专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．4 2．若与互为相反数，则的值为 ． 3．用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，，．如图所示，设点，该数轴的原点为． (1)若点，所表示的数互为相反数，求此时的值； (2)若数轴上点表示的数为，求的值． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】下列各对数中，互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．－|－0.01|与 D．与0.3 1．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．-2与 B．∣-2∣与 C．-2与 D．-2与 2．给出下列各对数：与，与，与，与，与中，互为相反数的有 3．用尺子画出数轴并回答： （1）把下列各数表示在数轴上：； （2）上述数中互为相反数的一组数是 ，它们之间有 个单位长度，它们关于 对称． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】下列说法中，正确的是（    ） A．的相反数是-3.14 B．任何一个有理数都有相反数 C．符号不同的两个数一定互为相反数 D．-（-2）和+（+2）互为相反数 1．的相反数（　　　） A． B． C． D． 2．化简： ， ， ． 3．化简下列各式的符号，并回答问题： （1）；（2）；（3）（4）（5）（6） 问：①当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 1．已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到大排列正确的一组是（　　）    A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a 2．如图，数轴上表示3的点是点 ，表示的点是点 ，它们与原点的距离 （填“相等”或“不相等”），所以3与互为 ．    3．如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 1．如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（    ） A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R 2．已知，则 ； 3．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】的相反数是（　　） A． B． C． D． 1．若m与3互为相反数，则|m﹣3|的值为（    ） A．0 B．6 C． D． 2．绝对值小于6的所有整数的积是 ． 3．已知下列有理数：0，． (1)计算：____________，____________； (2)这些数中，所有负数的和的绝对值是____________； (3)在数轴上描出表示0，这些数的点，并将它们用“<”连接起来． 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】，则化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 1．有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知m是有理数，则的最小值是 ． 3．对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为 例如，，则和关于的“相对关系值”为． 若和关于的“相对关系值”为l，和关于的“相对关系值”为，和关于的“相对关系值”为，…，和关于的“相对关系值”为． (1)的最大值为______； (2)直接写出所有的值．（用含的式子表示） 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】，则的值是（    ） A． B． C． D．1 1．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 2．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 3．阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 2．若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 3．阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 2．点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 3．（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例11】当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 1．大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．比较大小： （填“”、“”或“”）． 3．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例12】今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 1．如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 1．数的相反数是，则数为（　　） A． B． C． D． 2．下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．﹣|﹣7|和+（﹣7） B．+（﹣10）和﹣（+10） C．﹣（﹣43）和﹣（+43） D．+（﹣54）和﹣（+54） 3．如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（    ） A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定 4．2013年10月某日我国部分城市的最低气温如下表（单位℃），由此可见其中最冷的城市是 　　（   ） 城市 温州 上海 北京 哈尔滨 广州 最低气温 20 10 －8 －15 25 A．广州 B．哈尔滨 C．北京 D．上海 5．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比如表示在数轴上数对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“F运算”，得．下列说法： ①对1，，3进行“F运算”的结果是8； ②若，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式． 其中正确的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 6．式子的最小值为 ． 7．的相反数是 ，的相反数是 ． 8．如果，那么 ；如果 ，那么 ． 9．绝对值不小于2且小于的负整数的个数有 ，它们是 ． 10．已知，其中是不为零的自然数，把三个数从小到大的顺序排列起来： ＜ ＜ ． 11．求方程的所有解的和． 12．比较下列各组数的大小： (1)与3； (2)与； (3)与； (4)与． 13．已知五个数分别为，，，，5．    在如图所示的数轴上表示各数，并用“”将各数连接起来 14．一个水池安装有五根水管，有的专门放水，有的专门进水，如果用两根水管同时工作，将空池注满所用的时间如下表所示．(单位:小时) 如果用一根水管进水，要尽快把空池注满，那么应选用哪一根水管?请写明推理过程． 15．综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． (1)的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；　 　； (2)的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则　 　； (3)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (4)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (5)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据相反数的定义可得的相反数为4，再依次判断即可得到答案． 【详解】解：∵的相反数是4， A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，不符合题意； D：4，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查相反数的定义，解题的关键是熟知正负号相反的两个数互为相反数． 2．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得， 故答案为：． 3．用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，，．如图所示，设点，该数轴的原点为． (1)若点，所表示的数互为相反数，求此时的值； (2)若数轴上点表示的数为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，相反数的定义； （1）根据相反数的定义及确定点表示的数是，点表示的数是，由，得点所表示的数，即可求出； （2）根据数轴上两点间的距离分别得到点，，表示的数，即可求出的值． 【详解】（1）解：点，所表示的数互为相反数，， ， 点表示的数是，点表示的数是， ， 点所表示的数是， 此时， （2）数轴上点表示的数为，， 点所表示的数是， ， 点所表示的数是， ． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】下列各对数中，互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．－|－0.01|与 D．与0.3 【答案】C 【分析】先化简，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数即可求解． 【详解】解：A．−（＋5）＝−5，＋（−5）＝−5，选项A不符合题意； B．−（＋0.5）＝−0.5，与相等，选项B不符合题意； C．−|−0.01|＝−0.01，−（）＝＝0.01，−0.01与0.01互为相反数，选项C符合题意； D．与0.3不是相反数，选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相反数，掌握相反数的定义即可求解． 1．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．-2与 B．∣-2∣与 C．-2与 D．-2与 【答案】A 【分析】根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：A. =2，故-2与互为相反数，故正确； B. ∣-2∣=2， =2，故∣-2∣与不是互为相反数，故错误； C. -2与不是互为相反数，故错误； D. =-2，故-2与不是互为相反数，故错误. 故选A. 【点睛】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义． 2．给出下列各对数：与，与，与，与，与中，互为相反数的有 【答案】与，与 【分析】根据相反数的定义，逐个化简，再分析. 【详解】=-3与不是互为相反数， =-与=-2不是互为相反数， 与互为相反数， =-3与=-3不是互为相反数， 与互为相反数 故答案为与，与 【点睛】考核知识点：相反数.理解相反数的定义是关键. 3．用尺子画出数轴并回答： （1）把下列各数表示在数轴上：； （2）上述数中互为相反数的一组数是 ，它们之间有 个单位长度，它们关于 对称． 【答案】（1）见解析；（2）与2.5；5；原点 【分析】（1）先画出数轴，注意数轴的三要素，再根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数即可； （2）根据相反数的定义，绝对值相同，符号不同的两个数互为相反数；互为相反数的两个数到原点的距离相等，再利用数轴上两点之间的距离，求出两数之间的距离即可． 【详解】解：（1）如图所示， （2）结合数轴，根据相反数的定义可知，数与数2.5互为相反数；两点之间的距离为5；它们关于原点对称， 故答案为：与2.5；5；原点． 【点睛】本题考查了在数轴上表示数的方法，数轴的特征，相反数的定义等知识，此为基础知识，要熟练掌握． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】下列说法中，正确的是（    ） A．的相反数是-3.14 B．任何一个有理数都有相反数 C．符号不同的两个数一定互为相反数 D．-（-2）和+（+2）互为相反数 【答案】B 【分析】根据相反数的定义、去括号法则逐项判断即可得． 【详解】A、的相反数是，此项错误； B、任何一个有理数都有相反数，此项正确； C、只有符号不同的两个数一定互为相反数，此项错误； D、，，不是相反数，此项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义、去括号法则，熟练掌握相反数的概念是解题关键． 1．的相反数（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义、去括号法则即可得． 【详解】的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数、去括号，熟记相反数的定义是解题关键． 2．化简： ， ， ． 【答案】 【分析】直接利用去括号法则化简求出答案． 【详解】−(+4)=−4,−(−6)=6,−[−(+5)]=5. 故答案为−4，6，5. 【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练的掌握相反数的定义. 3．化简下列各式的符号，并回答问题： （1）；（2）；（3）（4）（5）（6） 问：①当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据相反数的定义分别进行化简即可；然后根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； ①当前面有2012个负号，化简后结果是； ②当前面有2013个负号，化简后结果， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，且，然后进行逐一辨别． 【详解】解：由题意可得，且， ，，，， 选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D 【点睛】此题考查了运用数轴表示实数大小的能力，关键是能正确理解相关知识，并能运用数形结合思想进行求解． 1．已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到大排列正确的一组是（　　）    A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a 【答案】D 【分析】根据相反数的几何意义将-a、-b表示在数轴上，继而可从小到大排列． 【详解】如图所示：    把a、b、﹣a、﹣b从小到大排列为：a＜﹣b＜b＜﹣a． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的大小比较，解答本题的关键是结合数轴求解． 2．如图，数轴上表示3的点是点 ，表示的点是点 ，它们与原点的距离 （填“相等”或“不相等”），所以3与互为 ．    【答案】 A B 相等 相反数 【分析】根据有理数再数轴上的表示方法进行解答即可． 【详解】解：根据数轴可知：表示3的点是点，表示的点是点， 它们与原点的距离相等，所以3与互为相反数， 故答案为：①；②；③相等；④相反数． 【点睛】本题考查了有理数与数轴以及相反数的几何意义，熟练掌握有理数在数轴上的表示方法是解本题的关键． 3．如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相反数的意义，有理数与数轴，根据数轴比较有理数的大小； （1）根据题意确定原点的位置，进而即可求解； （2）先化简，，然后再在数轴上表示各数，即可求解； （3）根据数轴上右边的数大于左边的数，用“”连接起来． 【详解】（1）解：∵直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数， ∴点表示是数是，点表示的数是 故答案为：． （2）解：，， 如图所示， （3）解：根据数轴可得， 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可解答，解题的关键是熟记绝对值的意义． 【详解】∵， ∴， ∴或， 故选：． 1．如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（    ） A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出之间距离小于3，然后根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：， 之间距离小于3， ， 原点不在之间， 原点是M或R． 故选：B． 2．已知，则 ； 【答案】或； 【分析】本题考查绝对值的应用及数轴上两点间距离，根据，分在左边与右边两类讨论即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴数在左边或右边， 当数在左边时， ∵， ∴，解得：， 当数在右边时， ∵， ∴，解得：， 故答案为：或． 3．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)； (2)符合条件的整数为或或或； (3)有最小值，最小值为，理由见解析． 【分析】（）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值即可； （）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为段进行计算，最后确定的值； （）根据绝对值的意义，同（）理即可解答； 本题考查了绝对值的意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 故答案为：； （2）令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，， ∴符合条件的整数为或或或； （3）有最小值，最小值为，理由如下： 令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，的值最小，最小值为． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，根据相反数的定义和绝对值的意义即可求解，解题的关键是正确理解相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数；正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：． 1．若m与3互为相反数，则|m﹣3|的值为（    ） A．0 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到m的值，再代入即可． 【详解】解：根据题意得：m+3＝0， 解得：m＝﹣3， 把m＝﹣3代入|m﹣3|＝6， 故选：B． 【点睛】此题考查相反数及绝对值的问题，关键是互为相反数两数之和为0． 2．绝对值小于6的所有整数的积是 ． 【答案】0 【分析】找出所有绝对值小于6的整数，求出之积即可． 【详解】解： 绝对值小于6的整数有：，， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了绝对值的求法，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3．已知下列有理数：0，． (1)计算：____________，____________； (2)这些数中，所有负数的和的绝对值是____________； (3)在数轴上描出表示0，这些数的点，并将它们用“<”连接起来． 【答案】(1)；； (2)； (3)图见解析， 【分析】（1）根据乘方的意义和相反数的定义计算； （2）先确定负数，再求它们的和，然后和的绝对值即可； （3）利用数轴，标出表示各数对应的点，从而即可比较各有理数的大小． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：这些数中，负数有 ∴ = =， 故答案为： （3）解：在数轴上描出表示0，为： ． 【点睛】本题考查了有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 也考查了相反数和绝对值的意义以及在数轴上表示有理数及比较有理数的大小，熟练掌握乘方及绝对值的定义是解题的关键． 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】，则化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握负数的绝对值等于这个数的相反数是解题的关键． 先根据已知条件化简绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 1．有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，先根据数轴上点的位置得到，再根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 解题的关键是正确化简绝对值，熟记． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， 故选：． 2．已知m是有理数，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】该题主要考查了绝对值的意义以及化简绝对值，解题的关键是进行分类讨论． 根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值． 【详解】解：∵绝对值最小的数是0， ∴分别当等于0时，有最小值． ∴m的值分别为2，4，6，8． ∵①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ∴的最小值是8． 故答案为：8． 3．对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为 例如，，则和关于的“相对关系值”为． 若和关于的“相对关系值”为l，和关于的“相对关系值”为，和关于的“相对关系值”为，…，和关于的“相对关系值”为． (1)的最大值为______； (2)直接写出所有的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或或或 【分析】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“相对关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质． （1）根据，的取值范围，分情况讨论即可求解； （2）由题意得，，，，，对，分情况讨论，分别计算求出满足要求的解即可； 【详解】（1）解：由题意得：， 当，时，，则； 当，时，，则，， 当，时，，则，， 当，时，，则； 综上所述，的最大值为 （2）解：由题意得：， ，，，， 当时，， 解得：， 同理，，，，， ， 当，时，，此情况不成立； 当，时，则，，，， ， 当时，由题意得，，， ，即， 同理，，，， ； 当，时， ，此情况不成立； 当，时，，即， 同理，，， ， 综上所述，的值为或或或 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键． 1．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴． 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求n的最小值为20． 故选B 2．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 3．阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)①②或 (2)①，② (3)当时，，当时，，当时，，当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （）①根据、两点之间的距离公式即可求解； ②根据及、两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数的值，即可求解； （）根据点位置分情况讨论，用含的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）①∵点表示数，点表示数， ∴、两点之间的距离表示为； ②点表示数，点表示数， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和的距离之和， ∴当整数的值为这个值时，的最小值为， 即相应的整数的个数为个； 故答案为：①；；②； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是， ∴点表示的数是，点表示的数是，、之间的距离， ∵点的运动速度始终保持每秒个单位长度，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，，当时，，当时， 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 1．已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 2．若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的性质和解绝对值方程等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质即可求解． 【详解】解：， ， 或， 当时，即时，方程无解，此时方程最多只有两个不同的解，不符合题意； 当时，即时，方程有一个解，此时方程有两个不同的解，即此时方程由三个不同的解，符合题意； 当时，即时，方程有两个不同的解，此时方程有两个不同的解，即方程此时有4个不同的解，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：5． 3．阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【答案】(1)，或3 (2)①3；②或3 【分析】（1）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （2）①由点在线段上，可得，计算求解即可；②由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得，或， 故答案为：，或3； （2）①解：∵点在线段上， ∴， 故答案为：3． ②解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 1．数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 【答案】B 【分析】根据O、A、B、C、五个点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC ∵， ∴MD=BD， 又∵-5＜d＜-1＜3 ∴M点介于O、C之间， 故选：B． 【点睛】本题考查的是数与数轴，利用数形结合思想解题是关键． 2．点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 【答案】 2 －5或3 【分析】（1）根据数轴可直接得出答案； （2）根据绝对值的几何意义，结合数轴进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，由数轴可知，表示1和3两点之间的距离是2； （2）由题意可知，的意义为：x到2的距离加上x到－4的距离等于8， ∴由数轴可知，当x＝－5或x＝3时，x到2的距离加上x到－4的距离等于8，即此时， 故答案为：（1）2；（2）－5或3． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）5，x，4；（2）或；（3）①的最小值为6；②的最小值为7 【分析】（1）根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的双值性建立方程求解即可； （3）根据材料正确理解计算即可． 【详解】解：（1）， 表示表示数x和数4这两点的距离， 故答案为：5，x，4； （2）， ， 或， 解得：或； （3）①由探究材料3得，当时，有最小值，最小值为6． ， ∴最小值为6． ②由探究材料3得，这是在求点x到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为7， ． 的最小值为7． 【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例11】当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 1．大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查了比较有理数的大小，找出符合条件的点，即可得到答案． 【详解】解：大于而小于2.3的整数有，，，，0，1，2，共7个， 故选：C． 2．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则 故答案为：． 3．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例12】今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．根据有理数的大小比较，即可作出判断． 【详解】解：， 故温度最低是， 故选：C． 1．如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】解： ，， ∵ ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 2．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 3．一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 【答案】（1）1号的直径最大，最大直径是200.2（mm）；3号的直径最小，最小直径是199.7（mm）；（2）质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【分析】（1）先比较表格中6个数据的大小，然后根据最大的数据和最小的数据即为直径最大和最小解答即可； （2）与规定质量差的绝对值最小的就是质量最好的，与规定质量差的绝对值最大的就是质量最差的，据此解答即可． 【详解】解：（1）由﹣0.3＜﹣0.2＜﹣0.1＜0＜0.1＜0.2知：1号的直径最大，最大直径是200+0.2=200.2（mm）； 3号的直径最小，最小直径是200﹣0.3=199.7（mm）； （2）由于， 所以质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【点睛】本题考查了正负数在实际中的应用、有理数的大小比较以及绝对值的实际应用，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键． 1．数的相反数是，则数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义即可求解．只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：数的相反数是，则数为， 故选：A 2．下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．﹣|﹣7|和+（﹣7） B．+（﹣10）和﹣（+10） C．﹣（﹣43）和﹣（+43） D．+（﹣54）和﹣（+54） 【答案】C 【分析】化简后，根据相反数的定义判断即可． 【详解】A．﹣|﹣7|=﹣7，+（﹣7）=﹣7，所以它们不互为相反数； B．+（﹣10）=﹣10，﹣（+10）=﹣10，所以它们不互为相反数； C．﹣（﹣43）=43，﹣（+43）=﹣43，所以它们互为相反数； D．+（﹣54）=﹣54，﹣（+54）=﹣54，所以它们不互为相反数； 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的化简，相反数的定义，熟练进行化简，灵活运用相反数的定义是解题的关键． 3．如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（    ） A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出点A表示的数即可. 【详解】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点B表示的数为6， ∴点A表示的数为﹣6， 故选：B. 【点睛】此题考查数轴与有理数，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键. 4．2013年10月某日我国部分城市的最低气温如下表（单位℃），由此可见其中最冷的城市是 　　（   ） 城市 温州 上海 北京 哈尔滨 广州 最低气温 20 10 －8 －15 25 A．广州 B．哈尔滨 C．北京 D．上海 【答案】B 【分析】根据有理数比较大小的法则进行比较即可． 【详解】解：∵由图可知，20，10，25均为正数，-8，-15为负数， ∴只要比较出-8与-15的大小即可． ∵|-8|=8，|-15|=15，8＜15， ∴-8＞-15， ∴最冷的城市是哈尔滨． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解题的关键． 5．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比如表示在数轴上数对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“F运算”，得．下列说法： ①对1，，3进行“F运算”的结果是8； ②若，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式． 其中正确的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，化简绝对值．理解题意，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 根据题意求①，然后判断即可；根据题意知，，计算求解，可判断②，根据，分情况求解，然后判断即可． 【详解】解：由题意知，， ∴对1，，3进行“F运算”的结果是不是8；①错误，故不符合要求； 由题意知，， 解得，，②错误，故不符合要求； 由题意知，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴可能有6种不同的表达式，③正确，故符合要求； 故选：B． 6．式子的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质—绝对值，根据非负数的性质即可求出的最小值，从而求出式子的最小值，求的最小值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， ∴的最小值为， 故答案为：． 7．的相反数是 ，的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数，正确理解相反数的定义是解题的关键，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】解：的相反数是，的相反数是， 故答案为：，． 8．如果，那么 ；如果 ，那么 ． 【答案】 3 【分析】根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， ； ， ， ， 故答案为：，3． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是明确绝对值是在数轴上，表示这个数的点到原点的距离． 9．绝对值不小于2且小于的负整数的个数有 ，它们是 ． 【答案】 4个 -2、-3、-4、-5 【分析】本题答题要点有两处，一是绝对值的范围，在范围内有正整数、0、负整数，第二个要点是负整数的个数即可确定． 【详解】绝对值不小于2且小于的负整数为-2、-3、-4、-5，共4个． 故答案为：4个，-2、-3、-4、-5 【点睛】本题主要考查了绝对值的相关知识，可以利用数形结合的方法解决问题． 10．已知，其中是不为零的自然数，把三个数从小到大的顺序排列起来： ＜ ＜ ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．已知a、b、c都是不为0的自然数，且，由于乘法中，在积一定的情况下，其中一个因数越小，则另一个因数越大，据此分析判断． 【详解】解：已知，其中不为0的自然数， 根据分数的大小比较法则，分子相同，分母大的反而小，假分数大于真分数，可得， 由于乘法中，在积一定的情况下，其中一个因数越小，则另一个因数越大， 所以． 故答案为：． 11．求方程的所有解的和． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的性质及一元一次方程的解法，先根据绝对值的性质求出的值，再求出x的值，再求和即可解答． 【详解】解：， ，， ，， 或或或， 所有解的和为：． 故答案为：． 12．比较下列各组数的大小： (1)与3； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较、绝对值、化简多重符号，熟练掌握正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，是解此题的关键． （1）根据正数大于一切负数即可得出答案； （2）先根据绝对值的意义将两个数化简，再根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解； （3）先将两个数化简，再根据正数大于一切负数即可得出答案； （4）先将两个数化简，再根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ∵， ∴，即； （3）解：，， ∵， ∴； （4）解：，， ∵， ∴． 13．已知五个数分别为，，，，5．    在如图所示的数轴上表示各数，并用“”将各数连接起来 【答案】见解析， 【分析】先化简绝对值和多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：， 数轴表示如下：    ∴． 【点睛】本题主要考查了用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和多重符号，正确在数轴上表示出各数是解题的关键． 14．一个水池安装有五根水管，有的专门放水，有的专门进水，如果用两根水管同时工作，将空池注满所用的时间如下表所示．(单位:小时) 如果用一根水管进水，要尽快把空池注满，那么应选用哪一根水管?请写明推理过程． 【答案】D最快，详见解析 【分析】分别比较各列的注水速度可得，即可进行判断． 【详解】解:比较第一列与第三列得注水速度:; 比较第一列与第五列得注水速度:; 比较第二列与第五列得注水速度:; 比较第二列与第四列得注水速度:; 较第三列与第四列得注水速度:． 所以，注水速度:最快． 【点睛】本题考查了有理数大小比较的实际应用，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 15．综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． (1)的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；　 　； (2)的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则　 　； (3)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (4)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (5)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是　 　． 【答案】(1)x，原点，= (2)1 (3)x，3，4或2 (4)x，，0或 (5) 【分析】（1）根据的几何意义求解； （2）根据的几何意义及绝对值的意义求解； （3）根据的几何意义及绝对值的意义求解； （4）根据的几何意义及绝对值的意义求解； （5）根据的几何意义及解不等式组求解； 【详解】（1）解： 的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离；， 故答案为：x，原点，＝； （2）解：的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则， 故答案为：1； （3）解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，若，则或2， 故答案为：x，3，4或2． （4）解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，若，则或． 故答案为：x，，0或 （5）解：使得这样的整数是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，掌握数形结合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$