精品解析：2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试题

2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷 一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果． 本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到，是方程的两个根，得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ，是方程的两个根， ， ． 故答案为：． 2. __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，将改写为，改写为，，再利用裂项相消法即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：． 3. 已知正实数，，满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的最值问题，勾股定理，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键．本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，则由勾股定理可知，即，同理可得：，，进而得到，可知当，，，四点共线时，最小，即为长，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：构造图示的三个直角三角形， 即，，， 满足，，，，，， 则由勾股定理可知，即， 同理可得，， ， 即可知当，，，四点共线时，最小，即最小值为的长， 当，，，四点共线时，． 在中，． 故答案为：． 4. 已知函数，当时，有最大值5，则的值为__________． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解． 【详解】解：由题意，的对称轴是直线， 当时，． ∵当时，有最大值5， ∴当时，，当时，， ∴最大值可能在这三个数处取得： ①当最大值为， 或， ∵当时，，此时函数有最小值，不符合题意， ②当最大值为， 或 ∵当时，，此时最大值在对称轴右侧取得，不符合题意， 当时，，此时最大值在处取得，不符合题意， ∴或均不合题意， ③当最大值为， 或， ∵当时，，此时最大值在对称轴处取得，不符合题意， ∴， 综上，或7． 故答案为：1或7． 5. 已知中，上的一点，，，则的最大值为_________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当与圆相切时，有最大值，由“”可证，可得，可证四边形是矩形，可得，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接，过点作于， ， 设，则， ，， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当与圆相切时，有最大值， 此时：， 是等边三角形，， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， 故答案为：． 6. 若点为线段中点，，且，，，，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】先画出图形，过作．延长交于．由，得，证明，得，，由面积，得，，，，，，最后再计算即可． 【详解】解：如图，过作．延长交于． ， ， 为线段中点， ， 在和中， ， ， ， 面积， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，二次根式的运算，熟练掌握相关的判定和性质，利用中线倍长是解题关键． 7. 如图，在中，，分别在，上，连接交于，若，，，，共线，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容，在初中竞赛、自招、强基等题目中，梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容．根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出和，从而得出，再利用即可得解． 【详解】解：梅涅劳斯定理：如图，， 证明：过作交延长线于点， 则，， ； 塞瓦定理：如图，， 根据上述梅涅劳斯定理，可得出， 在中，是梅涅线，① 在中，是梅涅线，② ． 根据梅涅劳斯定理，在中，是梅涅线， ， ，， ，， ， ， 根据塞瓦定理可得， ， ， 而， ， ， 故答案为：30． 8. 已知整数，，满足，则的最小值为________． 【答案】125 【解析】 【分析】根据 得到 ，根据，则 ，所以当在满足为整数时，且最小时，的值最小，再运用列举法求解即可． 【详解】解：已知， ∵ ， ∴ ， ∴ ①， ∵②， ∴ ③， 当在满足为整数时，且最小时，的值最小， 结合①②得， ， ∴ ， ∵是整数， ∴ ，此时， 代入③得， ， ∴的最小值为125， 故答案为：125． 9. 已知，，是大于1的正整数，且为整数，则_______． 【答案】12 【解析】 【分析】先求出，再不妨设，则，据此得到，当时，则，不符合题意，据此可得或，当时，，则，可得，则；当时，，则，则，可得． 【详解】解： ， 、、是大于1的正整数， ∴不妨设， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，则，不符合题意， ∴或， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，分式的乘法计算，根据题意推出，且或是解题的关键． 10. 已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，作，设，证是等边三角形，得出，证，，得出，得出是直径，再利用勾股定理列方程求出，即可． 【详解】解：连接，，，过点A作作于F，设， 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，， ， ， 是等边三角形， ，， ，是的切线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 得出：， ， ，， ， 是直径， ， ，，， ，， ， ， ， ， (负值已舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 二、解答题：本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11. 已知，矩形的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为． （1）判断并证明直线与的关系． （2）求k的值． （3）若E，F分别为直线和反比例函数上的动点，M为中点，求的最小值． 【答案】（1），理由见解析 （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）可表示出，，从而得出，，进而表示出和，进而得出，进而证得，从而，从而得出； （2）作于，可推出，从而，进一步得出结果； （3）取点，，则直线与直线关于O对称，连接，并延长交于H，连接，则，可得出当最小时，最小，作直线，交y轴与，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，连接，作，则的最小值是的长，可设直线的解析式为：，由整理得，，从而得出，求得的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图1， ，理由如下： ，矩形的A，B顶点分别在轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于D，C， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2， 作于G， ， ， ， ， ，（舍去）， ； 【小问3详解】 解：如图3， 取点，， 则直线与直线关于O对称， 连接，并延长交于，连接， 则， M是的中点， ， 当最小时，最小， 作直线，交y轴与Q，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，连接，作， 当重合，重合， 则的最小值是的长， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 由整理得，， ， ，（舍去）， ， ，直线为， ∴，， ∴， ∴， 当最小时，最小，的最小值是的长， ． 【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程（组）之间的关系，三角形中位线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线． 12. 如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于． （1）求证：． （2）证明：，，，四点共圆． （3）若，求． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，由垂心，得到垂直关系，得到证明四边形是平行四边形，根据中位线性质得出，从而得到结果； （2）先求出，再结合，证明，得到四点共圆； （3）以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，设，用表示出的各边，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果． 【小问1详解】 解：以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： 是直径， ∴， ，， 为垂心， ，，， ，， 是平行四边形， ， ∵，O为外心， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：连接，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： ， ∴， 为垂心， ，，， ∴， ∴， ∴， ， 、、、四点共圆； 【小问3详解】 解：以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： 设， ， ， ∵，， ， 在直角中，， ，， 根据解析（1）可知：四边形为平行四边形， ∴，， 在直角中，， 即：， 在直角中，， 即：， ， ， 在中，， 即：， ， 或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及到直角三角形勾股定理的应用，圆周角、圆心角、平行四边形的性质的应用，四点共圆的判定，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷 一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若，且，则________． 2. __________． 3. 已知正实数，，满足，则的最小值为_________． 4. 已知函数，当时，有最大值5，则的值为__________． 5. 已知中，上的一点，，，则的最大值为_________． 6. 若点为线段中点，，且，，，，则_______． 7. 如图，在中，，分别在，上，连接交于，若，，，，共线，的面积为，则的面积为________． 8. 已知整数，，满足，则的最小值为________． 9. 已知，，是大于1的正整数，且为整数，则_______． 10. 已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则__________． 二、解答题：本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11. 已知，矩形的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为． （1）判断并证明直线与的关系． （2）求k的值． （3）若E，F分别为直线和反比例函数上的动点，M为中点，求的最小值． 12. 如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于． （1）求证：． （2）证明：，，，四点共圆． （3）若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $