专题02 二次函数【7大经典基础题+4大优选提升题】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题02 二次函数 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 二次函数的定义 · 题型02、 二次函数图形和性质 · 题型03、 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） · 题型04、 二次函数的平移变换 · 题型05、二次函数与一元二次方程 · 题型06、二次函数与不等式 · 题型07、二次函数的实际问题 【优选提升题】 · 题型01、二次函数的图像与系数的关系 · 题型02、二次函数的对称性 · 题型03、二次函数的最值 · 题型04、二次函数的综合 二次函数的定义 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东惠州·期中）下列函数，，，，中，二次函数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24九年级上·广东东莞·期中）下列方程是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江西新余·阶段练习）若函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（22-23九年级上·广东江门·期中）已知函数为二次函数，则的值为 ． 二次函数图形和性质 6．（22-23九年级上·广东湛江·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x的增大而增大 7．（23-24九年级上·广东汕头·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知点，是抛物线上的两点，其中，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线．下列结论： ①抛物线开口向下；②对称轴是轴；③顶点坐标是；④函数有最小值；⑤当时，随的增大而减小． 其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 11．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）由二次函数 可知（   ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．函数最小值为1 D．当时， y随 x的增大而增大 12．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图已知二次函数交x轴于A、B两点(点A在B点的左边)，交y轴于点． ①二次函数的顶点坐标为 ②二次函数与轴交点坐标为，； ③二次函数：与二次函数的对称轴和开口方向相同 ④若直线与抛物线交于、两点，则线段的长度不变; 以上说法正确的是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）抛物线与x轴相交于点、，点A在点B左侧，若，则当时，y 0（填“”“”或“”号） 14．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知二次函数与一次函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)若点，，是该抛物线上的点，请比较，与的大小，并说明理由． 15．（22-23九年级上·广东惠州·期中）如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 二次函数的平移变换 16．（23-24九年级上·广东广州·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·广东广州·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24九年级上·广东珠海·期中）抛物线 可由如何平移得到（    ） A．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位 B．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位 C．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位 20．（23-24九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为 ． 二次函数与一元二次方程 21．（23-24九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 22．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线的图象与轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 ． 23．（22-23九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数的图象与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是 ． 24．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标； (3)求的面积． 25．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线经过点，且对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 二次函数与不等式 26．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 27．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 28．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B． (1)求出m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点P为抛物线上一动点，当的面积为3时，直接写出点P的坐标． 29．（23-24九年级上·广东汕头·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：    (1)点B的坐标为________； (2)当x________时，y随x的增大而减小； (3)不等式的解集为________． 30．（23-24九年级上·广东江门·期中）图，二次函数经过点，，，利用图象的特点填空：      (1)该二次的数图象的对称轴为直线 (2)方程的解为 (3)不等式的解集为 二次函数的实际问题 31．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y（件） 与销售单价 x（元） 符合一次函数，该商场销售这种服装获得利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)当销售单价定为80元时，商场可获得多少利润？ (3)销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？ 最大利润是多少元？ 32．（23-24九年级上·广东广州·期中）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额(元)之间大致满足如图所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益元)会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售彩电台数与政府补贴款额之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售彩电的总收益最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值． 33．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线解折式的二次项系数为，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为米，距地面均为米，以甲所在的地面的点为原点，建立如图所示的直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)身高为米的小红也想参加这个活动，请问她在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为多少米？（假定当绳甩到最高处时，学生双脚处于落地状态）． 34．（23-24九年级上·广东中山·期中）校运会上，小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球出手时的高度为，当铅球飞行的水平距离时距离地面最高为．铅球飞行的高度（）与水平距离（）之间的函数图象如图所示．求：    (1)与之间的函数关系式； (2)小明这次投掷的成绩． 35．（23-24九年级上·广东东莞·期中）中秋国庆双节期间，东莞市中心广场的音乐喷泉对公众表演．如图，圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点．已知雕塑高为米，水柱在与的水平距离为米处达到最高点，落水点、之间的距离为米． (1)求：喷出水柱的最大高度为多少米？ (2)若需要在线段上的点处竖立另一座雕塑，，，．问：雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明理由． 二次函数的图像与系数的关系 36．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有是(　　)个． A．1 B．2 C．3 D．4 37．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③； ④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 38．（23-24九年级上·广东广州·期中）老师给出了二次函数的部分对应值如表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（　　） x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … A．抛物线的对称轴为直线 B．方程无实数根 C．当时， D．若是该抛物线上的两点，则 39．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 40．（22-23九年级上·广东江门·期中）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 2 4 … y … 2 2 … 下列结论错误的是（    ） A．该函数有最大值 B．该函数图象的对称轴为直线 C．当时，函数值y随x增大而减小 D．方程有一个根大于3 二次函数的对称性 41．（20-21九年级下·广东梅州·期中）抛物线经过点，且．则抛物线的对称轴是 ． 42．（22-23九年级上·广东广州·期中）老师给出了二次函数（）的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（　　） … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … A．抛物线的对称轴为直线 B．方程无实数根 C．当时， D．若，是该抛物线上的两点，则 43．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）如图所示的二次函数图象中，有以下信息：；；；；．其中正确的有 （填序号）    44．（23-24九年级上·广东广州·期中）抛物线经过点且对称轴为直线，其图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③点一定在抛物线上；④若，则时的函数值大于时的函数值．其中正确的结论序号是 ． 45．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数 的部分xy对应值如表： x 0 2 y n 若，下列正确的有 （填序号即可）． ①；②；③；④时，的解为，． 二次函数的最值 46．（22-23九年级上·广东韶关·期中）已知，则函数（    ） A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7 C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值 47．（23-24九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 48．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 49．（23-24九年级上·广东肇庆·期中）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于、点和点，一次函数的图象与抛物线交于两点． (1)一次函数与二次函数的解析式； (2)点是线段上的一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段的最大值． 50．（23-24九年级上·广东惠州·期中）二次函数如图所示，与轴交于，，，点是抛物线上点与点之间一动点．    (1)求出二次函数解析式； (2)当点坐标为多少时，的面积有最大值，并求出最大值． 二次函数的综合 51．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，已知抛物线与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在该二次函数的图象上，且，求点P的坐标； (3)设F为线段上的一个动点（异于点B和D），连接．是否存在点F，使得的值最小？若存在，分别求出的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由． 52．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知抛物线的图像与x轴交于点和点C，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (3)在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 53．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图所示，抛物线与x轴相交于与y轴相交于点，点M为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接．求面积的最大值及此时点N的坐标． (3)若点P在y轴上，为等腰三角形，请直接写出P点的坐标。 54．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，二次函数图象的对称轴为直线，图象过点A、B、C，B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)当点M位于x轴下方的抛物线上时，过点M作x轴的垂线，交于点Q，求线段的最大值． (3)在（2）的条件下，当点M位于x轴下方的抛物线上时，求的最大面积． 55．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线（其中，）与轴交于A、B两点（A在B左边），与轴交于点C，顶点为P，O为坐标原点且． (1)求与满足的关系式； (2)直线，与抛物线交于另一点D，若的面积为，求的值； (3)在（2）的条件下，将抛物线G平移后得到抛物线，的顶点为点O，M、N为抛物线上两点，分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点H，若点H在直线上，求证：直线恒过定点． ( 18 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 二次函数的定义 · 题型02、 二次函数图形和性质 · 题型03、 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） · 题型04、 二次函数的平移变换 · 题型05、二次函数与一元二次方程 · 题型06、二次函数与不等式 · 题型07、二次函数的实际问题 【优选提升题】 · 题型01、二次函数的图像与系数的关系 · 题型02、二次函数的对称性 · 题型03、二次函数的最值 · 题型04、二次函数的综合 二次函数的定义 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：A、是二次函数，故不符合题意； B、中分母含有自变量，不是二次函数，故符合题意； C、是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·广东惠州·期中）下列函数，，，，中，二次函数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义；根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：，，是二次函数， 是一次函数，是反比例函数， ∴二次函数的个数为3个， 故选：B． 