精品解析：安徽省亳州市蒙城县2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

蒙城县2024-2025第一学期第一次学业质量检测 九年级数学 注意事项： 1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：当时，不是二次函数，故选项A错误； ，是二次函数，故选项B正确； 不是二次函数，故选项C错误； 不是二次函数，故选项D错误； 故选：B． 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 3. 二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. ﹣5 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】∵y=（x﹣5）2+7， ∴当x=5时，y有最小值7． 故选B． 4. 抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　） A 有两个交点 B. 只有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，可以求得该抛物线与x轴的交点坐标，从而可以解答本题． 【详解】∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）， ∴当y＝0时，x＝2或x＝3， 即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0）， 故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点， 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解答此题要明白函数y＝x2﹣5x+6与x轴的交点的坐标为y=0时方程x2﹣5x+6＝0的两个根． 5. 若函数是二次函数，则m值为（　　） A. 0或 B. 0或1 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：或且， 故， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，我们把形如（其中a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，得，，根据二次函数的对称轴可得，从而即可得到一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ， 一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图形、一次函数的图形、反比例函数的图形，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键． 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出反比例函数图象所在的象限和增减性，再由各点横坐标的大小判断出各点纵坐标大小，进而可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中k＝﹣m2﹣1＜0， ∴此函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y的值随x的增大而增大， ∵2＞0，﹣3＜﹣1＜0， ∴B （2，y2）位于第四象限，点A（﹣1，y1），C （﹣3，y3）位于第二象限， ∴y1＞y3＞y2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 8. 已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A. 图象关于直线对称 B. 函数的最小值是 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，根据函数图象确定对称轴、最大值、增减性判断即可，理解二次函数的对称轴、最值、二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】A、图象关于直线对称，A说法正确，故不符合题意； B、函数的最小值是，B说法正确，故不符合题意； C、由图可得：抛物线与x轴的另一交点为，当时，；当时，，C说法错误，故符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，D说法正确，故不符合题意； 故选：C． 9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论： ①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：①∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0， 所以①错误； ②∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴a、b同号， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0， 所以②正确； ③∵x=﹣1时，y＜0， 即a﹣b+c＜0， ∵对称轴为直线x=﹣1， ∴， ∴b=2a， ∴a﹣2a+c＜0，即a＞c， 所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1， ∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0， 所以④正确． 所以本题正确的有：②③④，三个， 故选C． 10. 杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（ ） A. 24元 B. 25元 C. 28元 D. 30元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，设利润为，先根据“利润（售价进价）销售量”得出与的关系式，再根据二次函数的性质求解是解题关键． 【详解】解：设利润为，由题意可得， ， ，， 则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值， 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 将二次函数化为的形式，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解决本题的关键． 利用配方法整理即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知抛物线的开口方向向下，则a的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由抛物线开口方向向下，可得，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数图象的性质，熟记抛物线的开口向下，则二次项系数是解本题的关键． 13. 已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点和函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴为是解题的关键． 【详解】解：解：函数的对称轴，则与x轴的另一个交点的坐标为，      故答案为：． 14. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，如图， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半，为2米，抛物线顶点C坐标为，点A坐标为， 通过以上条件可设顶点式， 代入A点坐标，可得， 解得：，所以抛物线解析式为， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： ，解得：， 所以水面宽度为米， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线为：，再把代入，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为：， 把代入可得： ， 解得：， ∴抛物线为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，根据给定的条件设出合适的表达式是解本题的关键． 16. 反比例函数的图象经过点（-2，3），求该反比例函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入函数解析式中，利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解:把点（-2，3）代入得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，能够熟练掌握待定系数法是解决本题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 若函数是以x为自变量的二次函数． （1）求k的值； （2）当函数值时，求自变量x的值． 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，求二次函数的自变量； （1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可； （2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可． 解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，一般地,我们把形如 (其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数． 【小问1详解】 解：依题意有， 解得：， ∴k值为3； 【小问2详解】 解：把代入函数解析式中得：， 当时，， 解得：，． 18. 学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，属于基础题，熟练掌握矩形的面积公式是关键．根据矩形的面积=长×宽，结合题意即可得出另一边的长y（米）与x的函数关系式． 【详解】解：由长方形的面积公式得， ∴y关于x的函数表达式为． ∵墙的长度为8米， ，即， ∴自变量x的取值范围为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(m，6)，B(3，n)两点． (1) 求一次函数的表达式； (2) 根据图象写出kx＋b－<0的x的取值范围． 【答案】(1) 一次函数的解析式为y＝－2x＋8;(2) 0<x<1或x>3 【解析】 【分析】（1）先把A、B点坐标代入y=，求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）根据该不等式的解集即为直线在双曲线下方时x的范围即可写出答案； 【详解】解：(1)∵点A(m,6),B(3,n)两点在反比例函数 (x>0)的图象上， ∴6m=3n=6， ∴m=1，n=2， ∴A(1,6),B(3,2). 又∵点A(m,6),B(3,n)两点在一次函数y=kx+b的图象上， ∴ 解得 则该一次函数的解析式为：y=−2x+8； (2)根据图象可知使成立的x的取值范围是0<x<1或x>3； 【点睛】考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键，注意数形结合思想在解题中的应用. 20. 规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点是“完美点”，则_____； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式． 【答案】（1）1 （2）该“完美函数”表达式为：或 【解析】 【分析】（1）由定义可得，求出的值即可； （2）根据该“完美函数”的顶点在直线上可求出顶点为，然后可设二次函数的解析式为，令，则，再根据该函数与轴的交点到原点的距离为2求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：点是“完美点”， ，即， 解得：， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：某“完美函数”的顶点在直线上， 设函数的顶点为， 该函数为“完美函数”， ， 解得：， ， 该函数的顶点为， 设二次函数的解析式为， 令，则， 该函数与轴的交点到原点的距离为2， ， 解得：或， 或 该“完美函数”的表达式为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图象与性质、相反数的定义，理解新定义，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A的坐标为． （1）求m的值以及二次函数的表达式； （2）若点P为抛物线的顶点，过点P作轴，交于点D，求线段的长． 【答案】（1），二次函数为； （2） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入可得：，再把代入，可得二次函数解析式； （2）先求解顶点P的坐标，再求解D的坐标，从而可得答案． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入可得：， ∴， ∵二次函数过， ∴， 解得：； ∴二次函数为； 【小问2详解】 ∵， ∴顶点坐标为：， 当时，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正比例函数的图象与性质，求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的利用待定系数法求解二次函数的解析式是解本题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克／百毫升)与时间(时)的关系可近似地用二次函数刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数(k＞0)刻画(如图所示)． （1）根据上述数学模型计算： ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少? ②当＝5时，y＝45．求k的值． （2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班?请说明理由． 【答案】（1）①200；②225；（2）不能，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数的最值求解即可. ②根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（5，45）代入即可求得k的值． （2）求出时（即酒精含量等于20毫克／百毫升）对应的x值（所需时间），推出结论． 【详解】（1）①当时，， ∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克／百毫升. ②∵当时，，且（5，45）在反比例函数(k＞0)图象上， ∴把（5，45）代入得，解得. （2）把代入反比例函数得. ∴喝完酒经过11.25时（即11：15时）为早上7：15. ∴第二天早上7：15以后才可以驾驶，7：00时不能驾车去上班. 八、解答题（本题满分14分） 23. 新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． （1）求出与的函数关系式； （2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？ （3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元 （3）每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元 【解析】 【分析】（1）由总利润=每套利润销售量可列出函数关系式； （2）由（1）可知与的函数关系式，令，即可求出，进而得到定价； （3）根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 由题意可知： ∴与的函数关系式为． 【小问2详解】 令 解得， ∴， 答：要书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元． 【小问3详解】 ， ∵ ∴当时，有最大值1250，此时， 答：当每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒙城县2024-2025第一学期第一次学业质量检测 九年级数学 注意事项： 1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 3. 二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. ﹣5 D. 5 4. 抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　） A. 有两个交点 B. 只有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 5. 若函数是二次函数，则m值为（　　） A. 0或 B. 0或1 C. D. 1 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A. 图象关于直线对称 B. 函数的最小值是 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论： ①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（ ） A. 24元 B. 25元 C. 28元 D. 30元 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 将二次函数化为的形式，则___________． 12. 已知抛物线的开口方向向下，则a的取值范围为______． 13. 已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是______． 14. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_____米． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的表达式． 16. 反比例函数的图象经过点（-2，3），求该反比例函数的表达式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 若函数是以x为自变量二次函数． （1）求k的值； （2）当函数值时，求自变量x值． 18. 学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(m，6)，B(3，n)两点． (1) 求一次函数的表达式； (2) 根据图象写出kx＋b－<0的x的取值范围． 20. 规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点是“完美点”，则_____； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A的坐标为． （1）求m的值以及二次函数的表达式； （2）若点P为抛物线的顶点，过点P作轴，交于点D，求线段的长． 七、（本题满分12分） 22. 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克／百毫升)与时间(时)的关系可近似地用二次函数刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数(k＞0)刻画(如图所示)． （1）根据上述数学模型计算： ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少? ②当＝5时，y＝45．求k的值． （2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班?请说明理由． 八、解答题（本题满分14分） 23. 新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． （1）求出与的函数关系式； （2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？ （3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $