精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考（9月）数学试题

重庆外国语学校 2024—2025学年度（上）高2025届9月第二次月考 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在R上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，当时，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 命题“，”的否定是“，” 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，是的一个周期 B. 将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若是奇函数，则的最小值为2 C. 若存在，使得，则的取值范围是 D. 存在，使得在上单调递减 11. 设R，用表示不超过的最大整数，则函数被称为高斯函数；例如，，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是周期函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 方程只有1个实数根 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 已知是定义在上的奇函数，且当时，.若，则___________. 13. 已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是__________. 14. 已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若的面积等于，求的周长的最小值． 16. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表： 质量指标值m m＜185 185≤m＜205 m≥205 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图： (1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品”的规定？ (2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率； (3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？ 17. 已知函数･ （1）若，讨论的单调性； （2）若，已知函数，若恒成立，求的取值范围. 18. 已知双曲线的焦距为4，离心率为分别为的左､右焦点，两点都在上. （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）若且，求四个点所构成的四边形的面积的取值范围. 19. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数． （1）当时，求证； （2）当时，求函数的不动点的个数； （3）设，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆外国语学校 2024—2025学年度（上）高2025届9月第二次月考 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法及对数型函数的定义域化简集合M,N，再由交集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的概念进行判断. 【详解】因为：由，由或. 所以是的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出的值，再由，在所得分式的分子和分母中同时除以，再代入的值计算即可得解. 【详解】由已知条件可知，点在直线上，则，， 所以，. 故选：B. 4. 已知是定义在R上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数为减函数需满足三个条件，一是上支为减函数，二是下支为减函数，三是下支的最大值小于或等于上支的下界，列不等式组即可解得. 【详解】要使函数 在R上为减函数， 需满足 ，解得. 故选：D． 5. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出切线方程，然后对进行讨论即可. 【详解】设切点为 , 对 求导可得： , 切线的斜率为 , 可得切线方程为： , 把点 代入可得 , 化为 , 令 , , 令得;令得 所以函数 在 上单调递增, 在 上单调递减, 可得 时函数 取得极大值. 当 时, , 当 时, . 时， 与函数 的图象最多有一个交点, 不符合题意, 舍去. 时, 由过点 可以作曲线 的两条切线, 与函数 的图象有两个交点, . 故选：C. 6. 已知，，且，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的知识先求得对应的三角函数值，进而求得. 【详解】因为，，所以， 所以，. 因为，所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 则， 故（）. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，所以. 故选：D. 7. 若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，即可得关于对称，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】由，则，即， 故关于对称，又， 则由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 故对，有，即， 即，即，解得或， 即不等式的解集为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助结合复合函数求导法则得到，从而得到的对称轴. 8. 已知，，当时，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析得，，均再单调递增；所以要使，则，然后构造函数，求最值即可. 【详解】因为，所以在 为增函数，由与图象知，在 有唯一的零点， 当时，，当时，， 若，则在恒成立，与矛盾，故. 显然的定义域为，且 因为，所以均在单调递增， 所以当时，，因为，所以； 当时，，因为，所以， 所以当时，， 即， 令，得 ， 所以当时，，单调增， 当时，，单调减， 故 ， 所以，当且仅当即时等号成立； 故选：D 【点睛】多变量问题通常需要先找到变量之间的关系，然后将多变量转化为单一变量，然后构造函数利用导数求其最值即可. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等性质分别判断ABC选项，再根据命题的否定可判断D选项. 【详解】A选项：，，即，A选项正确； B选项：，若，则，若，则，若，则，B选项错误； C选项：，，所以，C选项正确； D选项：命题“，”的否定是“，”，D选项正确； 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，是的一个周期 B. 将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若是奇函数，则的最小值为2 C. 若存在，使得，则的取值范围是 D. 存在，使得在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】由的单调性，奇偶性，周期性逐项判断. 【详解】对于A:当时，，所以最小正周期为，所以是的一个周期，正确； 对于B：将将的图象向右平移个单位后得到 因为是奇函数，所以，解得, 当时，最小此时为2，正确； 对于C：因为，当时，， 当时， 又存在，使得， 所以当时，，解得：，正确； 对于D: 存在，若在上单调递减， 由复合函数的单调性可得： 因为，所以，故 可得：解得：，因为，，则必有， 所以同时满足的必然小于0，这与矛盾，错误. 故选:ABC 11. 设R，用表示不超过的最大整数，则函数被称为高斯函数；例如，，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是周期函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 方程只有1个实数根 【答案】AD 【解析】 【分析】确定时的图象，根据的奇偶性确定部分的函数图象，根据的图象确定的图象即可求解. 【详解】选项A，函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 因为为偶函数，所以函数的图象如下图所示 由可知，在内， 当，Z 时，， 当，且,Z时，， 当或，Z时，， 因为，所以为偶函数，则函数的图象如下图所示 显然不是周期函数，故选项A正确，B错误, C错误; 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有1个实数根，故D正确； 故选：AD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 已知是定义在上的奇函数，且当时，.若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据是奇函数，且时，，并且，从而得出，从而可求出． 【详解】是定义在上的奇函数，且时，， ，， ，即，． 故答案为：． 【点睛】本题考查奇函数的定义、已知函数求值的方法、对数的运算性质、对数恒等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 13. 已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意求得的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得解. 【详解】因为，，则， 又因为函数在区间上恰有三个零点， 则，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为________． 【答案】． 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为与的图象交点问题，利用数形结合分为和两种情况求得m的取值范围，其中后者需在存在性问题中进一步研究a的范围． 【详解】已知实数使在上有2个零点，等价于与的函数图象在上有2个交点， 显然与x轴的交点为，的图象关于对称， 当时，若要有2个交点，由数形结合知m一定小于e，即； 当时，若要有2个交点，须存在a使得在有两解，所以， 因为，即，显然存在这样的a使上述不等式成立； 由数形结合知m须大于在处的切线与x轴交点的横坐标，即 综上所述，m的范围为． 故答案为： 【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数取值范围问题，属于难题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若的面积等于，求的周长的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解； （2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， ∵，所以， 所以，∴； 【小问2详解】 解：依题意，∴ac＝4， 所以，当且仅当时取等号， 又由余弦定理得， ∴，当且仅当a＝c＝2时取等号， 所以的周长最小值为． 16. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表： 质量指标值m m＜185 185≤m＜205 m≥205 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图： (1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品”的规定？ (2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率； (3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？ 【答案】（1）见解析；（2）.（2）质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图，一、二等品所占比例的估计值为 ，可做出判断. （2）由频率分布直方图的频率分布可知8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，分类讨论各种情况可得. （3）算出“质量提升月”活动前，后产品质量指标值为，可得质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6 试题解析：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定. （2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率. （3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为 “质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足，则. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6 17. 已知函数･ （1）若，讨论的单调性； （2）若，已知函数，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，然后再利用导函数的正负情况，分类讨论即可； （2）先将函数代入不等式，然后参变分离，转化为函数最值问题，最后利用导数求最值即可. 【小问1详解】 ，则. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由，得，即， 令，则，即不等式在恒成立， 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即实数的取值范围为. 【点睛】此题主要考察了分类讨论函数单调性以及导数的恒成立问题，都是比较常规；分类讨论主要是讨论导函数的正负情况；对于恒成立问题，主要考虑两个方法，参变分离或整体构造，一般首选参变分离. 18. 已知双曲线的焦距为4，离心率为分别为的左､右焦点，两点都在上. （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）若且，求四个点所构成的四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的性质结合题意可得结果； （2）设出直线的方程，直曲联立表示出韦达定理，再结合得到，解出，即可求出直线方程； （3）结合已知作出图象，设出直线和的方程，由弦长公式表示出弦长，再求出直线与间的距离进而求出，最后求导分析其单调性再求出取值范围即可； 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故曲线的方程为， 【小问2详解】 根据题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 得，都在右支上， 由，消去可得， 易知，其中恒成立， ， 代入，消元得， 所以，解得，满足， 所以直线的方程为， 【小问3详解】 ，，则分别在两支上，且都在的上方或的下方，不妨设都在的上方，又，则在第二象限，在第一象限，如图所示， 延长交双曲线与点，延迟交双曲线于点，由对称性可知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍，由题设直线的方程为，直线的方程为， 由第（2）问易得， 因为，所以， 两条直线与间的距离， 所以， 令，， 所以， 设，则，在上恒为减函数， 所以在上恒为增函数， 当时即，取得最小值为12， 所以当且，则四个点所构成的四边形的面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛： （1）本题第二问给出向量关系让求直线方程时，常用直曲联立，表示出韦达定理，再根据向量关系求出参数即可； （2）本题第三问再求四边形面积的取值范围时，先由弦长公式表示出一条边，再由两平行线间距离公式表示出高，最后再求导分析. 19. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数． （1）当时，求证； （2）当时，求函数的不动点的个数； （3）设，证明． 【答案】（1） 当时，有， 所以， 所以 当且仅当，，即时，等号成立， 所以当时，，单调递增， 所以，所以得证. （2）2 （3） 由（1）知，， 令，则，即， 设，则满足， 所以，即， 所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，求出函数最小值即可证明； （2）将代入函数解析式，得方程解的个数即为函数的不动点的个数，构造函数，对函数求导，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，即相应点的函数值，求出函数零点的个数，即为函数的不动点的个数； （3）结合（1）换元后，再由待证式子，设，结合结论恰当变形，利用相加相消即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 根据题意可知：方程解的个数即为函数的不动点的个数， 化为，令， 所以函数的零点个数，即为函数的不动点的个数， ，令，即，解得， 单调递减 单调递增 因为，， 所以在上有唯一一个零点， 又， 所以在上有唯一一个零点， 综上所述，函数有两个不动点. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于对于第一问的灵活运用，借助第一问结论，恰当换元，得出后，再次适时换元，是本题的关键点，也是难点，突破换元后裂项相消即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $