精品解析：2024年北京市中考数学押题预测试卷

2024年北京市中考数学押题预测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列几何体中，三视图都是圆的是（ ） A. B. C. D. 2. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 实数a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. a＞b B. a + b＞0 C. bc＞0 D. a＜﹣c 5. 已知点是反比例函数图像上的两点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 7. 小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个亭子的地基是半径为的正六边形，则该正六边形地基的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 要使得式子有意义，则a的取值范围是______． 10. 分解因式：__________． 11. 方程 的解为______. 12. 已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____． 13. 某居民小区共有300户家庭，有关部门对该小区自来水管网系统进行改造，为此该部门通过随机抽样，调查了其中20户家庭，统计了这20户家庭的月用水量，如下表： 月用水量（m3） 4 6 7 12 14 15 户数 2 4 6 2 2 4 根据上述数据，估计该小区300户家庭的月总用水量约为______m3． 14. 如图，若是的高线，，，，则______． 15. 如图，在中，，平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD且BC＞AB，BD＝8．给出以下判断： ①AC垂直平分BD； ②四边形ABCD的面积S＝AC•BD； ③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形； ④将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，四边形ABCD的内切圆半径为．其中正确的是 _____．（写出所有正确判断的序号） 三、计算题：本大题共2小题，共10分． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，于D，，，连接交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）如果，，求的长． 21. 小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计） 22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由正比例函数的图象向上平移2个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出a的取值范围． 23. 为弘扬民族精神，传播传统文化，某县教育系统将组织“弘扬传统文化，永承华夏辉煌”演讲比赛．某校各年级共推荐了19位同学参加初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10的同学进入决赛． （1）若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的_____；（填：平均数或众数或中位数） （2）若初赛结束后，这19位同学的成绩如下： 签号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 签号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 成绩 9.8 9.6 8.8 9 2号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19位同学的平均水平呀！” 14号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19位选手的大众水平嘛！” 请问，这19位同学成绩的平均数为______，众数为______； （3）已知10号选手与15号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较稳定，她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为，15号选手的方差为．你认为______号选手的成绩比较稳定． 24. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 25. 如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2． （1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由； （2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4） 26. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴． （2）已知点都在该二次函数图象上， ①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）； ②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围． 27. 在中，D是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点E． （1）如图，若， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段之间新的数量关系（不需证明）． 28. 如图， （1）【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； （2）【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； （3）【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年北京市中考数学押题预测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列几何体中，三视图都是圆是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见几何体的三视图逐个判断即可． 【详解】A：正方体的三视图都是正方形，故A不符合题意； B：球的三视图都是圆，故B符合题意； C：圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆，故C不符合题意； D：圆锥的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故D不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了常见几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题的关键． 2. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法：，，n是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n的值，据此解答． 【详解】， 故选：B． 3. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)， ∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度， ∴A到D也应向右移动4个单位长度， ∵点A的坐标为(0，1)， 则点D的坐标为(4，1)， 故选:C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键． 4. 实数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. a＞b B. a + b＞0 C. bc＞0 D. a＜﹣c 【答案】D 【解析】 【分析】由数轴可知，实数a，b，c之间的大小关系，从而判断四个选项的对错即可． 【详解】解：由实数a，b，c 在数轴上的对应点的位置可知： ， 故A不正确； 故，，故B、C不正确； ， ， ， ， 故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用数轴比较实数的大小，实数的加法及乘法运算，熟练掌握数轴及运算法则是解题的关键． 5. 已知点是反比例函数图像上的两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的性质求解即可． 【详解】， ∴反比例函数位于第一、三象限，且在每个象限内都是y随着x的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 6. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度． 【详解】解：连接OC，如图 ∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出． 7. 小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小刚选到同一组的情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一组的有3种情况， ∴小明和小刚恰好选择同一组的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，一个亭子的地基是半径为的正六边形，则该正六边形地基的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，可求出圆心角的度数，则可得是等边三角形，再由等边三角形的性质即可求出的长，继而求得正六边形的周长． 【详解】如图，连接，，则， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆的内接正六边形的性质及等边三角形的判定与性质，三角函数，注意掌握辅助线的作法是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 要使得式子有意义，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式分母不能为0，二次根式被开方数为非负数． 10. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 11. 方程 的解为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解法是解决本题的关键． 先去分母，转化一元整式方程，再求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 所以，原方程的根为：， 故答案为：． 12. 已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】m<3 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2)2-4m>0，求解即可． 【详解】解：∵x-x+m=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=(-2)2-4m>0 解得：m<3， 故答案为: m<3． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键． 13. 某居民小区共有300户家庭，有关部门对该小区的自来水管网系统进行改造，为此该部门通过随机抽样，调查了其中20户家庭，统计了这20户家庭的月用水量，如下表： 月用水量（m3） 4 6 7 12 14 15 户数 2 4 6 2 2 4 根据上述数据，估计该小区300户家庭的月总用水量约为______m3． 【答案】2790 【解析】 【分析】根据月总用水量=300×平均月用水量计算即可． 【详解】解：该小区300户家庭的月总用水量为： ． 故答案为：2790． 【点睛】本题考查了生活中常遇到的估算问题，即用样本平均数估计总体平均数的方法，解题的关键是利用加权平均数的计算公式进行计算，以及对用样本平均数估计总体平均数的理解． 14. 如图，若是的高线，，，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．先求出，再证明，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 15. 如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前一个角的一半，然后表示出即可． 【详解】解；∵平分，平分， ∴，， ∵由三角形外角的性质可得，， ∴， 以此类推， ， …… ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD且BC＞AB，BD＝8．给出以下判断： ①AC垂直平分BD； ②四边形ABCD的面积S＝AC•BD； ③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形； ④将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，四边形ABCD的内切圆半径为．其中正确的是 _____．（写出所有正确判断的序号） 【答案】① 【解析】 【分析】依据，，可得是线段的垂直平分线， 故①正确；依据四边形的面积，故②错误；依据三角形中位线可得顺次连接四边形的四边中点得到的四边形是矩形，故③错误；由题意易得，，然后可得，进而可得，最后根据相似三角形的性质及等积法可求解． 【详解】解：在四边形中，，， 是线段的垂直平分线， 故①正确； 设AC与BD交于点O，如图所示： ∴四边形面积，故②错误； 顺次连接四边形ABCD的四边中点，分别记作M、N、G、H，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵BC＞AB， ∴AC≠BD， ∴四边形不可能正方形，故③错误； 将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示： 由折叠可得， 四边形是菱形，，， ， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵⊙I是四边形ABCD的内切圆， ∴， ∵， ∴， ∴；即四边形ABCD的内切圆半径为，故④错误； 综上所述：只有①正确； 故答案为①． 【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、切线的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定、切线的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、计算题：本大题共2小题，共10分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，实数的混合运算，先去绝对值，去括号，计算特殊角的三角函数值，化简二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】. 【解析】 【详解】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集. 解：， 由第一个不等式得， 由第二个不等式得<2 ， 解集为. 四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式． ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在中，，于D，，，连接交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证四边形是矩形即可． （2）先证，然后解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，解直角三角形等知识点，角度之间的准确转换是解题关键． 21. 小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计） 【答案】43.5米 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， ， ，即①； ，， ， ，即②， 由①②得， 解得， ， 解得， 答：小雁塔的高度为43.5米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形的性质进行几何计算． 22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由正比例函数的图象向上平移2个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）y＝x＋2 （2）-1≤a＜0或0＜a≤1． 【解析】 【分析】（1）根据平移的规律即可求得． （2）根据点（−1，1）结合一次函数的性质即可求得． 【小问1详解】 解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向上平移2个单位长度得到． ∴k＝1，b＝2， ∴这个一次函数的解析式为y＝x＋2； 【小问2详解】 把x＝−1代入y＝x＋2，得y＝1， 把点（−1，1）代入y＝ax，得a＝−1． ∵当x＞−1时，对于x的每一个值，正比例函数y＝ax（a≠0）的值小于一次函数y＝kx＋b（k≠0）的值， ∴a的取值范围是-1≤a＜0或0＜a≤1． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键． 23. 为弘扬民族精神，传播传统文化，某县教育系统将组织“弘扬传统文化，永承华夏辉煌”的演讲比赛．某校各年级共推荐了19位同学参加初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10的同学进入决赛． （1）若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的_____；（填：平均数或众数或中位数） （2）若初赛结束后，这19位同学的成绩如下： 签号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 签号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 成绩 9.8 9.6 8.8 9 2号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19位同学的平均水平呀！” 14号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19位选手的大众水平嘛！” 请问，这19位同学成绩的平均数为______，众数为______； （3）已知10号选手与15号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较稳定，她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为，15号选手的方差为．你认为______号选手的成绩比较稳定． 【答案】（1）中位数 （2）9.05，、、、、、 （3）15 【解析】 【分析】（1）因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数； （2）根据平均数公式、求众数方法求解即可； （3）根据方差的意义分析即可得到答案． 【小问1详解】 解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以， 故答案为：中位数； 【小问2详解】 解：这19位同学成绩的平均数为 ， 如表所示： 签号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 签号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 成绩 8.8 其中有1个、有1个、有1个、有2个、有2个、有1个、有1个、有2个、有2个、有2个、有2个、有1个、有1个，从而确定、、、、、均有2个，则众数为、、、、、， 故答案为：9.05，、、、、、； 【小问3详解】 解：她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为0.5，15号选手的方差为0.38，15号的方差小， 号选手的成绩比较稳定， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了中位数，平均数，众数，方差，此题不但要求学生会求，而且要求掌握方差、平均数、众数的运用． 24. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点，则， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接，过作，垂足为． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 25. 如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2． （1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由； （2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4） 【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处． 【解析】 【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解； （2）当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6＝8.4，即可求解． 【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88， 将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣， 故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88； 当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24， 当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0， 故这次发球过网，但是出界了； （2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q， 在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17， 当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5）， ∴OP＝19，而OQ＝17， 故PQ＝6＝8.4， ∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1， ∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处. 【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键. 26. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴． （2）已知点都在该二次函数图象上， ①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）； ②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围． 【答案】（1）抛物线与y轴交点的坐标为，对称轴 （2）①； ② 【解析】 【分析】（1），可得抛物线与y轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解； （2）①根据题意可得点关于直线对称，即可求解；②根据题意可得点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， ∴抛物线与y轴交点的坐标为 ． 对称轴． 【小问2详解】 解：① ∵函数图象对称轴为直线， ∴点关于直线对称， ∴， 故答案：； ②∵函数图象的对称轴为直线，， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧． 当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴，不合题意． 当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则， ，，，四个函数值可以满足， ∴， 即当时，，当时，． 解得 ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 27. 在中，D是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点E． （1）如图，若， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段之间新的数量关系（不需证明）． 【答案】（1）①见解析；② ，理由见解析 （2）不成立，或 【解析】 【分析】（1）①根据题意作图即可； ②连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案； （2）分两种情况，连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案． 【小问1详解】 ①补全图形如图所示： ② ，理由如下： 如图，连接 ， 将线段沿所在直线翻折，得到线段， ， 又 ， ， ， ， ， ， D是的中点， ， ， ， 即， ， ， ， ； 【小问2详解】 不成立， ①，理由如下： 如图，连接， 将线段沿所在直线翻折，得到线段， ， 又 ， ， ， D是的中点， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． ②，理由如下 如图，连接， 由题意得，， D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键． 28. 如图， （1）【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； （2）【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； （3）【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 【答案】（1） （2），， （3）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）由函数图象的平移法则求解即可得到答案； （2）利用点的平移法则得到、，利用待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案； （3）①根据对称得到点A关于x轴的对称点，设将一次函数的图象关于轴对称所得到的图象对应的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；②设点绕点逆时针旋转到点，则，过点作的垂线交直线于点，过点作轴于点，可得，证明，得到，求出，运用待定系数法即可求解；③过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，证明，得到，运用待定系数法即可求解；由对称性质、旋转性质，结合待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案． 【小问1详解】 解：利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ∴将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ， 解得， 过点、的直线对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：，当时，，即点；当时，，，即点， ①如图， 一次函数的图象关于轴对称，， ∴点A关于x轴的对称点， 设将一次函数的图象关于轴对称所得到的图象对应的函数表达式为， 将代入得， 解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ②设点绕点逆时针旋转到点，则，过点作的垂线交直线于点，过点作轴于点，如图， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴所得到的图象对应的函数表达式为； ③过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，如图， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设将直线绕点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象的平移、待定系数法确定一次函数表达式、点的对称、求一次函数图象关于坐标轴对称的函数图象表达式、旋转性质、求一次函数图象绕固定点旋转后的函数图象表达式，全等三角形，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$