专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 利用乘法运算律进行巧算 题型五 倒数、绝对值和相反数的综合运算 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除的混合运算 题型九 与有理数乘除有关的新定义问题 题型十 有理数乘除法中的多结论问题 题型十一 有理数乘除法中的程序计算 题型十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点3：有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C． D． 1．已知两个有理数a、b，如果，且，那么（     ） A． ， B． ， C．a、b异号，且负数的绝对值较小 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 2．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 3．列式计算： (1)加上与的积，和是多少？ (2)乘的积的相反数比加9的和大多少？ 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的3个数的积最大等于（    ） A．280 B．270 C．252 D．216 1．4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 2．把一个长分米、宽分米、高分米的长方体木块切成立方厘米的小方块，排成一行长 米． 3．（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 【经典例题三 有理数乘法的实际应用】 【例3】某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 1．果园里有桃树240棵，苹果树的棵数是桃树的，梨树的棵数是苹果树的，梨树有（    ）棵． A．144 B．180 C．60 D．96 2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，求 ． 3．某出租车驾驶员从公司出发，在东西向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：km） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加2.5元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【经典例题四 利用乘法运算律进行巧算】 【例4】为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 1．计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 2．计算： ． 3．巧算． (1) (2) 【经典例题五 倒数、绝对值和相反数的综合运算】 【例5】已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3，求的值 A．0 B． C．0或 D．0或 1．下列说法正确的是（    ） A．若两个数互为相反数，则它们的商为 B．若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数 C．一个数的绝对值一定不小于这个数 D．一个正数一定大于它的倒数 2．化简下列各分数： ， ， ， ． 3．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例6】我国神舟飞船的降落伞面积约为平方米，约相当于苏科版数学教材封面面积的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 1．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 2．如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的 ． 3．阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例7】将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干正方形，则正方形最少是（    ）个． A．78 B．7 C．5 D．6 1．甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 2．已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 3．李叔叔驾车以75千米/小时的速度在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，将受到扣几分的处罚？ 《道路交通安全法实施条例》规定： 超速以上扣12分； 超速以上未达扣6分； 超速未达扣3分． 【经典例题八 有理数乘除的混合运算】 【例8】计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 1．甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米． A．900 B．720 C．540 D．1080 2．如果，那么 ． 3．计算： (1) (2)； (3) (4)． 【经典例题九 与有理数乘除有关的新定义问题】 【例9】若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 1．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 3．对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【经典例题十 有理数乘除法中的多结论问题】 【例10】若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【经典例题十一 有理数乘除法中的程序计算】 【例11】如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2023次输出的结果为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 1．如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ． 3．哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【经典例题十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数】 【例12】下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 1．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 2．已知，，则的值是 ． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．若定义新运算：，请利用此定义计算：___________． A． B． C． D． 3．下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 4．设a、b、c为不为0的有理数，则，化简的结果有（   ）种不同的取值． A．3 B．4 C．5 D．6 5．甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（    ） 天数 第3天 第5天 工作进度 A．6天 B．8天 C．9天 D．10天 6．写出一个数，使这个数的绝对值等于它的倒数： ． 7．计算的结果是 ． 8． ． 9．已知，，且，则的值为 ． 10．如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的小长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知三块阴影部分的总面积是，则小长方形卡片的周长是 cm． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．计算： 13．已知，互为相反数，且，c，d互为倒数，x的绝对值为，求的值． 14．定义一种新运算“”，其规则为．例如：． (1)求的值． (2)有理数的加法和乘法运算满足交换律，即．“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由，若不满足，请举例说明． 15．某市出租车收费标准如下表： 种类 里程（千米） 收费（元） 起步价 3千米以内（包括3千米） 10.00 单程 3千米以上，每增加1千米 3.00 往返 3千米以上，每增加1千米 2.20 (1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？ (2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 利用乘法运算律进行巧算 题型五 倒数、绝对值和相反数的综合运算 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除的混合运算 题型九 与有理数乘除有关的新定义问题 题型十 有理数乘除法中的多结论问题 题型十一 有理数乘除法中的程序计算 题型十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点3：有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数比较大小，根据减去一个数等于加上这个数的相反数，由于，故，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴最大的一个数是； 故选A． 1．已知两个有理数a、b，如果，且，那么（     ） A． ， B． ， C．a、b异号，且负数的绝对值较小 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟练掌握异号相乘得负，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号作符号，并把绝对值相减是解题的关键． 【详解】∵， ∴a、b异号， ∵， ∴负数的绝对值较大， 故选D． 2．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【答案】 72 120 0 【分析】本题考查了有理数的乘法，直接根据有理数的乘法法则解题即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：72； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：120； （5）， 故答案为：0． 3．列式计算： (1)加上与的积，和是多少？ (2)乘的积的相反数比加9的和大多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数．根据题意正确的列式是解题的关键． （1）依题意得，，计算求解即可； （2）依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，； （2）解：依题意得，． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的3个数的积最大等于（    ） A．280 B．270 C．252 D．216 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，先求出取出的这三个数的和为20，再由，得到这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数，据此讨论分别取到1到10这10个数时的最大乘积即可得到答案． 【详解】解：， 所以取出的这三个数的和为20， 因为， 所以这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数， 当取的数有10时，由于， 此时三个数的积最大为， 同理取的数有9时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有8时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有7时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有6时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有5时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有4时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有3时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有2时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有1时，此时三个数的积最大为， 综上所述，这三个数的积的最大值为280， 故选A． 1．4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 【答案】D 【分析】利用几个非零有理数相乘，积的符号是负数的个数决定，当负数的个数为奇数个时，积为负，当负数的个数为偶数个数时，积为正，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ∵4个有理数相乘，积的符号是负号， ∴这4个有理数中，负数的个数为1个或3个， ∴正数有3个或1个， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的乘法的应用，熟练掌握有理数乘法中负数的个数决定积的符号是解题的关键． 2．把一个长分米、宽分米、高分米的长方体木块切成立方厘米的小方块，排成一行长 米． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的体积公式；1立方厘米的小方块的棱长是厘米，所以长分米处可以切割出个小正方体，宽分米处可以切割出个小正方体，高分米处，可以切割出个小正方体，由此借助长方体的体积公式即可求出切成的个数，然后用切成的个数乘，然后换算为米即可． 【详解】解：立方厘米的小方块的棱长是厘米，所以可以切出的小正方体的个数为： 分米厘米，分米厘米，分米厘米， 个 厘米 厘米米 答：排成一行长米． 故答案为：． 3．（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 【答案】（）负数；（）正数，负数；（）． 【分析】（）先判断负因数个数，然后根据法则即可求解； （）根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； （）先算括号内的，再根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； 本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正；根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 【详解】（）中有个负因数， ∴结果是负数； （）根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 故答案为：正数，负数； （）原式 ． 【经典例题三 有理数乘法的实际应用】 【例3】某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【详解】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 1．果园里有桃树240棵，苹果树的棵数是桃树的，梨树的棵数是苹果树的，梨树有（    ）棵． A．144 B．180 C．60 D．96 【答案】A 【分析】根据题意，得到等量关系苹果树的棵数=桃树 ，梨树的棵数=苹果树 ，分别代入即可求解． 【详解】 （棵） 答：梨树有144棵． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，根据题意得出等量关系，列出算式并进行计算即可． 2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，求 ． 【答案】2009或/或2009 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值以及有理数的混合运算，先根据“a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1”可得、或，然后再分和两种情况，分别代入计算即可；掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1， ∴，或， 当m＝1时，原式； 当时，原式． 故答案为：2009或． 3．某出租车驾驶员从公司出发，在东西向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：km） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加2.5元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东方，距离公司6千米 (2)共耗油6升 (3)共收到车费65元 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，正负数的意义，解题的关键是熟练运用正负数的意义，掌握有理数加法及乘法运算法则是解题关键． （1）根据有理数加法运算法则结合正负数的意义即可求出答案； （2）先求出所行驶路程总和，然后再求耗油量； （3）根据题意分别求每批客人的运费，从而求解． 【详解】（1）解：（千米）， 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东方，距离公司6千米； （2）解： （千米）， （升）， 答：在这过程中共耗油6升； （3）解：第1批客人运费为（元）， 第2批客人运费为10元； 第3批客人运费为（元）， 第4批客人运费为10元， 第5批客人运费为（元）， （元）， 答：在这过程中该驾驶员共收到车费65元． 【经典例题四 利用乘法运算律进行巧算】 【例4】为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数乘法运算律，根据题意可以看出括号内之和为分数，与之积为只有乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 【详解】解：， ， ， 故选：． 1．计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律． 【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律， 故选D． 【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分数四则运算的简算，把应用乘法分配律展开，再把、、展开成整数和分数的和，然后整数和整数一起简算，分数和分数一起简算，再结合减法的性质解答，灵活应用乘法分配律、减法性质是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．巧算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及乘法运算律： （1）采用乘法分配律计算，原式可变形为； （2）采用乘法分配律计算，原式可变形为． 【详解】（1） （2） 【经典例题五 倒数、绝对值和相反数的综合运算】 【例5】已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3，求的值 A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】D 【分析】根据相反数，倒数，绝对值的定义，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3， ∴，则， 当时，， 当时，， 综上：的值为0或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 1．下列说法正确的是（    ） A．若两个数互为相反数，则它们的商为 B．若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数 C．一个数的绝对值一定不小于这个数 D．一个正数一定大于它的倒数 【答案】C 【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义求解即可； 【详解】解：A、如果两个不为零的数互为相反数，则它们的商为，故A错误； B、若两个数为相反数，则这两个数可能是一个正数，一个负数，也可能是0，故B错误； C、一个数的绝对值一定不小于这个数，故C正确； D、小于它的倒数，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数、绝对值和倒数，倒数中分子分母交换位置是求一数的倒数的关键． 2．化简下列各分数： ， ， ， ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，，，． 【点睛】此题考查了有理数除法运算，解题的关键是掌握有理数除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 3．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查相反数，倒数，绝对值，及坐标轴上点的计算问题，根据互为相反的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1及绝对值的性质，y轴负半轴上点是负数代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∵是数轴负半轴上到原点的距离为1的数， ∴， ∴原式 ． 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例6】我国神舟飞船的降落伞面积约为平方米，约相当于苏科版数学教材封面面积的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的除法，先估算苏科版数学教材封面面积约为480平方厘米，再换算单位，最后用除法计算即可，解题的关键是估算苏科版数学教材封面面积． 【详解】解：苏科版数学教材封面面积约为平方厘米，我国神舟飞船的降落伞面积约为平方米平方厘米， ∴， 故选：C． 1．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 【答案】A 【分析】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．根据“和倍数”的定义依次判断即可 【详解】解∶∵ ， ∴247是13的“和倍数”，故小嘉的说法正确； ∵ ， ∴441是9的“和倍数”，故小淇的说法正确； ∵ ， ∴214不是“和倍数”， ∵ ， ∴357不是“和倍数”，故小华的说法正确； 故选：A． 2．如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法的应用，根据两个图中瓶子空余部分的体积相等，可得答案． 【详解】解：由图可得，第一个图中水的高度为，第二图中空余部分的高度为， 两个图中瓶子空余部分的体积相等， 水的体积占瓶子容积的， 故答案为：． 3．阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】（1）根据有理数的的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）原式的倒数为： ， 所以原式 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例7】将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干正方形，则正方形最少是（    ）个． A．78 B．7 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，得；，解答即可． 本题考查了有理数的除法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得；， 故最少有； 故选B． 1．甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费． 【详解】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为， 三人一共支付车费（元）， 故选：C． 2．已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 【答案】 【分析】根据的意义得出，，，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘除运算，正确理解的意义是解题的关键． 3．李叔叔驾车以75千米/小时的速度在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，将受到扣几分的处罚？ 《道路交通安全法实施条例》规定： 超速以上扣12分； 超速以上未达扣6分； 超速未达扣3分． 【答案】如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚 【分析】依据题意，先求出李叔叔超速百分之几，即是求李叔叔的开的速度比限速多出百分之几，再根据交通条例，对号入座扣分即可． 【详解】解： ， ∵， ∴根据交通条例，如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚， 答：如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚． 【点睛】本题考查了百分数的应用，认真读题理解题意是解题的关键． 【经典例题八 有理数乘除的混合运算】 【例8】计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数乘除混合运算法则计算即可解答． 【详解】解： ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合运算，有理数乘除混合运算的运算法则是先化除为乘，然后再计算． 1．甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米． A．900 B．720 C．540 D．1080 【答案】A 【分析】首先根据题意可得两人相遇时，乙比甲多走了360 米，然后根据路程÷速度=时间，用两人相遇时走的路程之差除以速度之差，求出两人相遇用的时间是多少，最后用它乘以两人的速度之和，求出两地之间的距离的2倍是多少，再用它除以2，求出A、B两地相距多少米即可． 【详解】解： ， ， （米）， 答：A、B两地相距900米， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系： 速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人相遇用的时间是多少． 2．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求绝对值和有理数的运算，先求出字母的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， 故答案为：． 3．计算： (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； 本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题九 与有理数乘除有关的新定义问题】 【例9】若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义运算先计算，进而计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义列出算式是解题的关键． 1．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 2．对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 【答案】 【分析】利用定义的新运算转化为有理数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义下的运算，认真读懂题意是关键． 3．对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 【经典例题十 有理数乘除法中的多结论问题】 【例10】若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及比较有理数的大小，根据数轴可以确定a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而判断题目中各式子是否正确． 【详解】解：由图可知：，，， ，则①正确； ，则②错误； ，则③正确； ，则④正确； ，则⑤错误； ，则⑥正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑥，共个， 故选：C． 1．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，相反数，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握相关的定义和运算法则， 根据绝对值，相反数，有理数的运算进行解答即可 【详解】解：①若数a的绝对值等于a，则a是正数或0，故此选项错误； ②若，a、b、c不互为相反数，因为相反数指的是两个数，故此选项错误； ③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数，故此选项正确； ④若两个数的商为，则这两个数互为相反数，故此选项正确；； ⑤除以一个数等于乘这个数（0除外）的倒数，故此选项错误； ⑥当几个不为0的数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，故此选项错误； 则正确的只有2个， 故选：B 2．下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法法则逐个判定即可． 【详解】解：①若，则可能是负数，也可能是零，故①错误； ②小于1的正数的倒数，这个正数小于它的倒数，故②错误； ③除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数，故③错误； ④若，则，说法正确； ⑤若，则且或且，即⑤错误． 故选A． 3．已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减，除法和有理数的大小比较．根据各点在数轴上的位置，判断①，根据加法、减法和倒数确定②③④． 【详解】解：由数轴知，， 则，故①正确； ，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，即；故③正确， ∴，故④不正确 故选：C． 【经典例题十一 有理数乘除法中的程序计算】 【例11】如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2023次输出的结果为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算． 【详解】由设计的程序，可知： 依次输出的结果是50,25,32,16,8,4,2,1,8,4,2,1,…，发现从8开始循环． 则，故第2023次输出的结果是2. 故答案为：B. 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，掌握循环的规律，根据循环的规律进行推广是关键． 1．如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可以写出前几次输出的结果，从而可以发现输出结果的变化规律，进而得到第2019次输出的结果． 【详解】解：根据题意得：可发现第1次输出的结果是24； 第2次输出的结果是24×=12； 第3次输出的结果是12×=6； 第4次输出的结果为6×=3； 第5次输出的结果为3+5=8； 第6次输出的结果为8=4； 第7次输出的结果为4=2； 第8次输出的结果为2=1； 第9次输出的结果为1+5=6； 归纳总结得到输出的结果从第3次开始以6，3，8，4，2，1循环， ∵（2017-2）6=335.....5， 则第2017次输出的结果为2. 故选：D. 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中输出结果的变化规律． 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ． 【答案】-6 【分析】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为 ×2=1， 第2次运算输出的结果为1−5=−4， 第3次运算输出的结果为 ×(−4)=－2， 第4次运算输出的结果为 ×(−2)=－1， 第5次运算输出的结果为−1−5=－6， 第6次运算输出的结果为×(−6)=－3， 第7次运算输出的结果为−3−5=－8， 第8次运算输出的结果为 ×(−8)=－4， 归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以−4，−2，−1，−6，−3，−8循环往复的， 因为2021−1=336×6+4， 所以第2021次运算输出的结果与第5次输出的结果相同，即为−6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【答案】(1) (2)输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示无法运行 【分析】（1）根据新定义，进行计算即可求解； （2）根据除数不能为0，即可求解． 【详解】（1）解： . （2）输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示“该操作无法运行” 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【经典例题十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数】 【例12】下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，直线相交交点个数的探究，化简绝对值，新定义运算的含义，由绝对值的非负性的含义可判断①，由直线相交交点个数的规律探究可判断②，由绝对值的含义，结合有理数的除法运算的符号确定可判断③，先根据探究得到，再根据新定义运算的含义可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴对于任意有理数，代数式有最大值1；故①符合题意； ∵2条直线相交，最多1个交点， 3条直线两两相交，最多3个交点，而， 4条直线两两相交，最多6个交点，而， ∴10条直线两两相交，最多有个交点，故②不符合题意； 由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时，， 当时，，故③符合题意； ∵，，， ∴异号，且，， ∴， ∴，故④符合题意； 故选D 1．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 2．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式， ∵和， ∴在中必为两正一负或两负一正， ∴当为两正一负时，原式， 当为两负一正时，原式， 故答案为：． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可得出答案． 【详解】解：的倒数是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键． 2．若定义新运算：，请利用此定义计算：___________． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算，看懂新定义的规则是解答本题的关键． 先根据新定义算出，所以就变成了，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 3．下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 4．设a、b、c为不为0的有理数，则，化简的结果有（   ）种不同的取值． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由绝对值的性质可知，，，分情况讨论求出结果即可． 【详解】解：∵a，b，c为不为0的有理数， ∴它们的绝对值可能是自己本身，也可能是自己的相反数， ∴，，， ∴， ， ， ， 一共有4种结果． 故选：B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，有理数的除法，有理数的加减，解题的关键是掌握绝对值的性质． 5．甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（    ） 天数 第3天 第5天 工作进度 A．6天 B．8天 C．9天 D．10天 【答案】C 【分析】此题是典型的工程问题，需要特别注意的是把问题分段分析，分清每段的情况即可．此题是工程问题，把此工作分段进行分析，甲自己做了3天做了，则可知道甲自己做需要天，从而求出乙的工作效率，进而求出结果即可． 【详解】解：甲自己做需天， ∴乙的工作效率为： ∴（天）， 故选：C． 6．写出一个数，使这个数的绝对值等于它的倒数： ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数与绝对值，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，乘积为1的两个数互为倒数；根据绝对值的性质和倒数的定义即可解答． 【详解】解：∵一个数的绝对值等于它的倒数， ∴这个数是， 故答案为：． 7．计算的结果是 ． 【答案】4 【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8． ． 【答案】/ 【分析】本题考查了运算与技巧，先将公因数提出来，然后将分母进行裂项即可求解，根据式子的特点进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，理解同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．根据有理数的乘法法则，以及，可知，同号，进而求得，的值，即可求得的值． 【详解】解：，， ，， ， 时，或时，， 时，， 此时， 时，， 此时， 的值为或． 10．如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的小长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知三块阴影部分的总面积是，则小长方形卡片的周长是 cm． 【答案】12 【分析】根据图形，得到3个小长形的宽个小长形的长个小长方形的长，小正方形的边长小长形的长小长方形的宽，得到小正方形的边长的小长方形的宽的小长方形的长，结合阴影部分的面积求出小长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：由图可知：3个小长形的宽个小长形的长个小长方形的长， 小正方形的边长小长形的长小长方形的宽， 所以小正方形的边长的小长方形的宽的小长方形的长， 因为三块阴影部分的总面积是，． 所以单个小正方形面积为． 所以小正方形的边长是cm． ， 所以小长方形长为，宽为， 所以小长方形周长为． 故答案为：12． 【点睛】本题考查有理数的运算．解题的关键是正确的识图，得到小长方形的长和宽与小正方形的边长的关系． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； 本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则进行计算即可求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 13．已知，互为相反数，且，c，d互为倒数，x的绝对值为，求的值． 【答案】1或， 【分析】根据，互为相反数得到，根据c，d互为倒数得到，根据x的绝对值为得到，分类讨论代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵，互为相反数， ∴，， ∵c，d互为倒数， ∴， ∵x的绝对值为， ∴， 当时， 原式， 当时， 原式； 【点睛】本题考查倒数，相反数及绝对值，解题关键是根据题意得到相应字母之间的关系． 14．定义一种新运算“”，其规则为．例如：． (1)求的值． (2)有理数的加法和乘法运算满足交换律，即．“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由，若不满足，请举例说明． 【答案】(1) (2)不满足．举例见解析 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）根据新运算的法则，进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）不满足，举例如下： ，， ∴； 故“”运算不满足交换律． 15．某市出租车收费标准如下表： 种类 里程（千米） 收费（元） 起步价 3千米以内（包括3千米） 10.00 单程 3千米以上，每增加1千米 3.00 往返 3千米以上，每增加1千米 2.20 (1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？ (2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？ 【答案】(1)13.6千米 (2)租往返的车比较划算，63.24元 【分析】（1）根据出租车的收费标准，列式计算即可； （2）根据收费标准可知，3千米以上往返的单价要比单程的单价便宜，选择往返最划算，列式计算即可． 【详解】（1）解： （千米） 答：小华家到动物园有13.6千米． （2）3千米以上往返的单价要比单程的单价便宜，所以应该租往返的车比较划算． （千米） （元） 答：租往返的车比较划算，她至少要付出租车费63.24元． 【点睛】本题考查有理数运算的实际应用．解题的关键是理解并掌握出租车的收费标准，正确的列出算式． 学科网（北京）股份有限公司 $$