精品解析：陕西省榆林市府谷县府谷中学、府谷一中2024-2025学年高二上学期第一次质量调研检测数学试卷

府谷中学、府谷一中高二年级第一次质量调研检测卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章一第二章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 已知，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点到平面的距离为定值 C. 当时，点在以的中点为端点的线段上 D. 当时，平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________. 13. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为_________． 14. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知的三个顶点是，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程. 17. 平行六面体， （1）若，，，，，，求长； （2）若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值． 18. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥． （1）求证：四点共面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 府谷中学、府谷一中高二年级第一次质量调研检测卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章一第二章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 因此，直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知空间向量，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】因为，，所以， 故选:B. 3. 在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】 , 故选：C. 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直，可知，由此可得两向量坐标之间有倍数关系，即可求得答案. 【详解】当时，，所以， 则，解得，． 故选：C． 5. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意求出，，，，即可求出，再由面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以，， 则，，，所以， 又因为，所以， 则以，为邻边的平行四边形的面积. 故选：D 7. 已知，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量求出平面的法向量，再由点到平面距离的向量求法即可得. 【详解】易知，，， 设平面的法向量，则即 令，则，，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 故选：C． 8. 在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，得到，，结合向量的数量积的运算公式化，即可求解. 【详解】如图所示，在正三棱锥中，， 可得， 因为点分别是棱的中点， 可得，， 所以 ． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 10. 在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解. 【详解】由题意得：如下图所示： 对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确； 对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误； 对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确； 对于D项：， 所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误. 故选：AC. 11. 在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点到平面的距离为定值 C. 当时，点在以的中点为端点的线段上 D. 当时，平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由即可判断；对于B，由和平面即可判断；对于C，分别取和的中点和，由即即可判断；对于D，先求证平面，接着即可求证平面，进而即可求证平面. 【详解】对于A，当时，， 又，所以即，又， 所以三点共线，故点在上，故A错误； 对于B，当时，， 又，所以即，又， 所以三点共线，故点在棱上， 由三棱柱性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，当时，取的中点的中点， 所以且，，即， 所以即，又， 所以三点共线，故在线段上，故C正确； 对于D，当时，点为的中点，连接， 由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，所以，又， 所以，所以， 所以， 设与相交于点O，则，即， 又，平面， 所以平面，因为平面， 所以，由正方形性质可知， 又，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对于求证平面，可先由和得平面，从而得，接着求证得平面，进而，再结合即可得证平面. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解. 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，所以直线的方程为； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为时， 设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 则直线的方程为， 又因为直线过点，所以， 解得：， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或， 故答案为：或． 13. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过已知点的坐标，求出底面的面积，高的数值，然后求出三棱锥的体积． 【详解】由题意得，所以 所以的面积为， 点都在平面上，点到平面的距离3， 所以三棱锥的体积为． 故答案为： 14. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建系，设，，根据可得，进而利用两点间距离公式结合二次函数分析求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为点，分别为棱，的中点，所以，， 设，，其中，， 则，. 因为，则，解得， 又因为，，则， 可得， 所以，此时，即线段的长度的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:根据题意以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： AI    易知， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则可得，即； 又，即， 又平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面的法向量，易得，即可得出证明； （2）求出，利用（1）中的法向量，即可求得直线与平面所成角的正弦值为. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 易知，则， 由（1）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知的三个顶点是，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程， （2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率. 【小问1详解】 设边上的高所在直线的斜率为，直线的斜率， 所以，所以， 故所求直线方程为，即. 【小问2详解】 由题意得，， 所以，则为等腰三角形， 的中点为，故， 由等腰三角形的性质知，为的平分线， 故所求直线方程为，即. 17. 平行六面体， （1）若，，，，，，求长； （2）若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出； (2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解. 【小问1详解】 ，，， ， ∴ ， ； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵＝8，∴， 设与所成的角为，则. 18. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）如图，连接交于点， 因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 又因为平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，所以， 又平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，借助全等三角形的判定定理可得，从而可得，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，设，再借助体积公式计算出的值，从而可计算出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则，即点， 则三棱锥的体积，解得， 所以，则， 设平面的法向量， 由，令，则， 即可得平面的一个法向量， 由轴平面，故为平面的一个法向量， 所以， 由图可知二面角是锐二面角， 故二面角的余弦值是． 19. 如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥． （1）求证：四点共面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，只需证出共面即可得证； （2）利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：因为平面平面， 所以． 因为四边形是正方形，所以，所以两两垂直， 则以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系： 根据题意，得． 所以． 因为， 所以共面， 又有公共点， 所以四点共面． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ，则， 设为平面的法向量， 则，即，令， 得平面的一个法向量为． 假设线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为， 令， 则， 设为平面的法向量，则， 即， 令，得平面的一个法向量为． 设平面与平面所成角为， 则． 化简整理，得，因为，所以， 所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $