精品解析：吉林省长春市二道区力旺实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

2023-2024学年吉林省长春市二道区力旺实验中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根及算术平方根的定义，掌握定义是解题的关键； 【详解】解：A. ，故正确； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：A 2. 下列运算正确的是（　　） A. x5+x5＝x10 B. （x3y2）2＝x5y4 C. x6÷x2＝x3 D. x2•x3＝x5 【答案】D 【解析】 【分析】由合并同类项的法则可判断A，由积的乘方的运算可判断B，由同底数幂的除法运算可判断C，由同底数幂的乘法运算可判断D，从而可得答案. 【详解】解： 故A不符合题意； 故B不符合题意； 故C不符合题意； 故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键. 3. 在实数，，，，，中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．逐个判断即可． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 综上：无理数有、、，共3个， 故选：B． 4. 对于命题“若，则”，作为反例能说明该命题是假命题的a值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把数值代入逐一判断即可解题． 【详解】解：A.当时，，故符合题意； B.当时，，故不符合题意； C.当时，，故不符合题意； D.当时，，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查命题，说明一个命题是假命题可以举反例即可． 5. 式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．根据“把一个多项式写成几个整式乘积的过程叫因式分解”逐项分析判定即可． 【详解】解：A．等号右边不是积的形式，则本选项不符合题意； B．等号右边不是积的形式，则本选项不符合题意； C．它符合因式分解的定义，则本选项符合题意； D．它是整式乘法运算，则本选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用，解决本题的关键是分别求解阴影部分的面积． 根据正方形的面积可先求解出阴影部分的面积，再根据矩形面积公式再求解矩形面积，由此可得等式． 【详解】解：边长为的正方形的面积为， 边长为的小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 再把余下的部分剪拼成一矩形， 可得矩形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为， ∴可得等式． 故选：D ． 7. 如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，由作图可知，垂直平分，再根据直角三角形两锐角互余的性质求出即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，等边对等角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握各性质和定理是解题的关键． 8. 如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上AB之间的距离是． 设点A表示的数是a，求出之间的距离，求出，即可得出关于a的方程，求出即可． 【详解】解：设点A表示的数是a， ∵在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C， ∴B、C之间的距离是， ∵B是的中点， ∴， ∵B点表示的数是2，A点表示的数是a， ∴， 解得： ， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 因式分解：3x3﹣12x=_____． 【答案】3x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可． 【详解】3x3﹣12x =3x（x2﹣4） =3x（x+2）（x﹣2）， 故答案为3x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 10. _________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 计算_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的计算，掌握计算公式是解题的关键． 根据即可计算． 【详解】解：， 故答案为：4． 12. 若，则x＝_____． 【答案】7 【解析】 【分析】由积的乘方的逆运算得，，再由幂的乘方的逆运算得，，列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴x+3=2x﹣4， 解得x=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算． 13. 中，，的平分线与边所夹的锐角为，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到，当时，根据三角形外角的性质得到，即可求得；当时，根据三角形内角和定理得到，即可求得． 【详解】解：设的角平分线交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， ； 当时，如图2， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 14. 如图，直线、分别垂直平分线段、交于点O，直线交于点E．若，则__________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，连接，并延长到P，根据线段的垂直平分线的性质得，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，，相加可得结论． 【详解】解：连接，并延长到P， ∵线段、的垂直平分线、相交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线、分别垂直平分线段、， ∴， ∵，， ∴； ∴ 即： ∴ 故答案为：36． 三、解答题（共78分） 15. 计算 （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键； （1）根据二次根式的加减运算可进行求解； （2）根据二次根式的除法运算可进行求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则，解题的关键是掌握法则，正确计算． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将x的值代入即可得． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，立方根，由题意知，，解得：，则，然后求代数式的值，最后求立方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 将代入原式，得， ∴， ∴， ∴的立方根为． 19. 如图，图①、②是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段的端点在格点上，在图①、②中，按要求各画出一个以为边的等腰三角形，等腰三角形各顶点都在格点上． （1）在图①中以为腰画等腰； （2）在图②中以为底画等腰，且顶角为锐角，并写出的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2） 如图所示，即为所求． 