精品解析：上海市奉贤区汇贤中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

汇贤中学2024学年九年级第一学期数学阶段练习卷3 一、选择题 1. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（   ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ） A. 2，3，4，6 B. 2，3，4，5 C. 2，3，5，7 D. 3，4，5，6 3. 在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等腰三角形都相似 B. 等边三角形都相似 C. 锐角三角形都相似 D. 直角三角形都相似 5. 如果线段、、、满足，那么下列等式不一定成立的是（ ）． A. ； B. ； C. ； D. 6. 如图，在中，点D是边上任意一点，点E、F分别是和的重心，如果，那么线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 7. 若，则______． 8. 已知线段x是线段a、b的比例中项，且，则______． 9. ，P是的黄金分割点，_________． 10. 若，则__________． 11. 中，D，E在边，上，，且，则_________． 12. 已知△ABC∽△DEF，其中AB＝12，AC＝9，BC＝18，如果AB的对应边DE为4，那么△DEF的周长是_____． 13. 如图，与分别相交于点A、B、C，与分别相交于点D、E、F，，，那么__________； 14. 已知点D、E分别在的边上，且，若，则________． 15. 如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是__________． 16. 如图，P为边上一点，E、F分别为的中点，若的面积为3，那么的面积__________． 17. 在直角坐标系中，已知，过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，则点D的坐标为________． 18. 如图，在中，，，，点E、F分别在边，上，沿直线将翻折，点B落在点P处，如果且，则__________． 三、简答题 19. 如图，在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 20. 如图，已知在四边形中，与相交于点O，． （1）求证：； （2）若，求的值． 21. 如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高． 22. 如图，过顶点C作直线与及中线交于F、E，过D作交于M． （1）若，求的值； （2）求证：． 23. 如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）若，求证：． 24. 如图矩形的边在的边边上顶点D、G分别在边、上已知． （1）当矩形为正方形时，求正方形的边长； （2）连接，当以为腰的等腰三角形时，求矩形的面积． 25. 如图，已知在菱形中，，，点E、F分别在边上，的延长线交的延长线于点G，且． （1）如果，求线段的长； （2）设，，求y与x的函数关系式； （3）连接交于点H，如果，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汇贤中学2024学年九年级第一学期数学阶段练习卷3 一、选择题 1. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的相似比问题．利用相似三角形的周长比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答． 【详解】解：∵两个三角形相似，且对应边之比为， ∴相似比为， ∵相似三角形的对应中线之比等于相似比， ∴对应中线之比为． 故选：B． 2. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ） A. 2，3，4，6 B. 2，3，4，5 C. 2，3，5，7 D. 3，4，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、∵2：3=4：6，∴2，3，4，6能成比例线段，故本选项正确； B、2，3，4，5不能成比例线段，故本选项错误； C、2，3，5，7不能成比例线段，故本选项错误； D、3，4，5，6不能成比例线段，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 3. 在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，本选项不符合题意； B、∵，∴，本选项不符合题意； C、∵，∴，本选项不符合题意； D、若，不能判定，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等腰三角形都相似 B. 等边三角形都相似 C. 锐角三角形都相似 D. 直角三角形都相似 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、等腰三角形不一定相似，是假命题，故A选项错误； B、等边三角形都相似，是真命题，故B选项正确； C、锐角三角形不一定都相似，是假命题，故C选项错误； D、直角三角形不一定都相似，是假命题，故D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查命题与定理；相似三角形的判定． 5. 如果线段、、、满足，那么下列等式不一定成立的是（ ）． A. ； B. ； C. ； D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查考查比例的性质，掌握内项之积等于外项之积是关键． 根据比例的性质，等式的性质，设k值法对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可． 【详解】A、∵， ∴＝，即，正确，不符合题意； B、∵， ∴＝，即，正确，不符合题意； C、设， ∴，∴，错误，符合题意， D、∵A、B正确，∴两式可得＝，正确，不符合题意； 故选C． 6. 如图，在中，点D是边上任意一点，点E、F分别是和的重心，如果，那么线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心、相似三角形的判定与性质，连接并延长交于，连接并延长交于，由三角形重心的性质得出，，，，从而得出，证明，由相似三角形的性质可得，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交于，连接并延长交于， ∵点E、F分别是和的重心， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 二、填空题 7. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的基本性质，由题意得到，再利用比例的基本性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 8. 已知线段x是线段a、b的比例中项，且，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质，即可得出答案． 【详解】解：∵线段x是线段a、b的比例中项，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 9. ，P是的黄金分割点，_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．掌握黄金分割的定义是解题的关键．直接根据黄金分割的定义计算． 【详解】解：∵是线段的黄金分割点， ∴． 故答案为：． 10. 若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，比的性质，求代数式的值，根据分式的性质变形是关键．根据可得，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 11. 中，D，E在边，上，，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由得出，再由相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 12. 已知△ABC∽△DEF，其中AB＝12，AC＝9，BC＝18，如果AB的对应边DE为4，那么△DEF的周长是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，即可求出△DEF的周长． 【详解】解：∵△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝18， ∴△ABC的周长是12+9+18＝39． ∵△ABC∽△DEF，AB的对应边DE为4， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝AB：DE＝12：4＝3， ∴△DEF的周长是39÷3＝13． 故答案为：13． 【点睛】此题考查相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，熟记相似三角形的性质定理是解题的关键． 13. 如图，与分别相交于点A、B、C，与分别相交于点D、E、F，，，那么__________； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 14. 已知点D、E分别在的边上，且，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 先证明，再把数值代入进行计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ，即， ， 故答案为：． 15. 如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：，， ， 与的周长之比是， 点A到的距离与点E到的距离之比是， 故答案为：． 16. 如图，P为边上一点，E、F分别为的中点，若的面积为3，那么的面积__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，利用三角形中位线定理得出，，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而利用平行四边形的面积求法得出答案． 【详解】解：，分别为，的中点， ∴是的中位线 ，， ， ， ， ∵的面积分别为3， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 17. 在直角坐标系中，已知，过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，则点D的坐标为________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形的相似，分情况进行讨论是解决本题的关键 分与为对应边和与为对应边，两种情况进行讨论即可解答． 【详解】解：∵是直角三角形，要使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似， ∴以点为顶点的三角形也是直角三角形， ∵点在轴上， ， ， ， 如图，当与为对应边， 则， 则， ， ∴或； 如图，当与为对应边， 则， 则， ， ∴，； 综上，点D的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 18. 如图，在中，，，，点E、F分别在边，上，沿直线将翻折，点B落在点P处，如果且，则__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识,掌握灵活运用勾股定理、相似三角形的判定及其性质等知识进行解答是解题的关键．证明；求出的长度；证明，列出比例式即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，交于点O； 由折叠的性质得：； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：13． 三、简答题 19. 如图，在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，根据可得，，证明，从而，代入即可求解，再证明，得到，即可得求出． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ， ， ， ， ． 20. 如图，已知在四边形中，与相交于点O，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：，   ，  ，  ，  ，  ， 又，  ； （2）9 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用． （1）可证明，可得到，从而，即可求证； （2）利用，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 21. 如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高． 【答案】小明的身高是米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点C作交于点M，过点E作交于点N，设小明的身高为米，米，根据题意可得出，，再根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：过点C作交于点M，过点E作交于点N， 设小明的身高为米，米，则米，米， 由题意得：，，米， ，， ，， 即， ， 解得， 则，解得： 经检验，是所列分式方程组的解， 答：小明的身高是米． 22. 如图，过顶点C作直线与及中线交于F、E，过D作交于M． （1）若，求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； 【小问2详解】 略 23. 如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质，得，结合，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到证明即可． （2）根据，结合得，只需证明即，故证明即可． 本题考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图矩形的边在的边边上顶点D、G分别在边、上已知． （1）当矩形为正方形时，求正方形的边长； （2）连接，当以为腰的等腰三角形时，求矩形的面积． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）过点作于， 交于，利用，由相似三角形的性质可得出，设，则，代入解方程即可； （2）分或两种情形，分别根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质可求出矩形的长和宽，再根据矩形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解： 如图， 过点作于，交于， ， ， ， ∵四边形为正方形，设， ， ， ∴，， ， ， ，解得：， ∴正方形的边长为； 【小问2详解】 当时，如图，作于， ， ， ， ∵是矩形， ， ， ， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ； 当时，如图，作于， 设，则， ∵， ， ， 解得 ， ， ，， ∴； 综上：矩形的面积为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的根据． 25. 如图，已知在菱形中，，，点E、F分别在边上，的延长线交的延长线于点G，且． （1）如果，求线段的长； （2）设，，求y与x的函数关系式； （3）连接交于点H，如果，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，证明，得到，推出，求出，即可求解； （2）过点A作与点H，连接，根据菱形的性质结合，证明是等边三角形，得到，，进而求出，根据，证明，推出，设，则，利用勾股定理即可求出，即可得出结论； （3）过点H作，垂足分别为，根据平分，得到，根据，得到，由（2）知，求出，代入（2）中关系式计算即可． 【小问1详解】 解：菱形中，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点A作与点H，连接， 菱形中，，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，则， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点H作，垂足分别为， 菱形中，平分， ， ，即， ， 由（2）知， ， ， ， 由（2）知， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形相似的判定及性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题的关键是做出相应的辅助线，熟练掌握三角形的判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $