精品解析：广东省深圳市建文外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

深圳市建文外国语学校2024-2025学年第一学期9月份月考 高二数学 本试卷共4页，19题. 全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ） A. B. C D. 2. 如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 4. 如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A B. C. D. 5. 已知正方体的棱长为1，且，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 7. 已知正方体不在同一表面上的两个顶点，，则正方体的体积为（ ） A 32 B. 64 C. 48 D. 8. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ） A. 点与点关于z轴对称 B. 点与点关于y轴对称 C. 点与点关于平面对称 D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上 12. 已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为__________． 13. 已知，则______． 14. 已知向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． （1）求的长； （2）求和夹角的余弦值． 16 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 17. 已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： （1）平面； （2）平面平面． 19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， （1）对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； （2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； （3）证明：对于中的任意两个元素，均有， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳市建文外国语学校2024-2025学年第一学期9月份月考 高二数学 本试卷共4页，19题. 全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断. 【详解】对A：设，即，因为不共面， 故不存在实数满足，则不共面，可以作为基底； 对B：因为存在实数，使得，故共面，不可作为基底； 对C：设，即，因为不共面, 故不存在实数满足，则不共面，可以作基底； 对D：设，即，因为不共面， 故不存在实数满足，则不共面，可以作基底. 故选：B. 2. 如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算，用基底表示向量. 【详解】连接AE，如图所示， ∵E是CD的中点，，，∴＝＝． 在△ABE中，，又， ∴. 故选：A. 3. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 【答案】D 【解析】 分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 4. 如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由平行六面体求出，接着由已知结合向量的数量积及其运算律求出即可求出. 【详解】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：A. 5. 已知正方体的棱长为1，且，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及向量的坐标表示即可求解. 【详解】记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为，，，则，，， 因为 ， 所以点P的坐标为． 故选：D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系计算求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为四边形是矩形，所以， 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 所以，，所以． 故选：B 7. 已知正方体不在同一表面上的两个顶点，，则正方体的体积为（ ） A. 32 B. 64 C. 48 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间两点距离公式求得正方体的体对角线长，然后求出正方体的棱长，进而求出正方体的体积. 【详解】， 又因为，两点不在同一表面上， 所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长. 设正方体的边长为a，则，即，所以正方体的体积为64. 故选：B 8. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ） A. 点与点关于z轴对称 B. 点与点关于y轴对称 C. 点与点关于平面对称 D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 【答案】BD 【解析】 【分析】结合空间直角坐标系的概念对选项逐一分析即可. 【详解】点与点关于x轴对称，故错误； 点与关于y轴对称，故正确； 点与不关于平面对称，故错误； 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故正确． 故选：. 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量的运算公式逐项判断即可. 【详解】对于A，，故，故A错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，故，故C错误； 对于D，，故，故D正确. 故选：BD 11. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意得只需即可，然后逐个分析判断. 【详解】若，则需，即， 对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上 12. 已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算法则求解即可. 【详解】， ，得， ， 即点的坐标为. 故答案：. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积、夹角公式计算可得答案. 【详解】 ． 故答案为：． 14. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量的坐标运算公式计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． （1）求的长； （2）求和夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； 【小问2详解】 ， 则. 16. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 , 则； 【小问3详解】 ，则 17. 已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案； （2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 ， 故， ， 因为互相垂直，所以， 解得或； 【小问2详解】 ， 设，则且， 解得或， 故或； 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论； （2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论． 【小问1详解】 因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， （1）对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； （2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； （3）证明：对于中的任意两个元素，均有， 【答案】（1）①线性相关，②线性相关 （2）线性无关，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（2）利用维空间向量线性相关的定义进行列式判断即可得解； （3）利用维空间向量的数量积与模的公式，结合完全平方公式即可得证. 【小问1详解】 对于①，假设与线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，即， 可取，所以线性相关， 对于②，假设线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，得， 可取，所以线性相关. 【小问2详解】 假设线性相关， 则存在不全为零的实数， 使得， 则， 因为线性无关， 所以，得，矛盾， 所以向量线性无关. 【小问3详解】 设， 则， 所以， 又， 所以 ， 当且仅当同时成立时，等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用类比法，类比平面向量到维空间向量，利用平面向量的性质与结论列式推理，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$