得：可以由绕着点，逆时针旋转得到； （2）由在正方形中，、分别是和的延长线上的点，且，利用，证得：，即可求解； 【详解】（1）由题意可得：可以由绕着点，逆时针旋转得到； 故答案为：；逆时针旋转；； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ， ， 故是等腰直角三角形． 5．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．    (1)将绕点F顺时针旋转得到，画出． (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ． 【答案】(1)见详解 (2)，见详解 【分析】（1）分别作出点、绕绕点顺时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的性质可确定旋转中心． 【详解】（1）如图所示，即为所求．    （2）如图所示，点即为所求，其坐标为 【点睛】本题主要考查旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 旋转对称图形 6．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的对称性，用除以6计算即可得解． 【详解】∵， ∴旋转角是的整数倍， ∴这个角的度数可以是， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 7．（21-22八年级下·山东济南·期中）在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解． 【详解】解：∵360°÷6=60°， ∴旋转角是60°的整数倍， ∴这个角的度数可以是60°． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 8．（2021八年级下·广东·专题练习）如图，是正五边形，该图形绕它的中心至少旋转（    ）可以跟自身重合． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正五边形的每个中心角相等且其和为360°即可得到结论． 【详解】根据正五边形的性质，每个中心角的相等，则每个中心角的度数为360°÷5=72°，故该图形绕它的中心至少旋转72度可以跟自身重合． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的旋转及正多边形的性质，关键是抓住正多边形的中心角相等这一性质，问题即解决． 9．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，把含的三角板绕点A逆时针旋转得到，使得点、A、三点共线，则旋转角的度数为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查旋转角的计算，理解题意，找准旋转角是解题关键． 【详解】解：根据题意得， ∵点、A、三点共线， ∴， 故选：D． 10．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使点恰好与的中点重合，交于点，则的面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形；连接，根据得出，即，进而求得，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 旋转后的中点恰好与点重合，即， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 旋转的性质 11．（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，图形绕中心至少旋转 度与自身重合． 【答案】72 【分析】根据旋转对称图形的概念与特征，求出最小旋转角即可． 【详解】解：根据已知图形可知，图形是旋转对称图形，最小旋转角为：， 图形绕中心至少旋转与自身重合； 故答案为：72． 【点睛】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念与特征是解答此题的关键． 12．（21-22九年级上·广东广州·期中）在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，2），将线段AB绕点B顺时针旋转后，点A的对应点C落在y轴上，那么旋转角是 °． 【答案】315或135 【分析】根据A、B的坐标可知，△AOB是等腰直角三角形，由此即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵A（﹣2，0），B（0，2）， ∴OA＝OB＝2， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠ABO=∠OAB=45°， ∴ ∴当旋转角为315°（旋转角为360°-∠ABO）或135°（旋转角为 ）时，点A的对应点C落在y轴上， 故答案为：315或135． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形的旋转，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质． 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形的边长为4，点O是的中心，，绕点O旋转，分别交线段、于D、E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中不正确的有 ． 【答案】② 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键； 连接、利用等边三角形的性质得，再证明∠，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对②进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断． 【详解】解：连接、，如图， ， 为等边三角形， ， 点O是的中心， ，、分别平分和， ， ，即， 而，即， ， 在和中， ， ， ，， ①正确； ， ， 四边形的面积， 故③正确； 作，如图，则， ， ， ， ， ， ， 即随的变化而变化， 而四边形的面积为定值， ； 故②错误； ， 的周长 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值， ④正确． 故答案为：②． 14．（22-23九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，，点为垂足，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在点处，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，先根据三线合一定理得到，再由旋转的性质得到，，证明即可证明，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵由旋转而得， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 15．（23-24九年级上·广东广州·期中）在中，，，顺时针旋转一定角度后与重合，点E落在边上，且点E是的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数； (2)连接，求出的长． 【答案】(1)旋转中心是点A，旋转角的度数为 (2) 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）根据旋转的性质可得答案； （2）连接，证明，，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心是点A，旋转角的度数； （2）连接， ∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴． 坐标与图形变换-旋转 16．（23-24九年级上·广东中山·期中）直角坐标系中，将绕原点逆时针方向后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，关键是正确作出图形，利用解题． 【详解】解：过点作轴, 过点作轴， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选: C． 17．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，根据旋转的性质可得旋转后与重合，即点在线段，线段与轴重合，点在轴上，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，正方形绕原点顺时针旋转得正方形，    ∵四边形是正方形， ∴平分，且，， ∴， ∴， ∵正方形绕原点顺时针旋转得正方形， ∴旋转后与重合，即点在线段，线段与轴重合，点在轴上， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运算，旋转的性质是解题的关键． 18．（22-23九年级上·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，，，点A绕点O顺时针旋转得到点B，则B点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点绕原点旋转后的点的坐标，根据题意构造全等三角形是问题的关键．画出图形如图，设点A旋转后的对应点为B，分别过点A、B作y轴、x轴的垂线，垂足分别为C、D，证明即可． 【详解】解：如图，点A旋转后的对应点为B，分别过点A、B作y轴、x轴的垂线，垂足分别为C、D， 则， 由旋转的性质知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵A绕原点顺时针旋转后的对应点B在第四象限， ∴点B的坐标为； 故答案为：． 19．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出绕顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标． (2)在（1）的条件中，求到所经过的路径长． 【答案】(1)见解析；； (2) 【分析】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，坐标两点的距离公式，弧长公式，掌握旋转的性质是解题关键． （1）根据旋转的性质作图，再写出点的坐标即可； （2）先求出，再由旋转的性质，得到，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：， ， 由旋转的性质可知，， 到所经过的路径为半径长为． 20．（21-22九年级上·广东广州·期中）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系．已知顶点坐标分别，，，请解答下列问题：    (1)画出关于点O的中心对称图形，并写出：（____，____），（____，____），（____，____）； (2)画出绕点B逆时针旋转的图形． 【答案】(1)图形见解析，3，；2，；1，； (2)图形见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的性质，分别作出A、B、C的对应点、、，依次连接即可得到，再写出坐标即可； （1）根据旋转的性质，分别作出A、B、C的对应点、、，依次连接即可得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由图形可知，、、， 故答案为：3，；2，；1，；    （2）解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查了作图—中心对称图形和旋转变换，熟练掌握中心对称图形的性质和旋转的性质是解题关键． 中心对称图形 21．（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 22．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查中心对称图形和轴对称图形，解决本题的关键是熟练地掌握中心对称图形和轴对称图形的判断方法．轴对称图形是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合．根据轴对称和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 23．（23-24九年级上·广东广州·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 24．（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：A． 25．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的，并写出的坐标； (2)在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图对称变换，轴对称变换，解决本题的关键是熟练掌握中心对称及轴对称的性质． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）先作点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断点满足条件． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）如图所示，              中心对称性质 26．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】A．， ∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； C．， ∵， ∴此选项不正确，符合题意； D．点B与点E是对应点， ∵点B与点E是对应点， ∴此选项正确，不符合题意． 故选：C． 27．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（  ）    A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键． 【详解】解：A．∵与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意； B．∵对应点到对称中心的距离相等， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵与是对应线段， ∴，故C正确，不符合题意； D．与不是对应角， ∴不成立，故D符合题意． 故选：D． 28．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知的顶点的坐标分别是，，． (1)作出关于原点中心对称的图形； (2)将绕原点O按顺时针方向旋转后得到，画出．并求点所旋转的弧长长度． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析， 【分析】本题考查的是作图旋转变换； （1）分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）根据图形旋转的性质画出，再根据弧长公式计算点所旋转的弧长长度即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求 ∵， ∴， ∴点所旋转的弧长长度为． 29．（23-24九年级上·广东云浮·期中）如图，各顶点的坐标分别为．    (1)将绕点_____________逆时针旋转_____________得到； (2)请在图中画出关于原点O对称的． 【答案】(1)A，90 (2)见解析 【分析】本题考查作图-中心对称及旋转变换，利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点及掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知：绕点A逆时针旋转得到； 故答案为：A，90； （2）解：关于原点的对称点是，连接， 如图所示，△A2B2C2即为所求作．   ． 30．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．    【答案】见详解 【分析】因为与关于点中心对称，所以，，因为， 所以，即，结合，得证，即可作答． 【详解】证明：因为与关于点中心对称， 所以 所以，， 因为， 则 所以， 因为 所以 即， 因为， 所以， 则 【点睛】本题考查了成中心对称的图形特征以及全等三角形的判定与性质，成中心对称的两个图形必定能重合，难度较小． 原点对称的点坐标问题 31．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知点，关于原点对称，则 ， ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，二元一次方程组的应用．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 根据关于原点对称的点的坐标特点列出方程，解方程分别求出x、y值，即可． 【详解】∵点，关于原点对称， ∴， 解得． 故答案为：；． 32．（23-24九年级上·广东珠海·期中）点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而即可求解，掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 33．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，其中，请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出关于坐标原点O成中心对称的图形，并写出点的坐标_____； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析， (2) 【分析】本题考查的是画关于原点对称的图形，坐标与图形面积，熟练的画关于原点成中心对称的图形是解本题的关键； （1）先确定A，B，C关于原点对称的对应点，，，再顺次连接，并根据的位置可得其坐标； （2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所画的三角形， ∴． （2）． 34．（23-24九年级上·广东汕头·期中）（1）用配方法解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点 【分析】（1）先移项，再利用完全平方公式配方，再进行求解即可； （2）利用原点对称点的性质得出关于的等式求解即可； 本题主要考查一元二次方程的解法-配方法，关于原点对称点的性质，熟练掌握配方法 的步骤，列出关于的等式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵   ， ． （2）解：∵点与点关于原点对称 解得： ∴点． 35．（23-24九年级上·广东阳江·期中）如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上．    (1)画出关于原点对称的；并写出点、、的坐标； (2)若点为轴上一点，当取得最小值时，画出点，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，，，； (2)点位置见解析图，． 【分析】（）根据原点对称的性质作图即可解答； （）如图，作点作关于轴的对称点，连接交轴于点，通过一次函数求出点坐标即可； 此题考查了关于原点对称，轴对称的性质和一次函数等知识点，根据题意正确作图和熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）根据点的位置可知：， ，， ∴关于原点对称的点分别为，，， 在坐标系中描点，然后连接，，， 如图，    ∴即为所求； （2）如图，当取得最小值时，则作点作关于轴的对称点，连接交轴于点，    则即为所求，， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 当时，， ∴点． 旋转中的规律问题 36．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第2023次旋转后点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作，垂足为，通过证得，得出，求出得到点的坐标为，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点的位置和第3次旋转结束时点的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，点的坐标为． 【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示，    ，，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， 点的坐标为，    如图，过，作y轴和x轴的垂线，垂足分别为D，E， 每次旋转， ，，即， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， 即第1次旋转后点C的坐标为， 同理可得：第2次旋转后点C的坐标为， 第3次旋转后点C的坐标为， 每旋转4次为一个循环． ， 第2023次旋转结束时点的位置和第3次旋转结束时点的位置相同， 第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查图形的规律，图形的旋转，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的思想解题是关键． 37．（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA1＝2OA）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到，则的长度为（　　） A． B．×22020 C．×22021 D．×22019 【答案】B 【分析】根据余弦的定义求出OB，根据题意求出OBn，根据题意找出规律，根据规律解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 由题意得，， ， ， …… ， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是坐标与旋转规律问题、锐角三角函数，正确得到图形的变化规律是解题的关键． 38．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是次一循环，可得结论． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴由旋转得：， ∵将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ∴），，，，，，，…， 发现是次一循环，所以， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，规律性的探索，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够掌握从特殊到一般探究规律的方法． 39．（22-23九年级上·广东江门·期中）如图，在平而直角坐标系中，将，，绕点O顺时针旋转后得到，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到，如果点A的坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以为半径的圆上运动，由旋转可知：将绕点O顺时针旋转后得到，相当于将线段绕点O顺时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是8次一循环，然后按此规律解答即可．根据题意、归纳出点B的坐标规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， 由旋转可知：， ∵将绕点O顺时针旋转后得到， ∴相当于将线段绕点O顺时针旋转，依次得到：， ∴，，，，，，，，…… ∴每8次完成一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同， ∴的坐标为． 故答案为：． 40．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，在直角三角形中，，且在直线l上，将绕点A顺时针旋转到位置①得到点，将位置①的三角形绕点P顺时针旋转到位置②得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止（在直线l上）．则： 【答案】 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用601除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环． ∵中，， ∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 又∵， ∴． 故答案为：． 旋转综合问题（几何变换） 41．（23-24九年级上·广东中山·期中）已知，如图，菱形的边长为2，，将菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为 .    【答案】 【分析】相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积=的面积的面积求解即可． 【详解】解：根据题意，如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转， ，相交于点O，与交于点E， ∵四边形是菱形， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形, ， 三点共线， ， 又， , ∵重叠部分的面积的面积的面积， ∴重叠部分的面积 即旋转后的图形，与原图形重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查菱形的性质，菱形对角线互相垂直，菱形四条边相等，以及旋转变化，旋转前后对应边相等，对应角相等． 42．（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可知，，；由和四边形是正方形，可得，从而得出，利用得出，即可求解； （2）由得，正方形的边长为，从而求出，根据求出的长，设，则，在中，由勾股定理得： ，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的定理及性质． 43．（23-24九年级上·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 【答案】（1），，证明见解析；（2），，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据等腰三角形性质证，得，，延长交于点F，由垂直定义得． （2）根据等腰三角形性质证，，，由垂直定义得，； （3）作，使得，则易证，，当P、E、B共线时，最小，最小值；当P、E、B共线时，最大，最大值，故，即可求解． 【详解】（1）结论：，． 证明：如图1中， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， 在和中 ∴， ∴，， 延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∴，； （2）结论：，． 证明：如图2中，设交于H，交于O． ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． （3）如图3，作，使得，由（1）（2）可得， ∴， 图4中，当P、E、B共线时，最小，最小值， 图5中，当P、E、B共线时，最大，最大值， ∴， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 44．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．    (1)当点E落在上时，则线段的长度等于 ； (2)如图2，当点E落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见解析 (4)的最大为12 【分析】（1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可； （2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积； （3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出； （4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，， ，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值． 【详解】（1）解：当落在上时，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴每个内角都等于， ∵，由勾股定理得： ， 由旋转的性质可知：， ∴， 故答案为：2； （2）解：当点E落在上时，过点B作于点M，    在中，由勾股定理得： , ∵是直角三角形，， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P，    由旋转的性质知：，， ∴在等腰和等腰中得到：，， ∴， ∵， ∴， 即； （4）解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，    ∴， ， ∵ ∴， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， ∴当点三点共线时，，此时最大， ∴的最大值为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算，属于中考压轴题，难度较大，在旋转的过程中，找到变化的量和不变的量，通过分析得出三点共线时．最大是解题的突破口． 45．（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，点D是边的中点，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交直线于M、N两点，以点D为中心旋转（的度数不变） (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若与不垂直，且点M在边上，点N在边上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由； (3)如图③，若与不垂直，且点M在边上，点N在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)不成立，，理由见解析 【分析】（1）证明得出，，然后根据含30度的直角三角形性质得出，，最后代入化简即可得证； （2）过D作于E，于F，通过证明，得出，然后利用（1）的结论解答即可； （3）过D作于E，于F，利用（1）（2）的结论解答即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴； 即； （2）解：． 理由：如图②，过D作于E，于F， 由（1）知：，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：． 理由：如图③，过D作于E，于F， ， 由（2）知：， ∴， 由（1）知：， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形判断与性质，含30度直角三角形的性质等知识，添加合适辅助线，构造三角形全等是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$