4 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理等知识，借助网格以及勾股定理得出符合题意的图形是解题关键． （1）利用等腰三角形的定义以及勾股定理，即可得出符合题意的图形； （2）利用等腰三角形的定义以及勾股定理，即可得出符合题意的图形． 【小问1详解】 如图可知，． 【小问2详解】 如图可知，． ． 20. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ； （2）度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据平分，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再由平分，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， 平分， ， ， ． 21. 在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则． （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 小明从第③步开始出错的； 故答案为：③； 【小问2详解】 原式 ． 22. 如图①，是等边三角形，，分别交于点D，E． （1）求证：是等边三角形， （2）如图②，将图①中的绕着点A逆时针旋转适当的角度，使点B在的延长线上，连接，求的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ． ∵， ， ， 是等边三角形． （2） ．理由如下： 由题意，得， ， 即， ， ， ， ． ． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形及全等三角形的判定与性质是解决问题的关键。 （1）根据为等边三角形，则，由得到 ，然后根据等边三角形的判定方法得到是等边三角形。 （2）由证明,得出，利用角度转化求出，线段间的等量代换求出的数量关系。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则__________． 【知识迁移】（3）如图，长方形的面积为，分别以、为边作正方形、正方形，已知，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】（1）2；（2）7；（3）52 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和图形面积问题． （1）根据完全平方公式，变形计算即可； （2）根据，结合，以及完全平方公式，变形计算即可； （3）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，进行求解即可． 熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：7； （3）由题意，得：，即：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴阴影部分的面积为 ； 故答案为：52． 24. 如图①，在中，，，点D为的中点，连结．点P在线段上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时，连结．设． （1）的度数为__________． （2）当是钝角三角形时，求x的取值范围． （3）当是轴对称图形时，求x的值． （4）如图②，作点B关于直线的对称点，连结、，当与重叠部分为轴对称图形时，直接写出x的值． 【答案】（1） （2）或 （3）27或76.5 （4）42或51或84或75 【解析】 【分析】（1）先由等边对等角，求出，运用三角形内角和进行列式，得，结合等腰三角形的三线合一，即可作答； （2）根据为钝角，为钝角，这两种情况进行列式作答即可； （3）根据是轴对称图形，即是等腰三角形，进行分类讨论，即可作答． （4）分为点P在和上两种情况，作图，结合三角形的内角和以及三角形的外角性质，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴ 即 ∵点D为的中点， ∴ 即的度数为； 【小问2详解】 解：当为钝角，即， ∵， ∴， 即， 当为钝角， ∵， ∴， ∵点P在线段上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时， ∴当点P与点C重合时，， ∴ 即； 综上：当是钝角三角形时， x的取值范围为或 【小问3详解】 解：当是轴对称图形时， 即是等腰三角形 当时，，则； 当时，，则， 此时点P与点C重合，故舍去； 当时，，则； 综上：当是轴对称图形时， x的值为27或76.5 【小问4详解】 解：点P在上时，记与的交点为 ∵作点B关于直线的对称点， ∴ 当时，， ∵ 则， 解得； 当时，则， 即； 点P在上时，记与的交点为 易知， 则， 那么 则 当时，则，解得； 当时，则，此时不存在； 当时，则，解得； 综上：当与重叠部分为轴对称图形时，x的值为42或51或84或75． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，钝角三角的定义，三角形的内角和，以及三角形的外角性质，难度适中，综合性较强，学会分类讨论以及正确作图是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年吉林省长春市二道区力旺实验中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. x5+x5＝x10 B. （x3y2）2＝x5y4 C. x6÷x2＝x3 D. x2•x3＝x5 3. 在实数，，，，，中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 对于命题“若，则”，作为反例能说明该命题是假命题的a值是（ ） A. B. C. D. 5. 式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 因式分解：3x3﹣12x=_____． 10. _________． 11. 计算_____________． 12. 若，则x＝_____． 13. 中，，的平分线与边所夹的锐角为，则________． 14. 如图，直线、分别垂直平分线段、交于点O，直线交于点E．若，则__________． 三、解答题（共78分） 15. 计算 （1）； （2）； 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 若x，y都是实数，且，求的立方根． 19. 如图，图①、②是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段的端点在格点上，在图①、②中，按要求各画出一个以为边的等腰三角形，等腰三角形各顶点都在格点上． （1）在图①中以为腰画等腰； （2）在图②中以为底画等腰，且顶角为锐角，并写出的面积． 20. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 22. 如图①，是等边三角形，，分别交于点D，E． （1）求证：是等边三角形， （2）如图②，将图①中的绕着点A逆时针旋转适当的角度，使点B在的延长线上，连接，求的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 23. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则__________． 【知识迁移】（3）如图，长方形的面积为，分别以、为边作正方形、正方形，已知，，则图中阴影部分的面积为__________． 24. 如图①，在中，，，点D为的中点，连结．点P在线段上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时，连结．设． （1）的度数为__________． （2）当是钝角三角形时，求x的取值范围． （3）当是轴对称图形时，求x的值． （4）如图②，作点B关于直线的对称点，连结、，当与重叠部分为轴对称图形时，直接写出x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $