精品解析：吉林省吉林市第五中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

名校调研系列卷・八年上第一次月考试卷 数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 4. 如图，“箭头”是一个轴对称图形，已知，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 4.5cm2 D. 5cm2 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________． 8. 若等边三角形的边长是，则的周长是_________． 9. 如图所示的人字梁为了坚固，采用三角形结构，这样做的根据是三角形具有_________． 10. 如图，在中，的外角等于，等于，则的度数是__________． 11. 如图，在中，于点，________°． 12. 如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为____． 13. 如图，，点D在边上，若，则_____． 14. 如图，将透明直尺叠放在正五边形上，若直尺的下沿与边垂直于点A，与边交于点，则的度数为_________． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 若一个多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的边数． 16. 如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，求的度数． 17. 如图，已知，求证：． 18. 如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点上．请按下列要求画图． （1）在图①中画出，使的面积是6，且为钝角三角形； （2）在图②中画出，使是轴对称图形，且点在小正方形的顶点上． 20. 如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在上取一点，在小山外取一点，连接并延长，使，过点作的平行线，交的延长线于点，那么测量的长就是的长，请你说明其中的道理． 21. 如图所示，在中，平分， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 22. 如图，中，，垂直平分，交于点D，交于点E，连接． （1）若，的周长是20，求的长； （2）若，求的度数． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，点是内一点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 ． （1）画出关于x轴对称的； （2）点的坐标为 　 ，点的坐标为　 ； （3）点与点Q关于y轴对称，若，求点P的坐标． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 【初步感知】 如图①，和都是等边三角形，连接．小组同学发现： （1）与全等，依据是__________（填写全等三角形判定定理，用字母表示即可）； （2）线段与的数量关系为__________（不用证明）； 【拓展探究】 如图②，和都是等腰三角形，相交于点． （3）线段与之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （4）直接写出的度数． 26. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点也随之停止运动．连接，，设点的运动时间为． （1）当点在线段上运动时，的长为______，的长为______（用含的式子表示）； （2）当与的一条边垂直时，求的值； （3）在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷・八年上第一次月考试卷 数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：由3、4、7可得，，故不能组成三角形； 由6、7、12可得，，故能组成三角形； 由5、8、14可得，，故不能组成三角形； 由3、3、8可得，，故不能组成三角形； 故选：B． 3. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的外角和是360度，因为是正多边形，所以每一个外角都是45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数． 【详解】解：360÷45=8，所以这个正多边形是正八边形． 故选C． 4. 如图，“箭头”是一个轴对称图形，已知，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键．根据轴对称图形的性质即可求出的度数． 【详解】 “箭头”是一个轴对称图形，， ， 故选：A． 5. 如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有共5种，主要培养学生的辨析能力．根据“”对A进行判断；根据“”对B进行判断；根据“”对C进行判断； D选项符合，不能证明． 【详解】解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意； 由，利用可证明，所以B选项不符合题意； 由，利用可证明，所以C选项不符合题意； 由，符合，不能证明，所以D选项符合题意． 故选D． 6. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 4.5cm2 D. 5cm2 【答案】C 【解析】 【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可． 【详解】延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ∠ABP＝∠EBP BP＝BP ∠APB＝∠EPB， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于y轴对称点的坐标，根据关于y轴对称点的坐标特点，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 8. 若等边三角形的边长是，则的周长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形三条边相等得到，据此根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解；∵等边三角形的边长是， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 9. 如图所示的人字梁为了坚固，采用三角形结构，这样做的根据是三角形具有_________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性，即可得到答案． 【详解】解：人字梁为了坚固，采用三角形结构， 这样做的根据是三角形具有稳定性． 故答案为：稳定性． 10. 如图，在中，的外角等于，等于，则的度数是__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质； 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：∵的外角等于，等于， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在中，于点，________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形以及三角形的内角和，根据题目要求算出角度即可． 【详解】 故答案为：． 12. 如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此得到，由此求出的长，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵平分交于点D，， ∴， ∵ ∴， 故答案为：4． 13. 如图，，点D在边上，若，则_____． 【答案】##145度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质，根据全等三角形的对应角相等，得到，根据外角的性质推出，再用平角的定义，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，将透明直尺叠放在正五边形上，若直尺的下沿与边垂直于点A，与边交于点，则的度数为_________． 【答案】##126度 【解析】 【分析】根据多边形内角和的求出正五边形每个内角，然后根据，得，求出，再利用三角形的外角性质即可解决问题．本题考查多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理和外角性质． 【详解】解：五边形是正五边形 ∴它的五个内角均相等， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 若一个多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为． 【解析】 【分析】利用多边形的内角和公式与外角和为建立方程即可求解． 【详解】设这个多边形是边形， 则， 解得：． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，解题的关键是结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解． 16. 如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据作图方法可知，则，据此根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图方法可知， ∴， ∴． 17. 如图，已知，求证：． 【答案】 解：在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接根据即可证明． 【详解】略 18. 如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：， 又， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由． 【详解】略 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点上．请按下列要求画图． （1）在图①中画出，使的面积是6，且为钝角三角形； （2）在图②中画出，使是轴对称图形，且点在小正方形的顶点上． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了在网格中求三角形的面积，等腰三角形的性质，轴对称图形的定义： （1）画一个第为3，高为4的钝角三角形即可； （2）画一个以为腰的格点等腰三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在上取一点，在小山外取一点，连接并延长，使，过点作的平行线，交的延长线于点，那么测量的长就是的长，请你说明其中的道理． 【答案】 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，解题关键是证明．首先根据可得，然后利用“”证明，即可证明． 【详解】解：略． 21. 如图所示，在中，平分， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记等腰三角形的判定是解本题的关键； （1）先证明，再证明，可得，从而可得答案； （2）先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 22. 如图，中，，垂直平分，交于点D，交于点E，连接． （1）若，的周长是20，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意运用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． （1）由垂直平分，可得，根据的周长为20，得，再求解即可； （2）先根据等边对等角，求，由线段垂直平分线的性质得：，再由等边对等角得：，再求解即可． 【小问1详解】 ∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵的周长， ∴； 【小问2详解】 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，点是内一点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一定理，三角形面积． （1）只需要证明，即可证明； （2）如图所示，延长交于D，根据三线合一定理得到，，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，延长交于D， 由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 ． （1）画出关于x轴对称的； （2）点的坐标为 　 ，点的坐标为　 ； （3）点与点Q关于y轴对称，若，求点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）， （3）点P的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣6） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称，关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）首先确定，，三点关于轴对称点的位置，然后依次连接即可； （2）根据（1）所画图形写出对应点坐标即可； （3）根据点关于关于轴对称的点的坐标为，即可确定点的坐标，再由，求出a的值，进而确定点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 又∵， ∴， ∴或， ∴当时，；当时，， ∴点的坐标为或． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 【初步感知】 如图①，和都是等边三角形，连接．小组同学发现： （1）与全等，依据是__________（填写全等三角形判定定理，用字母表示即可）； （2）线段与的数量关系为__________（不用证明）； 【拓展探究】 如图②，和都是等腰三角形，相交于点． （3）线段与之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （4）直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）； （3）仍然成立，证明如下： ∵，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （4） 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到； （3）类比（1）证明，根据全等三角形的性质得到； （4）根据全等三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：（1）和都是等边三角形， ∴，，， ，， ， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵ （全等三角形的对应边相等）， 故答案为：； （3）略 （4）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点也随之停止运动．连接，，设点的运动时间为． （1）当点在线段上运动时，的长为______，的长为______（用含的式子表示）； （2）当与的一条边垂直时，求的值； （3）在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）或或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据路程，时间，速度关系求解即可； （2）分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，同法可得，如图3中，当时，同法可得，分别求解即可； （3）如图4-1中，过点C作于点T，用t表示出，，再分三种情况分别画图，结合方程，三线合一，特殊位置可得答案． 【小问1详解】 解：由题意，． 【小问2详解】 解：如图1中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2中，当时，同法可得， ∴， ∴； 如图3中，当时，同法可得， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8； 【小问3详解】 解：如图，过点C作于点T， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，而， 当时，， ∴（不合题意舍去）． 当时，如图， 过作于，过作于， 由三线合一可得：，， ∵， ∴不合题意舍去， 当时，如图， 此时运动到的中点，为的中点，为的中点，， ∴， ∴， 如图4-2中，当时，过点P作于T， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为3或9． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $