精品解析：重庆市荣昌中学校2025届高三上学期第一次教学检测（9月）数学试题

荣昌中学高2025届高三上期第一次教学检测 数学 试题 总分；150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C D. 2. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 3. 对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A. B. C. D. 5. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 6. 一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 高二年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ 　 ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题不正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 11. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 当时，函数的最大值为 C. 关于的不等式的解为或 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从名男生和名女生中，选出名代表，要求名代表中既有男生又有女生的选法有___________种. 13. 的展开式中项的系数为___________. 14. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性； （2）求不等式的解集． 16. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求，； （2）求的单调区间和极值. 17. 近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），绘制了如图所示的散点图： （I）根据散点图判断在推广期内，与（c，d为为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（I）的判断结果求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次. 参考数据： 4 62 1.54 2535 50.12 140 3.47 其中， 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 18. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束. （1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4且甲获胜”的概率. 19. 已知函数． （1）当时，求在处切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）求证：．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荣昌中学高2025届高三上期第一次教学检测 数学 试题 总分；150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题得到答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为：​. 故选：B. 2. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 3. 对标有不同编号6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出第一次摸出的是次品的概率以及第一次摸出的是次品，第二次摸到的是正品的概率，结合条件概率的计算公式即可求出所求答案. 【详解】解：记“第一次摸出的是次品”， “第二次摸到的是正品”，由题意知， ,，则, 故选:D. 【点睛】本题考查了条件概率的求解，属于基础题. 4. 设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程. 详解：因为函数是奇函数，所以，解得， 所以，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简可得，故选D. 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 6. 一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由方程根的情况可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为一元二次方程，（）有一个正根和一个负根， 所以，解得， 所以一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是. 故选：C. 7. 高二年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意知本题是一个古典概型， ∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：； 满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤： ①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有种方法； ②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有种方法； ③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有种方法． 根据分步计数原理（乘法原理），共有种方法． ∴一班有3位同学恰好被排一起（指演讲序号相连）， 而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：P= = 故选B． 8. 已知是定义域为奇函数,满足.若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于BCD，利用不等式的性质判断 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，当时，则不等式的性质可得，所以B错误， 对于C，当，时，，所以C错误， 对于D，若，则由不等式的性质可得，所以D正确， 故选：ABC 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解； 对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果； 对C：直接利用基本不等式即可求得结果； 对D：取特殊值，即可判断正误. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是,故C正确； 对D：因为，且，显然满足题意， 此时有，故D错误. 故选：AC. 11. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 当时，函数的最大值为 C. 关于的不等式的解为或 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由开口方向，与轴交点，及对称轴，求出的正负，得到A正确；B选项，当时，数形结合得到函数随着的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合，化简不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到，求出. 【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故， 对称轴为，故， 图象与轴交点在轴正半轴，故， 所以，故，A正确； B选项，因为，故， 因为，所以， 当时，随着的增大而减小， 所以时，取得最大值，最大值为，B错误； C选项，因为，所以， ， 故不等式变形为， 因为，，解得：或，故C正确； D选项，，当时，取得最小值，最小值为， ，当时，取得最小值，最小值为， 所以，即，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从名男生和名女生中，选出名代表，要求名代表中既有男生又有女生的选法有___________种. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用分类、分步计数原理及组合，即可求出结果. 【详解】名代表中有名男生，名女生的选法有， 名代表中有名男生，名女生的选法有， 所以名代表中既有男生又有女生的选法有， 故答案为：. 13. 的展开式中项的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含项为， 所以展开式中项的系数为. 故答案为： 14. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 【答案】16； 【解析】 【详解】依题意，为偶函数， 展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16. 【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）;奇函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数定义域的求法和奇偶性的定义求解即可； （2）利用对数函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 ，所以， 即，故定义域为. 判断为奇函数， ， 所以为奇函数. 【小问2详解】 , 即， 且定义域为， 故. 所以不等式解集为. 16. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求，； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）计算出，求导，根据切线斜率得到方程，求出的值； （2）在（1）的基础上，解不等式，得到函数单调区间和极值. 【小问1详解】 定义域为，， 将点代入中， ，∴. 所以，解得 【小问2详解】 ， ， 2 ＋ 0 － 0 ＋ 极大值 极小值 的单调递增区间为，，单调递减区间为； 的极大值为，极小值为. 17. 近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），绘制了如图所示的散点图： （I）根据散点图判断在推广期内，与（c，d为为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（I）的判断结果求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次. 参考数据： 4 62 154 2535 50.12 140 3.47 其中， 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 【答案】（I）适合（Ⅱ）， 预测第8天人次347. 【解析】 【分析】（I）通过散点图，判断适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型（Ⅱ）通过对数运算法则，利用回归直线方程相关系数，求出回归直线方程，然后求解第8天使用扫码支付的人次. 【详解】 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法及应用，数学期望的应用，考查计算能力，是中档题． 18. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束. （1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4且甲获胜”的概率. 【答案】（1）；（2）0.1 【解析】 【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果； (2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果． 【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以 (2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分” 所以 【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题． 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）求证：．（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，求出，即可得出切线方程； （2）由函数在上单调递增得，当时，分离参数得对于恒成立，由导数求出最值，即可求解； （3）法一：由（2）可知，当时，在上单调递增，令得，，根据累加法即可证明；法二：设数列的前项和，得出，证明即可，证法同法一；法三：用数学归纳法证明． 【小问1详解】 当时，， 所以求在处的切线方程为：． 【小问2详解】 ， 若函数在上单调递增， 则当，，即对于恒成立， 令，则，则函数在上单调递增， 所以，故． 【小问3详解】 法一：由（2）可知，当时，在上单调递增， 所以当时，，即，即在上总成立， 令得，， 化简得：，所以，， 累加得，即，命题成立． 法二：可设数列的前项和， 当时，， 当时，，时也成立， 所以， 本题即证，以下证明同法一． 法三：（i）当时，左式，右式显然成立； （ii）假设当不等式成立，即， 那么当时，左式， 证明，即需证， 设，则， 即只需证，即， 设， 所以在单调递增，，可知不等式是也成立， 综上可知，不等式对于任意正整数都成立． 注意：中，写成或都可以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$