精品解析：山东省济南第十三中学2024-2025学年九年级上学期9月份月考数学试题

2024-2025学年第一学期月作业质量监测数学试题 一、选择题（共10小题，共40分） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程经过配方后,可变形为 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，6 C. 2，3，4，5 D. 1，3，4，7 5. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 如图,,相交于点,且,点的对应点为点,若,,则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 电影《长安三万里》上映以来，全国票连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，将增长率记作，则方程可以列为( ) A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（　　） A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 二、填空题（共6小题） 11. 若，则_________． 12. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 13. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼______条． 14. 如图所示，网格中相似的两个三角形是______．（填序号） 15. 如图，，，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为___________． 三、解答题（共11小题） 16 解方程： （1） （2） 17. 如图，四边形是菱形，于点E，于点F．求证：． 18. 如图，、相交于点O，已知，，，，求证：． 19. 如图，四边形四边形． （1）_________度； （2）求边x，y的长． 20. 如图，学校打算用16的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长8，长方形的面积是30．求生物园的长和宽． 21. 菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． （1） 请根据统计图将下面的信息补充完整： ①参加问卷调查学生共有________人； ②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________． （2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ （3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 22. 阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形： 因为 所以 当时，， 因此有最小值，即的最小值为． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为 （2）求代数式的最大或最小值； 23. 在中，，现有动点P从点C出发，沿向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿向点C方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示 ， ； （2）当t为多少时，的长度等于？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 24. 如图，一次函数y=kx+b图像分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B（0，6），四边形ABCD是正方形． （1）求一次函数解析式； （2）求点D坐标； （3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 25. 【问题背景】如图，在和中，，由已知可以得到： ①________________； ②________________． 【尝试应用】如图，在和中，， 求证：． 【问题解决】如图，在和中，与相交于点F，点D在上，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期月作业质量监测数学试题 一、选择题（共10小题，共40分） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解决问题的关键．根据两内项之积等于两外项之积，逐一验证各选项是否与原等式一致即可． 【详解】A、 由得，即，与原式不符，错误； B、 由得，即，与原式完全一致，正确； C、 由得，与原式矛盾，错误； D、 由得，即，同样与原式不符，错误． 故选：B． 2. 一元二次方程经过配方后,可变形为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，然后利用完全平方公式配方即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，灵活运用完全平方公式进行配方是解答本题的关键． 3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键． 【详解】解：两条直线被三条平行线所截， ， ，， ， ， 故选：B． 4. 下列给出长度四条线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，6 C. 2，3，4，5 D. 1，3，4，7 【答案】B 【解析】 【分析】如果其中两条线段乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【详解】解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意； B.1：2=3：6，故四条线段成比例，符合题意； C.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意； D.1：3≠4：7，故四条线段不成比例，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 5. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是一元二次方程的一个解，代入方程即可求解m的值. 【详解】解：根据题意，把代入 得： 解得： 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根)的意义、一元一次方程，解题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法正确，符合题意； D、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键． 7. 如图,,相交于点,且,点的对应点为点,若,,则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质,三角形内角和定理．根据题意可知,又因,再利用三角形内角和定理即可求出本题答案． 【详解】解:∵,, ∴, ∵, ∴, 故选:D． 8. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键． 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种， ∴两次摸到相同颜色的棋子的概率， 故选：C． 9. 电影《长安三万里》上映以来，全国票连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，将增长率记作，则方程可以列为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设增长率记作，分别求得三天的收入，根据三天后累计票房收入达10亿元，列方程即可求解． 【详解】解：设增长率记作，依题意， 故选：D． 10. 如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（　　） A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据角的和差可得，由此可判断结论①；先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，假设，从而可得，然后根据线段垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，根据得出，由此得出矛盾，即可判断结论②；先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得判断结论③． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， ，结论①正确； 在和中，， ， ，即， 假设，则， 垂直平分， ， 又在中，， ，这与相矛盾， 则假设不成立，结论②错误； ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即，结论③正确； 综上，正确结论的个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，正确找出相似三角形和全等三角形是解题关键． 二、填空题（共6小题） 11. 若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的运算．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由，可得 ，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 13. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼______条． 【答案】2000 【解析】 【分析】由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：50÷2.5%=2000. 故答案为：2000. 【点睛】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量． 14. 如图所示，网格中相似的两个三角形是______．（填序号） 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】分别求出四个三角形的三条边，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判定即可． 【详解】解：图①中三角形的三边长分别为：，2，； 图②中三角形的三边长分别为：，，3； 图③中三角形的三边长分别为：2，，； 图④中三角形的三边长分别为：，3，； ∵，， ∴， ∴网格中相似的两个三角形是①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，分母有理化，解题的关键是熟练掌握勾股定理求出四个三角形的三条边． 15. 如图，，，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为___________． 【答案】或2或12 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质．根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：若， ∴， 设， ， ， 解得； 若， ∴， 设， ， ， 解得； 综上所述，的长度为或2或12， 故答案为：或2或12． 三、解答题（共11小题） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）根据因式分解法解方程即可； （2）根据公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或 ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 17. 如图，四边形是菱形，于点E，于点F．求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定．根据菱形的性质可得，可利用证明． 【详解】证明：四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 18. 如图，、相交于点O，已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，，结合可得，利用相似三角形的性质即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴． 19. 如图，四边形四边形． （1）_________度； （2）求边x，y的长． 【答案】（1）70 （2）， 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，多边形内角和问题． （1）由相似多边形对应角相等，可得，再根据四边形内角和为即可求解； （2）根据相似多边形对应边长成比例，可得，代入数值即可求解． 【小问1详解】 解：四边形四边形，， ， 四边形内角和为，，， ， 故答案为：70； 【小问2详解】 解：四边形四边形， ， 即， 解得，． 20. 如图，学校打算用16的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长8，长方形的面积是30．求生物园的长和宽． 【答案】围成矩形的长为，宽为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可设垂直于墙的一边为，则长平行于墙的一边为，根据等量关系：面积是．列出方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为． 由题意，得， 解得，． 当时，， ，不合题意舍去， 当时，． 答：长为、宽为． 21. 菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． （1） 请根据统计图将下面的信息补充完整： ①参加问卷调查的学生共有________人； ②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________． （2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ （3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 【答案】（1）①240，②36 （2）600 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，用样本估计总体等等． （1）用最喜欢B的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用360度乘以最喜欢D的人数占比即可求出扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小； （2）先求出样本中最喜欢A的人数，进而求出样本中最喜欢C的人数，再用2000乘以样本中最喜欢C的人数占比即可得到答案； （3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好甲和丁同学被选到的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：人， ∴参加问卷调查的学生人数是240人， ∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为， 故答案为：240，36； 【小问2详解】 解：人， ∴样本中最喜欢A课程的人数为60人， ∴样本中最喜欢C课程的人数为人， ∴估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有人； 【小问3详解】 解：用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四人，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数有2种， ∴恰好甲和丁同学被选到的概率为． 22. 阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形： 因为 所以 当时，， 因此有最小值，即的最小值为． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为 （2）求代数式的最大或最小值； 【答案】（1）3；（2）最大值为； 【解析】 【分析】（1）根据题意把原式转换成，得到它的最小值是3； （2）根据题意把原式转换成，得到它有最大值10． 【详解】解： ， 当时，， 因此有最小值，即代数式的最小值为； 故答案是：； 由于，所以 当时，， 则最大值为． 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用它来进行配方求最值． 23. 在中，，现有动点P从点C出发，沿向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿向点C方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示 ， ； （2）当t为多少时，的长度等于？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）， （2）为0．2或3秒 （3）为2或 【解析】 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据题意列代数式即可． （2）利用勾股定理求解即可． （3）分情况讨论，和，代入求解即可． 【小问1详解】 解：用含的代数式表示，； 故答案为，． 【小问2详解】 解：在中，根据勾股定理得，， ， 解得：或， 当为0．2或3秒时，的长度等于． 【小问3详解】 解：以点为顶点的三角形与相似，且， ①， ， ， ， ②， ， ， ， 即当为2或时，以点为顶点的三角形与相似． 24. 如图，一次函数y=kx+b图像分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B（0，6），四边形ABCD是正方形． （1）求一次函数解析式； （2）求点D的坐标； （3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 【答案】（1）y=-x+6；（2）（14，8）；（3）存在（，）或（−4，3）或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）首先过点D作DE⊥x轴于点E，易证得△AOB≌△DEA，则可求得DE与AE的长，继而可求得点D的坐标； （3）分别从当OM＝MB＝BN＝NO时，四边形OMBN为菱形与当OB＝BN＝NM＝MO＝6时，当OB=BM=NM=NO=6时，四边形BOMN为菱形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：（1）把A（8，0）、B（0，6）代入一次函数y=kx+b 得 解得 ∴一次函数解析式为y=-x+6； （2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E， 则∠AOB＝∠DEA＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90， ∴∠1＝∠3， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA， ∵在△AOB和△DEA中， ∴△AOB≌△DEA（AAS）， ∴OA＝DE＝8，OB＝AE＝6， ∴OE＝OA＋AE＝8＋6＝14， ∴点D的坐标为（14，8）； （3）存在． ①如图2，当OM＝MB＝BN＝NO时，四边形OMBN为菱形．连接NM，交OB于点P，则NM与OB互相垂直平分， ∴OP＝OB＝3， ∴当y＝3时，−x＋6＝3， 解得：x＝4， ∴点M的坐标为（4，3）， ∴点N的坐标为（−4，3）． ②如图3，当OB＝BN＝NM＝MO＝6时，四边形BOMN为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴． ∵点M在直线y＝−x＋6上， ∴设点M的坐标为（a，−a＋6）（a＞0）， 在Rt△OPM中，OP2＋PM2＝OM2， 即：a2＋（−a＋6）2＝62， 解得a1=0（舍去）a2=， ∴点M的坐标为（，）， ∵MN=OB=6 ∴点N的坐标为（，）， ③如图，当OB=BM=NM=NO=6时，四边形BONM为菱形．设NM交x轴于点P，则MP⊥x轴． ∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为， ∴点N的坐标为， 在中，， 即：， 解得（舍去），， ∴点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为（，）或（−4，3）或． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． 25. 【问题背景】如图，在和中，，由已知可以得到： ①________________； ②________________． 【尝试应用】如图，在和中，， 求证：． 【问题解决】如图，在和中，与相交于点F，点D在上，，求的值． 【答案】问题背景：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE；尝试应用：见解析；问题解决：3 【解析】 【分析】问题背景：利用证明△ABD≌△ACE即可；证明利用两个角对应相等的两个三角形相似可得答案； 尝试应用：先证明△ABC∽△ADE，可得，∠CAB＝∠EAD，再证明∠CAE＝∠BAD，从而可得结论； 问题解决：连接CE，依次证明△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE，△ADF∽△ECF，可得，结合，从而可得答案. 【详解】问题背景： 解：① △ABD≌△ACE； ② △ABC∽△ADE． 尝试应用： 解：∵ △ABC∽△ADE ∴，∠CAB＝∠EAD ∴∠CAE＝∠BAD ∴△ACE∽△ABD． 问题解决： 解：同理：△ABC∽△ADE，连接CE ∴△ABD∽△ACE ∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE=30°， ∴△ADF∽△ECF ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的应用相似三角形的判定方法解决问题是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $