1.1.2 探索勾股定理课件2024-2025学年 北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师 1 探索勾股定理（2） 学习目标 1.掌握用面积法验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 2.学习勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. 复习回顾 上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2. A C B a b c 3 你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流。 b a c 勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把图①称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案（如图②）就取材于此图。 ① ② 课堂导入 你是如何做的？与同伴进行交流. 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理.如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？ 6 新知探究 毕达哥拉斯证法 a+b S正方形ABCD= c2+2ab=(a+b)2 c2=a2+b2 7 赵爽弦图 a b a c b c a b 大正方形的面积可以表示为c2. 也可以表示为 . 4× ab+(b-a)2 因为c2=4× ab+(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 所以c2=a2+b2 朱实 黄实 a b b b b c c c c a a a 设大正方形的面积为 S， 则 S = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab. 又因为 S = 4× ab + c2 = 2ab + c2， 1 2 所以 a2 + b2 = c2. 割补法 你能看懂下图所示的“青朱出入图”是如何验证勾股定理吗？ 中国的“青朱出入图” 以直角三角形的勾、股、弦为边，分别作出正方形 勾自乘为朱方 股自乘为青方 弦2=朱方+青方 弦2=勾2+股2 （教材P7习题1.2第2题）1876年，美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系. 美国总统证法 利用面积法进行证明 · 拼接法 a b c b a c 设梯形的面积为 S， 则 S = (a+b)(a+b) = (a2 +b2+2ab)， 1 2 1 2 又因为 S = ab + ab+ c2 = (2ab + c2)， 1 2 1 2 1 2 1 2 所以 a2 + b2 = c2. 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. B C A a（勾） c（弦） b（股） B C A a（勾） c（弦） b（股） 注意：1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 课堂练习 如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接 M，O，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是 5000 万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？ 解：可以计算出 MO、OQ 长度分别为 50 km，130 km， 合计长度为 180 km，造价预计为 90 亿元． 16 课堂小结 验证勾股定理及应用 拼图验证 应用 1.拼出图形 2.写出图形面积的表达式 3.找出相等关系 4.导出勾股定理 17 第一章 勾股定理 北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师 课程结束 $$