21.2.2公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法 1∕22 长岐中学 詹春燕 学习目标 1.了解求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 长岐中学 詹春燕 导入新课 复习引入 1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0? 长岐中学 詹春燕 问题：判断下面3个一元二次方程是否有解？怎样判断？有没有简单的方法？ （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 长岐中学 詹春燕 4 讲授新课 求根公式的推导 一 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) 能否也可以用配方法得出它的解呢？ 合作探究 长岐中学 詹春燕 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0). 方程两边都除以a,得 解: 移项，得 配方，得 即 问题：接下来能用直接开平方解吗？ 长岐中学 詹春燕 一元二次方程的求根公式 ∵a ≠0,∴4a2>0， （1）当b2-4ac ≥0时， （2）当b2-4ac ＜0时， 而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根. 长岐中学 詹春燕 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ， 当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 用公式法解一元二次方程的前提是: （1）必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); （2）b2-4ac≥0. 注意 长岐中学 詹春燕 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac. 一元二次方程根的判别式 二 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，（1）把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),确定a，b，c的值；（2）计算 的值，确定 的符号；（3）判别根的情况，得出结论. Δ=b²-4ac 长岐中学 詹春燕 9 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 > 0 = 0 < 0 ≥ 0 Δ=b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. Δ=b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. Δ=b2 - 4ac < 0时,方程无实数根. 实质上： 长岐中学 詹春燕 10 Administrator (A) - 例1:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 解：（1）∵a=3,b=4,c=－3, ∴Δ=b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2－12x+9=0,∵a=4,b=-12,c=9, ∴Δ=b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． （3）方程化为：5y2－7y+5=0,∵a=5,b=-7,c=5, ∴Δ=b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程没有实数根． 长岐中学 詹春燕 11 例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 B 解：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则Δ=b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 ，且k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B. 长岐中学 詹春燕 12 公式法解方程 三 例3 用公式法解下列方程：（1） x2-4x-7=0. 解：∵a=1,b=-4,c=-7， ∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0. 方程有两个不等的实数根 典例精析 长岐中学 詹春燕 这里的a、b、c的值是什么？ （2） 解：(2) ∵a=2,b= ,c=1 Δ=b2-4ac= =0. ∴方程有两个相等的实数根 ∴ 长岐中学 詹春燕 （3）5x²-3x=x+1 解：(3) 方程化为 ∵a=5，b=-4，c=-1 Δ=b2-4ac= ∴方程有两个不等的实数根 长岐中学 詹春燕 （4）x2+17=8x 解：（4）方程化为 ∵ a=1 , b=-8 , c=17, ∴Δ=b2-4ac= = ＜0 因为在实数范围内，负数不能开平方， 所以方程无实数根． -4 长岐中学 詹春燕 要点归纳 公式法解方程的步骤 （1）变形: 化已知方程为一般形式; （2）确定系数:用a,b,c写出各项系数; （3）计算: Δ=b2-4ac的值; （4）判断：若Δ=b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;若Δ=b2-4ac<0，则方程没有实数根. 长岐中学 詹春燕 17 求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程 解这个方程，得 精确到0.001，x1≈ 1.236，x2≈ －3.2 36 虽然方程有两个根，但是其中只有x1≈1.236符合问题的实际意义，所以雕像下部高度应设计为约1.236m． 长岐中学 詹春燕 解： ∴ 补充练习：1.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 . 当堂练习 课本第12页第1题 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有 两个不等实根或两个相等实根两种情况. 长岐中学 詹春燕 19 2.不解方程，判别关于x的方程 的根的情况. 解： 所以方程有两个实数根． 长岐中学 詹春燕 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式Δ=b2-4ac 务必将方程化为一般形式 长岐中学 詹春燕 课本第17页第4、5题 课后作业 长岐中学 詹春燕 $$