精品解析：陕西省渭南市临渭区杜桥中学2022-2023学年高二下学期期中考试理科数学试卷

渭南市杜桥中学2022-2023学年高二第二学期期中考试 数学（理科）试题 满分：150分 时间：120分钟 第I卷 选择题 共60分 一、选择题（本大题共12小题，12x5=60分） 1. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 设是可导函数，且，则（ ） A B. -1 C. 0 D. -2 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若为直角三角形三边，其中为斜边，则，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中： 在四面体中，，为顶点所对面的面积，分别为侧面的面积，则下列选项中对于满足的关系描述正确的为 A. B. C. D. 6 设f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B. ＋ C. ＋ D. ＋＋ 7. 某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动,由于工作需要,男生甲与男生乙至少有一个参加活动,女生丙必须参加活动,则不同的选人方式有(　　) A. 56种 B. 49种 C. 42种 D. 14种 8. 函数在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 10. 设曲线在点处切线与直线平行，则实数等于（ ） A. -1 B. C. -2 D. 2 11. 设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 12. 设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题 共90分 二、填空题（共5小题，5x5=25分） 13. 用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应为_____． 14. 由曲线和所围成平面图形的面积是______. 15. 用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，则1，2相邻，而3，4不相邻的数有______. 16. 设，如果复数是实数，则______ 17. 已知不等式恒成立，则的取值范围是______. 三、解答题（共5小题，共65分） 18. 已知二项式的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 19. 在数列中，， （1）求，，； （2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 20. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）若求证：曲线上任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值. 21. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求证：． 22. 已知函数，. （1）若，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 渭南市杜桥中学2022-2023学年高二第二学期期中考试 数学（理科）试题 满分：150分 时间：120分钟 第I卷 选择题 共60分 一、选择题（本大题共12小题，12x5=60分） 1. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】, 对应的点为,在第四象限，故选D. 2. （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】应用微积分基本定理求定积分即可. 【详解】． 故选：C 3. 设是可导函数，且，则（ ） A. B. -1 C. 0 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据导数定义，即可求出． 【详解】试题分析：因为 所以， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于基础题． 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据求导公式和求导法则，逐一验证四个选项的正误，即可得正确选项. 【详解】对于选项A：，故选项A正确； 对于选项B：，故选项B不正确； 对于选项C：，故选项C不正确； 对于选项D：，故选项D不正确， 故选：A 5. 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若为直角三角形的三边，其中为斜边，则，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中： 在四面体中，，为顶点所对面的面积，分别为侧面的面积，则下列选项中对于满足的关系描述正确的为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作四面体，，于点，连接，结合勾股定理可得答案． 【详解】作四面体，，于点，连接，如图 即 故选C. 【点睛】本题主要考查类比推理，解题的关键是将勾股定理迁移到立体几何中，属于简单题． 6. 设f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B. ＋ C. ＋ D. ＋＋ 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得： 本题选择D选项. 7. 某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动,由于工作需要,男生甲与男生乙至少有一个参加活动,女生丙必须参加活动,则不同的选人方式有(　　) A. 56种 B. 49种 C. 42种 D. 14种 【答案】B 【解析】 【分析】分成两类：男生甲与男生乙二人都参加，男生甲与男生乙二人中仅有1个人参加，最后相加即可. 【详解】(1)男生甲、乙有一人参加,女生丙参加,再从另外7人中任选2人,共有=42种; (2)男生甲、乙都参加,女生丙也参加,再从另7人中任选1人,有=7种. 综合(1)(2)得不同的选人方式有=49种. 故选B 【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题． 8. 函数在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上单调性求出最值即可 【详解】由可得， 令，解得， 当，，单调递减；当，，单调递增， 所以的极小值，也为最小值为， 故选：C 9. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可求的值. 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 10. 设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于（ ） A -1 B. C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为,所以,所以曲线在点处的切线的斜率为,因为该切线与直线平行,所以,解得;故选A. 11. 设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数看正负，原函数看升降，分析出大致图像，在结合每个选项可得出答案. 【详解】由函数在上可导，其导函数，若函数在处取得极大值， 所以当时，；时，；时，； 所以当时，，当时，， 当或 时，，当时，， 可得选项B符合题意. 故选：B． 12. 设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集． 【详解】令，则，因此函数在上是奇函数． ①当时，，在时单调递增， 故函数在上单调递增． ， ， ． ②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3）， ，的解集为． ③当时，，不符合要求 不等式的解集是，，． 故选：D 第II卷 非选择题 共90分 二、填空题（共5小题，5x5=25分） 13. 用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应为_____． 【答案】或 【解析】 【详解】假设的内容应是否定结论，由否定后为. 14. 由曲线和所围成平面图形的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】求得和交点坐标，根据可求面积. 【详解】和的交点坐标为和， 当时，的图形在的上方， 则曲线与直线所围成的平面图形的面积为： . 故答案为：. 15. 用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，则1，2相邻，而3，4不相邻的数有______. 【答案】 【解析】 【分析】首先把1，2看做一个元素和5两个元素排列，再在两个元素形成的三个空中把3，4排列即可． 【详解】∵1，2相邻，而3，4不相邻， ∴1，2相邻要看做一个元素，而3，4不相邻要用插空法， 首先把1，2看做一个元素和5两个元素排列（1，2内部还可排列）有， 再在两个元素形成的三个空中把3，4排列有， 所以共有． 故答案为：． 16. 设，如果复数是实数，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法及复数为实数的充要条件得到方程，计算可得； 【详解】解：复数是实数， ，解得， 故答案为：． 17. 已知不等式恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得对恒成立，令，利用导数求的最小值即可. 【详解】由不等式恒成立，可得对恒成立， 所以， 令，求导得， 当时，，所以在上为减函数， 当时，，所以在上为增函数， 所以，所以. 所以的取值范围是. 故答案为： 三、解答题（共5小题，共65分） 18. 已知二项式的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由排列数的公式展开计算；（2）写出通项公式，求解，从而得常数项. 【小问1详解】 由题知：. 所以有，化简得：. 解得：或 (舍)． 【小问2详解】 ， 由，得. 所以. 【点睛】熟练掌握：(1)排列数公式；(2)组合数公式，这是正确计算的关键． 19. 在数列中，， （1）求，，； （2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 【答案】（1），，； （2）猜想数列的通项公式为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用递推公式计算可求得，，； （2）猜想，利用数学归纳法可证结论成立. 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 猜想数列的通项公式为， 下面用数学归纳法证明此结论正确． 证明：①当时，左边，右边，结论成立， ②假设当时，结论成立，即， 那么， 也就是说，当时结论成立， 根据①和②可知，结论对任意正整数都成立，即. 20. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）若求证：曲线上任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值. 【答案】（1） （2）证明见解答 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，进而可求切线方程； （2）由已知求得，设为曲线上任一点，利用导数求得曲线在的切线方程，进而求得切线与直线和直线的交点坐标，进而可求围成的三角形的面积. 【小问1详解】 由，可得， 所以，又， 所以在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，所以， 设为曲线上任一点，所以，又， 所以过的切线方程为， 令，则可得，令，可得， 从而切线与直线的交点为，切线与直线的交点为， 点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为： ，为定值. 21. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求证：． 【答案】（1）和；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出， 结合不等式的解集，即可求得函数的增区间； （2）由（1）得到在上单调递增，在上单调递减，求得，即可证得不等式． 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 且 ， 令，解得或，所以的单调递增区间为和． （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，， 可得当时，恒有，即． 22. 已知函数，. （1）若，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令，进而可判断函数的单增区间与单减区间，进而可求极值； （2）利用导数，分或两种情况讨论，可求的取值范围. 【小问1详解】 由，可得， 令，解得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，； 【小问2详解】 由，可得， 因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立， 当时，由，可得， 当，由，可得，所以， 又在上单调递减，所以，所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$