3．（23-24九年级上·广东东莞·期中）下列方程是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义进行选择即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故不符合题意； B、，是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C、，最高次不是二次，不是二次函数，故不符合题意； D、，是二次函数，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意：当函数中时，是二次函数． 4．（23-24九年级上·江西新余·阶段练习）若函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数． 5．（22-23九年级上·广东江门·期中）已知函数为二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：依题意，得 解得 故答案为 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，正确把握二次函数次数与系数的值是解题关键． 二次函数图形和性质 6．（22-23九年级上·广东湛江·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：中， 的系数为1，，函数图象开口向上，选项A说法错误，不符合题意； 函数图象的顶点坐标是，选项B说法错误，不符合题意； 函数图象开口向上，有最小值为5，选项C说法错误，不符合题意错误； 函数图象的对称轴为，时y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大，选项D说法正确，符合题意． 故选：D． 7．（23-24九年级上·广东汕头·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意可知二次函数对称轴是，根据对称性将点转化到对称轴右侧即与所对的值相等，再利用函数的增减性即可得到本题答案． 【详解】解：∵是抛物线上的三点， ∴二次函数对称轴是， ∵根据对称性将点转化到对称轴右侧即与所对的值相等， 又∵， ∴时，随增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 8．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知点，是抛物线上的两点，其中，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意，得到抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴或， 当时，，， ∴， ∴， ∴， 当时，，； ∴， ∴， ∴； 综上：； 故选B． 9．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 10．（22-23九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线．下列结论： ①抛物线开口向下；②对称轴是轴；③顶点坐标是；④函数有最小值；⑤当时，随的增大而减小． 其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，故①正确； 对称轴是轴，故②正确； 顶点坐标是，故③错误； 函数有最大值，故④错误； 当时，随的增大而减小，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 11．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）由二次函数 可知（   ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．函数最小值为1 D．当时， y随 x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图形与性质，先把函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：， ∴对称轴是直线 ，当时，函数有最小值为1， ∵， ∴函数图象的开口向上， ∴当时， y随 x的增大而减小， 故选：C． 12．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图已知二次函数交x轴于A、B两点(点A在B点的左边)，交y轴于点． ①二次函数的顶点坐标为 ②二次函数与轴交点坐标为，； ③二次函数：与二次函数的对称轴和开口方向相同 ④若直线与抛物线交于、两点，则线段的长度不变; 以上说法正确的是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式求得顶点坐标，即可判定①；令，即可得出二次函数与轴的交点坐标为，，根据的符号未知，不能判定的开口方向，即可判断③，令，解方程进而得出的长，即可判断④． 【详解】①抛物线中，，，， ∴，； ∴二次函数的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标，故①正确． ②令，解得：或， ∴二次函数与轴的交点坐标为，，故②正确； ③二次函数与图象的对称轴均为，但开口方向不一定相同，故③错误， ④线段的长度不会发生变化． ∵直线与抛物线交于、两点， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∴， ∴线段的长度不会发生变化．故④正确； 故选：C． 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）抛物线与x轴相交于点、，点A在点B左侧，若，则当时，y 0（填“”“”或“”号） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意得出，然后根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、， 对称轴为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知二次函数与一次函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)若点，，是该抛物线上的点，请比较，与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的求解二次函数的性质是解本题的关键； （1）把点分别代入两个函数解析式建立方程组即可求解； （2）把点，，分别代入抛物线的解析式计算函数值，可得函数值的大小． 【详解】（1）解：∵二次函数与一次函数的图象相交于点． ∴， 解得：， （2）由（1）得抛物线为：， ∵点，，是该抛物线上的点， 即点，，是该抛物线上的点， ∴，， ， ∴． 15．（22-23九年级上·广东惠州·期中）如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了待定系数法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式． （1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． 【详解】（1）将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； （2） 、， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 二次函数的平移变换 16．（23-24九年级上·广东广州·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度， 所得到的抛物线为． 故选：D． 17．（23-24九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的几何变换，解题的关键是利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为，即． 故选：A． 18．（23-24九年级上·广东广州·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的平移，根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”，即可确定平移后的抛物线解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得； 再向右平移2个单位长度，得到； 故选：A． 19．（23-24九年级上·广东珠海·期中）抛物线 可由如何平移得到（    ） A．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位 B．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位 C．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位 【答案】D 【分析】根据抛物线的平移规律解答即可． 【详解】解：先向右平移2个单位，再向下平移6个单位得到的抛物线解析式为，故A不符合题意； 先向左平移2个单位，再向上平移6个单位得到的抛物线解析式为，故B不符合题意； 先向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到的抛物线解析式为，故C不符合题意； 先向右平移2个单位，再向上平移6个单位得到的抛物线解析式为，故D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移．掌握其平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键． 20．（23-24九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：∵将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴得到的抛物线解析式为，即， 故答案为：． 二次函数与一元二次方程 21．（23-24九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与x轴的两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个根．熟练掌握以上知识是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，进而得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标 ∴方程的解为， 故选：B． 22．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线的图象与轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是把求二次函数与x轴的交点问题转化为解关于x的一元二次方程，先利用二次函数的对称轴为直线，则利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴另一个交点为，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x的一元二次方程的两个实数根． 【详解】解：∵抛物线的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，． 故答案为：，． 23．（22-23九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数的图象与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，理解方程组的解与函数交点的关系是解题的关键． 联立两解析式，然后根据判别式大于等于0求解即可． 【详解】解：把代入得：， 整理得， ∵二次函数的图象与一次函数的图象有交点， ∴，解得：． 故答案为：． 24．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)点，点 (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积综合． （1）将点和点代入即可求出解析式； （2）令，解出的x的值即可得到点A、B的坐标； （3）根据点坐标求得，代入面积公式计算即可． 【详解】（1）解：把点和点代入得 解得， 所以抛物线的解析式为：． （2）把代入， 得， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点，点． （3）解：连接， 由题意得， 25．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线经过点，且对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线与轴的交点坐标： （1）根据对称轴公式以及经过点，分别求得，即可求解； （2）由题意，直接令，即可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为． ∴ ∴． ． （2）令， ． 解得：，． 抛物线与轴的交点坐标是，． 二次函数与不等式 26．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式的关系． （1）把A点和B点坐标代入利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线与x轴交点坐标可得抛物线在x轴上和上方时x的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）∵抛物线与x轴交于点 ∴当或时，， ∴不等式的解集为或． 27．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键． （1）根据图象求出对称轴即可求解； （2）求出当时，的最大值和最小值即可求解； （3）求出时的的值，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可得： 函数的对称轴为：直线 ∵抛物线开口向上， ∴当时，随x的增大而减小； 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，； 故答案为：； （3）解：由图象可知，当时，； 再由对称性可知，当时，； ∴当时，或． 故答案为：或． 28．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B． (1)求出m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点P为抛物线上一动点，当的面积为3时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)，或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，再把点P纵坐标代入抛物线解析式中求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得； （2）解：联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或； 在中，当时，此时方程无解； ∴点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 29．（23-24九年级上·广东汕头·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：    (1)点B的坐标为________； (2)当x________时，y随x的增大而减小； (3)不等式的解集为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图可得：A、B到直线的距离相等，根据A的坐标，即可求出B点坐标； （2）利用图象得出函数对称轴进而得出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （3），即对应x轴上方的部分x的取值范围即可得出答案； 【详解】（1）由图象可知，A、B到直线的距离相等， ∵ ∴B点坐标为： 故答案为： （2）由图象可知，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是：； 故答案为：； （3）由图象可知，不等式的解集是：； 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点以及方程根与不等式等知识，正确利用数形结合得出是解题关键． 30．（23-24九年级上·广东江门·期中）图，二次函数经过点，，，利用图象的特点填空：      (1)该二次的数图象的对称轴为直线 (2)方程的解为 (3)不等式的解集为 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据二次函数上对称的两点求解即可； （2）根据图象性质，当即，由此得到其中一个解为，再根据抛物线的对称性，解得另一个解即可； （3）不等式的解集即抛物线位于x轴的上方，根据图象解题即可． 【详解】（1）∵二次函数经过点，， ∴该二次的数图象的对称轴为直线； （2）∵二次函数经过点， 对称轴为 ∴二次函数经过点， ∵当时，即， ∴方程的解为，； （3）根据图象可得， ∵二次函数经过点，， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 二次函数的实际问题 31．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y（件） 与销售单价 x（元） 符合一次函数，该商场销售这种服装获得利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)当销售单价定为80元时，商场可获得多少利润？ (3)销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？ 最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为80元时，商场可获得元； (3)销售单价定为元时，商场可获得最大利润， 最大利润是元． 【分析】本题考查了求二次函数解析式以及二次函数的最值问题． （1）根据总利润每件的利润销量，即可得出w与x之间的函数关系式； （2）将代入（1）所得解析式，求出的值即可； （3）将二次函数化为顶点式，利用二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）解：由题意得：， 即w与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 即当销售单价定为80元时，商场可获得元； （3）解：， ， 当时，有最大值，为 即销售单价定为元时，商场可获得最大利润， 最大利润是元． 32．（23-24九年级上·广东广州·期中）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额(元)之间大致满足如图所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益元)会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售彩电台数与政府补贴款额之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售彩电的总收益最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值． 【答案】(1) (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为元 (3)政府应将每台补贴款额定为元时，可获得最大利润元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用； （1）待定系数法求一次函数解析式即可求解； （2）根据每台彩电的收益乘以数量，即可求解； （3）设总收益为元，则 ，进而根据二次函数的性质，求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可设 将，代入上式，得：， 解得， 故所求作的函数关系式为：． （2）在中，当时，， 在中，当时， ； 答：在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为元． （3）设总收益为元，则 ， 存在最大值， 当时有最大值． 答：政府应将每台补贴款额定为元时，可获得最大利润元． 33．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线解折式的二次项系数为，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为米，距地面均为米，以甲所在的地面的点为原点，建立如图所示的直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)身高为米的小红也想参加这个活动，请问她在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为多少米？（假定当绳甩到最高处时，学生双脚处于落地状态）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用二次函数知识解决问题． （1）设抛物线的函数表达式为，代入和两点坐标，求出，即可； （2）求出的最大值，再减去1．65米即可得到结果． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题意可知和都在该抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：∵ ， ∴当时，， ∴甩绳与地面最大距离为米， ∵（米）， ∴她在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为米． 34．（23-24九年级上·广东中山·期中）校运会上，小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球出手时的高度为，当铅球飞行的水平距离时距离地面最高为．铅球飞行的高度（）与水平距离（）之间的函数图象如图所示．求：    (1)与之间的函数关系式； (2)小明这次投掷的成绩． 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)小明这次投掷的成绩为 【分析】本题主要考查二次函数在实际生活中的应用. （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）令，求出点的坐标，即可求出小明这次抛掷的成绩 【详解】（1）解：∵铅球出手时的高度为，铅球飞行的水平距离时距离地面最高为 ∴，顶点 ∴设与之间的函数关系式为 把代入得 解得 ∴与之间的函数关系式为 （2）解：把代入得 解得，（舍去） 答：小明这次投掷的成绩为 35．（23-24九年级上·广东东莞·期中）中秋国庆双节期间，东莞市中心广场的音乐喷泉对公众表演．如图，圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点．已知雕塑高为米，水柱在与的水平距离为米处达到最高点，落水点、之间的距离为米． (1)求：喷出水柱的最大高度为多少米？ (2)若需要在线段上的点处竖立另一座雕塑，，，．问：雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明理由． 【答案】(1)米 (2)雕塑顶部会碰到水柱．理由见解答 【分析】本题考查二次函数的应用，能够理解题意求出二次函数解析式是解题关键． （1）根据题意得到， ，，，对称轴，用待定系数法求出函数表达式，即可得到喷出水柱的最大高度； （2）求出时，函数的对应值，并与比较即可作出判断． 【详解】（1）解：与水平距离米处为水柱最高点， 抛物线的对称轴为， 可设第一象限抛物线的解析式为 雕塑高为米， 点的坐标为， ， 点、之间的距离为米， 点的坐标为，， 将， ，，代入解析式， 得， 解得， 第一象限抛物线的解析式为， ，当时，最大值为 喷出水柱的最大高度为米； （2）雕塑顶部会碰到水柱． 理由如下：当时， ， 雕塑顶部会碰到水柱． 二次函数的图像与系数的关系 36．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有是(　　)个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据开口方向、对称轴，判断、的符号及数量关系，根据抛物线与轴的交点判断的符号即可判断①，根据图象与轴交于和对称轴判断抛物线与轴的另一个交点，则可判断时的正负，即可判断②，把，代入，得出当，则或，即可判读③，把，代入，即可判断④． 【详解】解：①抛物线开口向上，对称轴在轴左边，与轴交于负半轴， ，，， ， 故结论①错误； ②二次函数的图象与轴交于，顶点是， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 故结论②正确； ③由题意可知对称轴为：直线， ， ， 把，代入得： ， ， 解得或， 当，则或， 故结论③正确； ④把，代入得： ，， ， ， ， 抛物线与轴的另一个交点为，， ， ， ， 故结论④错误． 故选：B． 37．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③； ④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 根据抛物线开口方向得到，根据抛物线对称轴为直线得到，则，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到，所以；由图像和二次函数性质可判断②④⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ，则，所以③错误； ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ， ，所以①正确； 当时，， 所以②正确； 当时， ， ∴y的值随x值的增大而增大；所以④正确； ∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ∴，所以⑤正确， 正确的说法有4个， 故选：D． 38．（23-24九年级上·广东广州·期中）老师给出了二次函数的部分对应值如表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（　　） x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … A．抛物线的对称轴为直线 B．方程无实数根 C．当时， D．若是该抛物线上的两点，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，理解利用表格形式表示的二次函数的信息，再作出判断是解本题的关键．根据表格信息先判断抛物线的对称轴，再判断函数图象的增减性与开口方向，函数的最小值，再逐一分析即可得到答案． 【详解】解：由表格信息可得抛物线的对称轴为：直线，故A不符合题意； ∵当时，函数y随x的增大而增大， ∴函数图象的开口向上，函数有最小值， ∴无实数根，故B不符合题意； 由抛物线的对称性可得：时的函数值都为0，抛物线的开口向上， ∴当时，，故C不符合题意； ∵当时，函数y随x的增大而增大，是该抛物线上的两点， 当A，B都在抛物线的对称轴的右侧时，有，故D符合题意． 故选：D． 39．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线的开口方向可判断①；根据抛物线与x轴没有交点可判断②；根据抛物线的对称轴即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向上， ，则①正确； 抛物线与x轴没有交点， ，则②错误； 由图得：抛物线的对称轴为：， 即：，故③错误； 不等式变形为：， 令，如图， 由图象得：直线与抛物线的图象交于点和， 不等式的解集为，故④正确， 则正确的个数有2个， 故选B． 40．（22-23九年级上·广东江门·期中）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 2 4 … y … 2 2 … 下列结论错误的是（    ） A．该函数有最大值 B．该函数图象的对称轴为直线 C．当时，函数值y随x增大而减小 D．方程有一个根大于3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上坐标点的特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：A、由表格中的数据可得，该函数有最大值，故选项正确，不符合题意； B、该函数图象的对称轴为直线，故选项正确，不符合题意； C、当时，y随x的增大而减小，故选项正确，不符合题意； D、由表格中的数据可得该函数图象的对称轴为直线，且方程有一个根， 方程有一个根，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 二次函数的对称性 41．（20-21九年级下·广东梅州·期中）抛物线经过点，且．则抛物线的对称轴是 ． 【答案】 【分析】由求出抛物线经过点，又由抛物线经过点即可得到抛物线的对称轴． 【详解】解：当时，， ∵． ∴抛物线经过点， ∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的对称性求出对称轴是解题的关键． 42．（22-23九年级上·广东广州·期中）老师给出了二次函数（）的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（　　） … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … A．抛物线的对称轴为直线 B．方程无实数根 C．当时， D．若，是该抛物线上的两点，则 【答案】D 【分析】根据表格信息先判断抛物线的对称轴，再判断函数图象的增减性与开口方向，函数的最小值，再逐一分析即可得到答案． 【详解】解：由表格信息可得抛物线的对称轴为：直线，故A不符合题意； ∵当时，函数随的增大而增大， ∴函数图象的开口向上，函数有最小值， ∴无实数根， ∴方程无实数根，故B不符合题意； 由抛物线的对称性可得：时的函数值都为0，抛物线的开口向上， ∴当时，，故C不符合题意； ∵当时，函数随的增大而增大，，是该抛物线上的两点， 当都在抛物线的对称轴的右侧时，有， 故D不符合题意． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，理解利用表格形式表示的二次函数的信息，再作出判断是解本题的关键． 43．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）如图所示的二次函数图象中，有以下信息：；；；；．其中正确的有 （填序号）    【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线交y轴于负半轴，则，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出； ∵对称轴在y轴右侧，对称轴为， 又∵， ∴； 故，故②错误； ③结合图象得出时，对应y的值在x轴上方，故，即，故③正确； ④由抛物线与x轴有两个交点可以推出，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为，则，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故答案为：③④⑤． 44．（23-24九年级上·广东广州·期中）抛物线经过点且对称轴为直线，其图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③点一定在抛物线上；④若，则时的函数值大于时的函数值．其中正确的结论序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的对称性，增减性是解本题的关键；本题根据二次函数经过点，对称轴为直线逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴，故①符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴即，故②不符合题意； ∵抛物线经过点且对称轴为直线， ∴，解得：， ∴， 由对称性可得：一定在抛物线上， ∴点一定在抛物线上，故③符合题意； ∵抛物线当时，随的增大而增大， 而，则， ∴时的函数值大于时的函数值．故④符合题意； 故答案为：①③④ 45．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数 的部分xy对应值如表： x 0 2 y n 若，下列正确的有 （填序号即可）． ①；②；③；④时，的解为，． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据二次函数的图象性质，对称轴为，二次函数与轴的交点坐标为，与0的关系决定开口方向，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：①函数的对称轴为直线，即，则， ∵，故在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向上，则， 而，故，所以①正确； ②∵对称轴在y轴的右侧，， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， ∴故②错误； ③当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④当时，即：时，， ∵抛物线经过点 ∴， 解得， 可以变形为，即探讨一次函数与二次函数为图象的交点情况， ∵和是上述两个图象的交点， ∴关于x的一元二次方程的解为，④正确， 故答案为：①③④． 二次函数的最值 46．（22-23九年级上·广东韶关·期中）已知，则函数（    ） A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7 C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先把解析式化为顶点式得到开口方向和对称轴，进而得到在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此结合自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴当时，当时，y有最小值1，当时，y有最大值， 故选：C． 47．（23-24九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质和数形结合是解题的关键． 【详解】解：由， 当时，随的增大而减小， ∴在时，当时，有最大值， 最大值为：， 故选：． 48．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2)；， (3)． 【分析】（1）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题以及二次函数顶点坐标，函数图像与y轴的交点可得点C坐标；顶点坐标通过对函数解析式配成顶点式即可得到． （2）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题，函数图像与轴的交点，转化为解一元二次方程即可求解． （3）本题主要考查了最短距离问题，点B是点A关于抛物线的对称轴对称的点，根据两点之间线段最短，线段即为所求最短距离． 【详解】（1）解：二次函数， 令，得到：． ∴； ， ∴． （2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点， 令， 得到：，， ∴；． （3）假设存在点，使得的值最小 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 又∵，， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴ 又∵， ∴, 即，的最小值为． 49．（23-24九年级上·广东肇庆·期中）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于、点和点，一次函数的图象与抛物线交于两点． (1)一次函数与二次函数的解析式； (2)点是线段上的一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式即可； （2）设点，且，则点，求得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵点和点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 由题意设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点是线段上的一点， ∴设点，且，则点， ∴， ∵，                             ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式以及二次函数最值问题，掌握二次函数最值求法是解题的关键． 50．（23-24九年级上·广东惠州·期中）二次函数如图所示，与轴交于，，，点是抛物线上点与点之间一动点．    (1)求出二次函数解析式； (2)当点坐标为多少时，的面积有最大值，并求出最大值． 【答案】(1)； (2)，面积最大为． 【分析】（）根据点和点的坐标可设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求出的值，进而得到抛物线的解析式； （）过作轴，交轴于点，交于点，，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式； 设，则，进而表示出，根据和二次函数的性质即可． 【详解】（1）设二次函数解析式， 又∵过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式； （2）由（）得：， 设直线解析式为且过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 如图，过作轴，交轴于点，交于点，      设，则， ∵点是抛物线上点与点之间一动点， ∴， ∴的面积为， ∴当时，面积最大为， 此时， ∴点． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，待定系数求解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及其应用． 二次函数的综合 51．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，已知抛物线与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在该二次函数的图象上，且，求点P的坐标； (3)设F为线段上的一个动点（异于点B和D），连接．是否存在点F，使得的值最小？若存在，分别求出的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点坐标为或 (3)存在，最小值为， 【分析】（1）求出点D的坐标，利用待定系数法求出a的值即可． （2）如图1中，设直线交y轴于J，则．连接，．由，推出，推出，再构建方程求出点P的坐标即可． （3）如图2中，过点D作平行于x轴，首先证明，过F作于H，则有，推出，推出，当A、F、H三点共线时，即时，取最小值． 【详解】（1）解：把代入， 解得， ∴， 把代入， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， 当时，则， ∵， 当，则， 当时，则， 解得：，， ∴，，， 如图1中，设直线交y轴于J，则．连接，． ∴ ∴， ∴， ∴， 当时， ， 解得：， ∴或， 当时， ∴ 方程无解， ∴满足条件的点P的坐标为或． （3）如图2中，过点D作平行于x轴，作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则有， ∴， ∴，当A、F、H三点共线时， 即时，取最小值． 把代入可得， ∴； 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了利用待定系数法求解解析式，二次函数与图形面积，解直角三角形的相关计算，运算量大，综合性强，（1）（2）步按照题目要求逐步解题即可，第三步解题关键是要根据一次函数解析式得到． 52．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知抛物线的图像与x轴交于点和点C，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (3)在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，Q点的坐标为 【分析】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，（1）根据抛物线的图象经过点和点，得到方程组，解方程组即可得到结论； （2）解方程求得，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时最小．求得直线解析式为；于是得到P点坐标为； （3）设是第二象限的抛物线上一点，过点Q作轴交直线于点E，于是得到E的坐标为，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：对称轴为， 令， 解得，， ∴， 如图所示， ∵点C与点A关于直线对称， ∴连接与对称轴的交点即为所求之P点， ∵的长是个定值， 则此时的点P，使的周长最小， 由于A、C两点关于对称轴对称， 则此时 最小． 设直线的解析式为， 由、可得： ， 解得， ∴直线解析式为； 当时，， ∴P点坐标为； （3）解：结论：存在． 设是第二象限的抛物线上一点， 过点Q作轴交直线于点E，则E的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． ∴当时，， ∴． 所以，在第二象限的抛物线上，存在一点Q，使得的面积最大；Q点的坐标为． 53．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图所示，抛物线与x轴相交于与y轴相交于点，点M为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接．求面积的最大值及此时点N的坐标． (3)若点P在y轴上，为等腰三角形，请直接写出P点的坐标。 【答案】(1)， (2)面积的最大值为， (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论； （1）把点、点和点的坐标代入抛物线解析式，求出，b，即可； （2）由（1）可得到直线的解析式，设点，则，进而表达三角形的面积，利用二次函数的最值问题可得； （3）设点坐标为，，，分为①当时，②当时，③当时，分别求解即可； 【详解】（1）解：把点和点，点 代入抛物线， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 故； （2）由（1）知抛物线的顶点为， 设直线的解析式为令，将代入， 得，解得， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴面积， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时； （3）设点坐标为， ∵， ∴，， ①当时，即， ∴， 解得(不合题意，舍去)， ∴点的坐标为； ②当时，即， ∴， 解得(不合题意，舍去)， ∴点的坐标为或； ③当时，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，存在，点的坐标为或或或． 54．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，二次函数图象的对称轴为直线，图象过点A、B、C，B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)当点M位于x轴下方的抛物线上时，过点M作x轴的垂线，交于点Q，求线段的最大值． (3)在（2）的条件下，当点M位于x轴下方的抛物线上时，求的最大面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线对称轴，求得，再将点代入二次函数，求得，即可得到二次函数的表达式； （2）先求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，进而得到，利用二次函数的性质，即可求出线段的最大值； （3）先求出点的坐标，令，进而得到的取值范围，利用待定系数法求出直线的解析式，得到的坐标，从而得到的长，由，得出 ，利用二次函数的性质，即可求出的最大面积． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线， ， ， 将点代入二次函数，得：， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：二次函数与轴交于点， 令，则， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 轴， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：二次函数与轴交于点、， 令，则， 解得：，， ，， 如图，令与轴的交点为， 令， 点M位于x轴下方的抛物线上， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，则，解得：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，函数与坐标轴交点问题以及最值问题，掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 55．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线（其中，）与轴交于A、B两点（A在B左边），与轴交于点C，顶点为P，O为坐标原点且． (1)求与满足的关系式； (2)直线，与抛物线交于另一点D，若的面积为，求的值； (3)在（2）的条件下，将抛物线G平移后得到抛物线，的顶点为点O，M、N为抛物线上两点，分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点H，若点H在直线上，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)1 (3)见解析 【分析】（1）将抛物线解析式进行因式分解，可求出A点坐标，得到长度，再由C点坐标得到长度，然后利用建立等量关系即可得到关系式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行可求出直线解析式，与抛物线联立可求D点坐标，过P作轴交于点E，求出即可表示的面积，从而建立方程求解； （3）根据平移求出抛物线解析式为，然后设直线解析式为，解析式为，根据与抛物线仅有一个公共点，求出，则直线解析式为，同理求出解析式为，联立方程组，求出，根据H在直线上，得出，联立方程组，求出，同理求出，然后根据待定系数法求出的解析式为，把代入可得，故当，即时，，即直线恒过定点． 【详解】（1）解：， 令，，解得，， 令，则， ∵， A在B左边， ∴A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴C点坐标为 设直线为，代入，得 ，解得， ∵， ∴设直线为，代入得，， ∴， ∴直线为， 直线与抛物线联立得， ，解得或， ∴D点坐标为 又∵ ∴顶点P坐标为 如图，过P作轴交于点E， 则E点横坐标为，代入直线得， ∴， ∴， 解得， ∵ ∴， ∴； （3）解：∵将抛物线G平移后得到抛物线，的顶点为点O，， ∴抛物线是解析式为， 设直线解析式为，解析式为， ∵与抛物线仅有一个公共点， ∴有唯一的解， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理：解析式为， 联立方程组， 解得 ∴， ∵H在直线上， ∴， 即， 联立方程组， 解得， ∴， 同理， 设直线解析式为， 则， 解得 ∴ ， ∴当，即时，， ∴直线恒过定点． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合问题，难度很大，需要掌握二次函数与一次函数的图像与性质和较强的数形结合能力． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$