专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数减法的实际应用 题型六 有理数加减的混合运算 题型七 有理数加减中的简便运算 题型八 有理数加减法中的规律问题 题型九 有理数加减法与数轴的综合 题型十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合 题型十一 利用有理数加减法解决幻方问题 题型十二 有理数加减法中的新定义问题 知识点1：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点2：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点3：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点4：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【经典例题一 有理数加法运算】 【例1】一条裤子，进价60元，以80元的价钱卖出，店家收进100元，找出20元．过后发现收的100元是假币．这次交易店家实际亏了（    ）元． A．60 B．80 C．100 D．180 1．计算的结果是（    ） A．9 B． C．5 D． 2．A，B是自然数，并且，那么 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 1．m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 2．将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 3．计算 (1)； (2)． 【经典例题三 有理数加法在生活中的应用】 【例3】小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 1．如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有6排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加2个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有8排，则该礼堂的座位总数是（   ）    A．390个 B．402个 C．540个 D．780个 2．希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为 ．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．） 3．下表是该工厂原料仓库一天的原料进出记录情况（运进用正数表示，运出用负数表示）： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 进出数量（单位：吨） (1)周一到周五仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元； 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案较合适？请说明理由． 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】计算的结果是（   ） A． B．5 C． D．1 1．设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 2．比0小3的数是 ，比小3的数是 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 有理数减法的实际应用】 【例5】下图是根据某地4月6日至12日的天气情况绘制的气温与日期的表格，根据表格中的信息，下列说法不正确的是（    ） 日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 4月12日 气温℃ A．4月8日的最低气温是，最高气温是 B．日期是自变量，气温是因变量 C．气温随着日期的增加而逐渐升高 D．4月12日温差最大 1．温度从下降后为（    ） A． B． C． D． 2．某人乘电梯从地下5层升至地上8层，电梯一共升了 层． 3．在今年的“十一”黄金周的7天长假中，某风景区每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 （单位：万人） 已知9月 日的游客人数为万人，回答下列问题： (1)月4日的游客人数是多少万人？ (2)7天中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ 【经典例题六 有理数加减的混合运算】 【例6】如图所示的九宫格内，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为 （    ） A． B．0 C．1 D．3 1．将算式中的若干个“”修改成为“”后，会有若干种计算的结果，那么要使该算式的计算结果为，则不同的修改方式一共有（　　）种 A．8 B．9 C．10 D．11 2．小明设计了一个“幻圆”游戏，将，，，，11，13，15，17分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等，则图中的值为 ．    3．计算： (1)； (2) (3)； (4) 【经典例题七 有理数加减中的简便运算】 【例7】计算的值为（   ） A． B． C． D． 1．小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 2．计算： ． 3．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【经典例题八 有理数加减法中的规律问题】 【例8】一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 1．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（    ） A．- B． C．2020 D．2021 2．在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算： ． 3．已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 【经典例题九 有理数加减法与数轴的综合】 【例9】已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 1．点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点移动5个单位长度到点，此时点表示的数是（    ） A．8 B．2 C． D．或2 2．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点在原点位置，点表示的数为，已知下表中的含义均为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如为． 10 2 若点与点的距离为，则的值为 ．    3．【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【经典例题十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合】 【例10】下列说法中： ①两个有理数的差一定小于被减数；②绝对值等于它的相反数的数是负数； ③若且，则，同为负数；④，则； ⑤一个有理数不是正数就是负数；⑥最大的负整数是.正确的有（    ） A．①③⑤⑥ B．①③⑥ C．③⑥ D．②③ 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ． 3．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【经典例题十一 利用有理数加减法解决幻方问题】 【例11】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，1，2，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（    ）    A．1或 B．4或 C．或4 D．或1 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 3．阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．    【发现】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______． 【尝试】（2）将，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除，2，5外的6个数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方（即每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）． 【应用】（3）把绝对值小于5的整数分别填入图4的各个方格中（每个数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等．    【经典例题十二 有理数加减法中的新定义问题】 【例12】定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 3．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 1．在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 2．设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 3．如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 4．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 5．去年月小明到银行开户，存入元，下表为小明从月到月的存款情况：（“”表示存入，“”表示支出） 月份 与上一月比较（元） 截至去年月，小明账号上共有（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．将改写成省略加号的和的形式应为 ． 7．如下图，读出数轴上的点，并计算，其结果为 .    8．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 9．一个水利勘察队，第一天向上游走千米，第二天向上游走千米，第三天向下游走千米，第四天向下游走千米，这时勘察队在出发点的上游 千米处．（规定向上游走为正） 10．错用运算律，可能会导致计算的结果出错 例如有同学计算时，得到的结果为，这位同学的计算过程如下： 解：    ①     ② ③ ④ 以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 . 11．计算： (1)； (2)； (3) (4) 12．设表示取不大于a的最大整数，例如：． (1)求的值； (2)令，求． 13．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点，其中，设点所对应数的和是．    (1)若以为原点，写出点所对应的数，并求出的值； (2)若原点在图中数轴上点的右边，且，求的值． 14．十一黄金周期间，某市在这七天中外出旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，单位：万人） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6 10月7日 人数变化 (1)若9月30日外出旅游人数记为m，请用含m的式子表示10月3日外出旅游的人数； (2)请判断这七天中外出旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)如果最多一天的出游人数为4.5万人，求m的值． 15．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数减法的实际应用 题型六 有理数加减的混合运算 题型七 有理数加减中的简便运算 题型八 有理数加减法中的规律问题 题型九 有理数加减法与数轴的综合 题型十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合 题型十一 利用有理数加减法解决幻方问题 题型十二 有理数加减法中的新定义问题 知识点1：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点2：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点3：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点4：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【经典例题一 有理数加法运算】 【例1】一条裤子，进价60元，以80元的价钱卖出，店家收进100元，找出20元．过后发现收的100元是假币．这次交易店家实际亏了（    ）元． A．60 B．80 C．100 D．180 【答案】B 【分析】本题主要考查打击假币的知识，用进价的钱数加上找出的钱数即为实际亏损的钱数． 【详解】解：元， 故选B． 1．计算的结果是（    ） A．9 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，利用有理数的加法法则计算即可，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2．A，B是自然数，并且，那么 【答案】9 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题关键．先通分计算得出，即得出等量关系，再根据A，B是自然数，即得出，，即得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵A，B是自然数， ∴，， ∴． 故答案为：9 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)20 (2)50 (3)3 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选D． 1．m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，需要分情况讨论．采用分类讨论时，要把所有情况分析清楚．故考虑三种情况，化简原式后判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即：可能是正数，也可能是0，但不可能是负数． A．不可以是负数，此选项错误； B．不可能是负数，此选项正确； C．可能是正数，也可能是0，此选项错误； D．可能是正数，但绝不可能是负数，此选项错误； 故选B． 2．将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 【答案】 【分析】根据去括号的法则：同号得正，异号得负，计算即可得到答案． 【详解】解：， 将式子写成省略括号和加号的形式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减—去括号，熟练掌握去括号的法则：同号得正，异号得负，是解此题的关键． 3．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【经典例题三 有理数加法在生活中的应用】 【例3】小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．设这四个数字分别为：，，，且，故，，然后分类讨论，得到这4个数有可能的结果，从而判断出答案． 【详解】解：设这四个数字分别为：，，，且， 故，； 当时，得， 且 此时所以 当时，得，那么，当时，，此时这4个数分别是2，4，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，3，6，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此不符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 综上所述，四个数只能是2，4，4，5或3，3，4，5； 故选为：A． 1．如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有6排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加2个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有8排，则该礼堂的座位总数是（   ）    A．390个 B．402个 C．540个 D．780个 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法的应用，根据题意正确列出加法算式是解题关键．由题意可以得到每排的座位数，求出它们的和即可得到答案． 【详解】解：∵前区共有6排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加2个座位， ∴前区座位总数为：， ∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有8排， ∴后区座位总数为：， ∴该礼堂的座位总数是， 故选：A． 2．希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为 ．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．） 【答案】/分 【分析】本题考查数的运算，计算出每一局的积分和，从而求得10局积分总和． 【详解】解：由题意， 每一局地主赢则两个农民都输，此时三人得分总和为分； 每一局农民赢则两个农民都赢，地主输，此时三人得分总和为分； ∴10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为0分， 故答案为：0． 3．下表是该工厂原料仓库一天的原料进出记录情况（运进用正数表示，运出用负数表示）： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 进出数量（单位：吨） (1)周一到周五仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元； 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案较合适？请说明理由． 【答案】(1)增加了吨 (2)方案二 【分析】本题考查了有理数加法的应用，绝对值的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）将每日原料进出数量相加，即得答案； （2）方案一，分别计算运进原料的总费用与运出原料的总费用，再求和即为总运费，方案二，先计算每日进出数量的绝对值之和，再乘以6，即得总费用，最后比较两种方案的总费用，费用少的即为所求． 【详解】（1）因为（吨），     答：周一到周五仓库的原料比原来增加了吨； （2）方案一： （元）； 方案二： （元）； 所以从节约运费的角度考虑，选用方案二较合适． 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】计算的结果是（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选A． 1．设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，有理数的减法运算，根据的定义求出和，再计算减法即可． 【详解】解：由题意知，， ， 故选B． 2．比0小3的数是 ，比小3的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键．根据题意列出运算式子，再根据有理数的减法法则计算即可得． 【详解】解：比0小3的数是， 比小3的数是， 故答案为：；． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的减法运算，掌握有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，是解题的关键． （1）根据减去一个数，等于加上这个数的相反数计算即可． （2）根据减去一个数，等于加上这个数的相反数计算即可． （3）根据减去一个数，等于加上这个数的相反数计算即可． （4）根据减去一个数，等于加上这个数的相反数计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【经典例题五 有理数减法的实际应用】 【例5】下图是根据某地4月6日至12日的天气情况绘制的气温与日期的表格，根据表格中的信息，下列说法不正确的是（    ） 日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 4月12日 气温℃ A．4月8日的最低气温是，最高气温是 B．日期是自变量，气温是因变量 C．气温随着日期的增加而逐渐升高 D．4月12日温差最大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法的应用，自变量因变量的意义，有理数大小的比较，根据有理数大小的比较，自变量因变量的定理，有理数减法的应用，等知识逐项判断即可． 【详解】解：A、由表格可知4月8日的最低气温是，最高气温是，正确，不符合题意； B、日期是自变量，气温是因变量，正确，符合题意； C、气温随着日期的增加有时升高，有时下降，故题中说法错误，符合题意； D、4月12日最高温度是这几天最高的，最低气温也是最低的，温差，最大，正确，不符合题意； 故选：C． 1．温度从下降后为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：温度从下降后为， 故选：A． 2．某人乘电梯从地下5层升至地上8层，电梯一共升了 层． 【答案】12 【分析】本题考查有理数减法运算的实际应用，地上8层记作，地下5层记作，可以看作从层上升到层，但因为没有0层，所以减去1，由此可解． 【详解】解：（层）， 即电梯一共升了12层， 故答案为：12． 3．在今年的“十一”黄金周的7天长假中，某风景区每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 （单位：万人） 已知9月 日的游客人数为万人，回答下列问题： (1)月4日的游客人数是多少万人？ (2)7天中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ 【答案】(1)万人 (2) 万人 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以计算出月4日的游客人数； （2）根据表格中的数据可以计算出每天的游客人数，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：（万人）， 答： 月4日的游客人数是万人； （2）解：由表格可得， 月1日的游客人数是（万人）， 月2日的游客人数是（万人）， 月3日的游客人数是（万人）， 月4日的游客人数是（万人）， 月5日的游客人数是（万人）， 月6日的游客人数是（万人）， 月7日的游客人数是（万人）， 则7天中游客人数最多的一天比最少的一天多：（万人）， 答：7天中游客人数最多的一天比最少的一天多万人． 【点睛】本题考查正负数的意义，有理数的加减运算，解题的关键是读懂题意根据表格算出各天数量． 【经典例题六 有理数加减的混合运算】 【例6】如图所示的九宫格内，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为 （    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了有理数减法计算，加减混合运算法则，先求出每行三个数的和，利用减法求出、、的值，进而求出式子的值． 【详解】解：三个数之和均为， ，，， ， 故选：A． 1．将算式中的若干个“”修改成为“”后，会有若干种计算的结果，那么要使该算式的计算结果为，则不同的修改方式一共有（　　）种 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键．根据有理数的加减运算可进行求解． 【详解】解：， ∴，，，，，，，， ； ∴不同的修改方式一共有9种； 故选B． 2．小明设计了一个“幻圆”游戏，将，，，，11，13，15，17分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等，则图中的值为 ．    【答案】7或 【分析】本题考查了有理数的加法，设小圈上的数为c，大圈上的数为d，先求出这8个数的和，然后即可求出横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和，从而求出a、c的值，即可得出的值，进而分别分析求解即可． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ， 又横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等， 这个数和为， ， ， ， 当时，， 当时，， 或， 故答案为：7或． 3．计算： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了有理数加减的混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则与运算律是解题关键． （1）先去括号，再计算有理数的加减运算即可得； （2）先去括号，再通分，然后计算有理数的加减运算即可得； （3）利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得； （4）先把分数化成小数，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【经典例题七 有理数加减中的简便运算】 【例7】计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从第二项开始，利用加法的结合律每相邻两项结合相加，结果依次为－1和1循环，而其和为0，且共有1010个0，最后可求得和的值． 【详解】 =1 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的加减运算及加法的结合律，关键是运用加法的结合律，抓住相邻两项的和为1或－1的特点，从而问题得以解决． 1．小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用拆项法解答即可求解，掌握拆项法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 故选：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】化为，即可求解． 【详解】解：原式 ； 故答案：． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算中的简便运算，掌握解法是解题的关键． 3．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加法，把有关的数正确的拆项是解决问题的关键． （1）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可； （2）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题八 有理数加减法中的规律问题】 【例8】一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及图形变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键； 数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】 ； 故选：B． 1．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（    ） A．- B． C．2020 D．2021 【答案】A 【分析】先将所求式子转为加法运算，再根据规律将各项拆解开，然后计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，根据已知规律将各项进行拆分是解题关键． 2．在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的化简，有理数的加减运算，根据绝对值的性质：正数绝对值等于它本身，负数绝对值等于它的相反数，进行计算即可，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 【答案】(1)B地在数轴上表示的数是14或； (2)点P、点Q到A地的距离相等； (3)经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是80米 【分析】本题考查了数轴，有理数加减混合运算的应用． （1）在数轴上表示的点移动30个单位后，所得的点表示为或； （2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可； （3）根据经过100次行进，可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：，． 答：地在数轴上表示的数是14或； （2）解：第七次行进后：， 第八次行进后：， 因为点、与点的距离都是4米， 所以点、点到地的距离相等； （3）解：当为100时，它在数轴上表示的数为： ， （米． 答：经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点之间的距离是80米． 【经典例题九 有理数加减法与数轴的综合】 【例9】已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴上两点间的距离，数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握求数轴上两点之间的距离的方法，易错点就是求点对应的数时不重不漏．由数轴上两点的距离等于两点对应数差的绝对值求出距离为1、3、7、9，符合题意的为答案． 【详解】解：点，之间的距离为5，点对应的数为， 点对应的数为2或， 又点对应的数，点，之间的距离为1， 点对应的数为或， 或9或3或1， 故选：C 1．点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点移动5个单位长度到点，此时点表示的数是（    ） A．8 B．2 C． D．或2 【答案】D 【分析】先求出点表示的数是，再分两种情况：①点向左移动5个单位长度到点；②点向右移动5个单位长度到点，利用数轴的性质列出运算式子，计算有理数的加法与减法即可得． 【详解】解：点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧， ∴点表示的数是， ①当点向左移动5个单位长度到点时， 则此时点表示的数是； ②当点向右移动5个单位长度到点时， 则此时点表示的数是， 综上，此时点表示的数是或2， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加法与减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 2．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点在原点位置，点表示的数为，已知下表中的含义均为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如为． 10 2 若点与点的距离为，则的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意得到点表示的数为表示的数是，再分情况讨论：①当点在点左侧时，②当点在点右侧时进行计算即可． 【详解】解：由题意得点表示的数为表示的数是, （1）当点在点左侧时，点表示的数为，点表示的数为，所以， （2）当点在点右侧时，点表示的数为，点表示的数为，所以． 故答案为：3.5或6.5． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数形结合、分类讨论，是解题的关键． 3．【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【答案】(1)15，9 (2) (3)5、4 (4) (5)或2023 【分析】本题考查的是数轴，相反数，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离； （1）用数轴上两点间的距离计算即可； （2）用数轴上两点间的距离计算即可； （3）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （4）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （5）求出最小的正整数1，求出与1距离2022的点，然后求相反数即可． 【详解】（1）解：（1）； 故答案为：15，9； （2）解：； 故答案为：； （3）解：， 数轴上表示数9和的两点之间的反距离是， 6的相反数是， 数轴上表示和6的两点之问的反距离是； 故答案为：5、4； （4）解：， 数a和两点之间的反距离是， 故答案为：； （5）解：最小的正整数是1， 则与1距离是2024的点表示的数为：或， 2025的相反数是，的相反数是2023， 或2023． 故答案为：或2023； 【经典例题十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合】 【例10】下列说法中： ①两个有理数的差一定小于被减数；②绝对值等于它的相反数的数是负数； ③若且，则，同为负数；④，则； ⑤一个有理数不是正数就是负数；⑥最大的负整数是.正确的有（    ） A．①③⑤⑥ B．①③⑥ C．③⑥ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，绝对值的性质，有理数的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据有理数的分类，绝对值的性质，有理数的运算，逐项判断即可求解． 【详解】解：①两个有理数的差不一定小于被减数，故原说法错误； ②绝对值等于它的相反数的数是负数和，故原说法错误； ③若且，则，同为负数，故原说法正确； ④，则或，故原说法错误； ⑤有理数包括正有理数，和负有理数，故原说法错误； ⑥最大的负整数是，故原说法正确； 故选：C． 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，，从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，， 则所有满足条件的整数的和为， 故选：C． 2．如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ． 【答案】66 【分析】本题考查了新定义和有理数的运算．根据题意求出和，然后相加即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴； 故答案为：66． 3．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2)符合条件的整数为，，，，，0，1，2 (3)有，值为3 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，熟练的利用几何意义解决问题是关键； （1）直接利用绝对值的定义计算即可； （2）由可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7，再解答即可； （3）由可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和，可得距离之和为最小时的范围，从而可得答案； 【详解】（1）解：； （2）解：可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7， 符合条件的整数为，，，，，0，1，2； （3）解：有最小值，最小值为3，理由如下： 可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 【经典例题十一 利用有理数加减法解决幻方问题】 【例11】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，1，2，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（    ）    A．1或 B．4或 C．或4 D．或1 【答案】D 【分析】将各数相加的和除以2，得出横线上，竖线上，外圈，内圈上的数之和，即可求出b，则竖线上的四个数字为：3，，1，，横线上的四个数字为：，0，，2，再求出，即可求出或2，即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 则竖线上的四个数字为：3，，1，， ∴横线上的四个数字为：，0，，2， ∵， ∴， ∴或2， 当时：， 当时：， 故选：D．    【点睛】此题考查了有理数加法和一元一次方程的应用，熟练掌握有理数加法法则，能够根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的音乐，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 2．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是根据题意，列出算式，求出a，b．根据各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等可得：，然后求出a，b，代入，求出△即可． 【详解】解：∵各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， ∴， ∴，， ， ， 故答案为：． 3．阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．    【发现】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______． 【尝试】（2）将，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除，2，5外的6个数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方（即每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）． 【应用】（3）把绝对值小于5的整数分别填入图4的各个方格中（每个数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等．    【答案】（1）15；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）求出第一行三个数的和即可； （2）先求出对角线三个数的和，再根据每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，进行填写； （3）先求出绝对值小于5的整数，再根据题意，填写即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：15． （2）如图所示：（答案不唯一）    （3）绝对值小于5的整数分别为， 如图所示：（答案不唯一）    【点睛】本题考查有理数加法运算．理解幻方的定义，是解题的关键． 【经典例题十二 有理数加减法中的新定义问题】 【例12】定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为，则，再根据可进一步将原式变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选A． 1．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数的新定义问题，解题的关键是得出新定义的运算法则．根据题意可以得“※”的运算法则为：两数进行“※”运算时，同号得负，异号得正，并把绝对值相加，和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可． 【详解】解： 故选：D． 2．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． 3．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 1．在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算． 【详解】解：根据题意列式： ， 故选：A． 2．设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的减法，根据题意表示大于的最小整数，即可得出答案． 【详解】解：∵表示大于的最小整数， ． 故选：B． 3．如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】由图可知，，且，则−2<a+b<0，故可确定a+b的可能值． 【详解】由图可知，，且，则−2<a+b<0，所以a+b的值可能是−1 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的加法法则、利用数轴比较有理数的大小，正确理解题意是关键． 4．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被重复计算了．先求出所有数字之和，得出，且n为整数，则，进而推出当时，n有最大值，即可解答． 【详解】解：， ∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ∴，且n为整数， 整理得：， ∴当最大时，n有最大值， ∵n为整数， ∴当时，n有最大值， 此时， 故选：A． 5．去年月小明到银行开户，存入元，下表为小明从月到月的存款情况：（“”表示存入，“”表示支出） 月份 与上一月比较（元） 截至去年月，小明账号上共有（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据已知可求得从月到 月的存款情况即可． 【详解】月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 故选：． 【点睛】此题考查了有理数加减运算，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 6．将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．如下图，读出数轴上的点，并计算，其结果为 .    【答案】 【分析】观察数轴得出A、B、C所表示的有理数分别为、、，再代入进行计算即可求解． 【详解】解：由数轴可得，A、B、C所表示的有理数分别为、、， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数在数轴上的表示、有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数在数轴上的表示得出A、B、C所表示的有理数是解题的关键． 8．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算和有理数的加减，根据新定义运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．一个水利勘察队，第一天向上游走千米，第二天向上游走千米，第三天向下游走千米，第四天向下游走千米，这时勘察队在出发点的上游 千米处．（规定向上游走为正） 【答案】 【分析】首先根据题意可得算式，再把相反数相加，最后计算即可． 【详解】解∶， ， ， （千米）， 故答案为∶． 【点睛】此题主要考查了有理数的加法，正确理解题意，根据题意列出算式是解题的关键． 10．错用运算律，可能会导致计算的结果出错 例如有同学计算时，得到的结果为，这位同学的计算过程如下： 解：    ①     ② ③ ④ 以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 . 【答案】② 【分析】根据有理数的加减运算和添括号法则可作出判断． 【详解】解： ， 第②步括号内没变符号导致错误，即开始出现错误的那一步对应的序号是②， 故答案为：②． 【点睛】本题考查有理数的加减，添括号法则，解题的关键是掌握添括号法则：所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变正负号，添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可以用去括号检验一下． 11．计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数加减法的混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则与运算律是解题关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可得； （2）利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得； （3）先通分，再计算有理数的加减法即可得； （4）先计算分数化成小数，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 12．设表示取不大于a的最大整数，例如：． (1)求的值； (2)令，求． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查新定义下的有理数的运算， （1）根据题意表示取a的整数部分即可求解； （2）先根据，将化成，再进行有理数的计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点，其中，设点所对应数的和是．    (1)若以为原点，写出点所对应的数，并求出的值； (2)若原点在图中数轴上点的右边，且，求的值． 【答案】(1)点C表示1，点A表示， (2) 【分析】（1）以B为原点，先分别求出A，B，C三点对应的数即可解决问题； （2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且，分别求出A，B，C三对应的数即可． 【详解】（1）解：∵ B是原点，， ∴点C表示1，点A表示， ∴； （2）解：∵原点O在图中数轴上点C的右边，且， ∴点C表示，点B表示，点A表示， ∴． 【点睛】本题考查数轴，有理数的加法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14．十一黄金周期间，某市在这七天中外出旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，单位：万人） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6 10月7日 人数变化 (1)若9月30日外出旅游人数记为m，请用含m的式子表示10月3日外出旅游的人数； (2)请判断这七天中外出旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)如果最多一天的出游人数为4.5万人，求m的值． 【答案】(1)10月3日外出旅游的人数是万人； (2)最多的是10月4日，最少的是10月7日，它们相差1.7万人； (3)m的值为1.6． 【分析】本题考有理数加减的实际应用； （1）根据题意可以用用含的代数式表示10月3日外出旅游的人数； （2）根据表格和题意可以用含的代数式分别表示出这七天每天外出旅游的人数，从而可以得到这七天内外出旅游人数最多的是哪天，最少的是哪天，它们相差多少万人； （3）根据第（2）中的数据可以知道哪天人数最多和最多一天有出游人数4.5万人，可以计算出9月30日出去旅游的人数有多少． 【详解】（1）由题意可得， 10月3日外出旅游的人数是：万人， 即10月3日外出旅游的人数是万人； （2）由题意可得， 10月1日外出旅游的人数：； 10月2日外出旅游的人数：； 10月3日外出旅游的人数：； 10月4日外出旅游的人数：； 10月5日外出旅游的人数：； 10月6日外出旅游的人数：； 10月7日外出旅游的人数：； 万人， 即这七天内外出旅游人数最多的是10月4日，最少的是10月7日，它们相差1.7万人； （3）由（2）可知10月4日外出旅游人数最多为万人， ， 解得． 即9月30日出去旅游的人数有1.6万人． 答：如果最多一天的出游人数为4.5万人，m的值为1.6． 15．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$