精品解析：四川省射洪中学校2024-2025学年高三上学期一模考试数学试题

射洪中学高2022级高三一模考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名､考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷选择题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题：“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若满足，则（ ） A. -3 B. 2 C. -5 D. 4 3. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知，则下列结论不正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 7. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 8. 已知函数是定义在或上的偶函数,且时,.若函数,则满足不等式的实数a的取值范围是 A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 某科技企业为了对一种新研制专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 产品的销量与单价成负相关 B C. 若单价50元时，估计其销量为44件 D. 为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是幂函数且图象与轴无交点，则的值为__． 13. 函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为______. 14. 定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，函数的定义域为. （1）若集合，求集合； （2）在（1）条件下，若，求； （3）在（1）条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 17. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 18. 已知（且）是上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）若关于的方程在区间内只有一个解，求的取值集合； （3）设，记，是否存在正整数，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由． 19. 设函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值； （2）当时恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 射洪中学高2022级高三一模考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名､考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷选择题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题：“”的否定为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定，既否定量词，又否定结论的原则可得. 【详解】根据特称命题的否定，既否定量词，又否定结论的原则可得： 命题“，”的否定是命题“，”. 故选：A. 2. 已知向量，若满足，则（ ） A. -3 B. 2 C. -5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量运算，即可求得正确答案. 【详解】设向量，则， 因为，所以， 故. 故选：A. 3 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数关系计算可得结果. 【详解】因为，， 故，故， 故选：B． 4. 已知，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，不等式两边同时乘以，则，故B正确； 对于C，， 因为，所以， 所以，即，故C错误； 对于D，因为， 因为，所以，，，故D正确. 故选：C. 5. 如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及函数值符号判定选项即可. 【详解】由图象可知函数为偶函数，且， 四个选项函数的定义域均为， 对于A项，，即为偶函数， 而，故A错误； 对于B、D项，， ，显然两项均为奇函数，故B、D错误； 对于C项，，即为偶函数， 而，故C正确. 故选：C 6. 已知函数，且，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数在上的单调性，再比较大小. 【详解】，当时，， 所以在单调递增， 因为，所以，即. 故选：D 7. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 【答案】C 【解析】 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 8. 已知函数是定义在或上的偶函数,且时,.若函数,则满足不等式的实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得关于对称,且当时,为增函数,由可得,利用函数的对称性只需即可求解. 【详解】当时,，即函数在为增函数， 所以在为增函数， 令，令， 所以，由对勾函数的单调性可知在为增函数， 所以在为增函数， 由题可知函数关于对称, 且当时,为增函数, 而由不等式可得,,从而﹐ 得实数a的取值范围是. 故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性的应用以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 产品的销量与单价成负相关 B. C. 若单价为50元时，估计其销量为44件 D. 为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元 【答案】AB 【解析】 【分析】由回归系数，可得判定A正确；求得样本中心，代入回归方程，求得的值，可得判定B正确；令，求得，可得判定C不正确；根据题意，得出销售额的函数，结合二次函数的性质，可得判定D不正确. 【详解】对于A中，由回归方程，可得回归系数， 所以产品的销量与单价成负相关，所以A正确； 对于B中，由表格中的数据，可得， ，即样本中心为， 将代入回归直线方程，都可， 解得，所以B正确； 对于C中，由回归方程，令，可得， 即单价为50元时，估计其销量为46件，所以C不正确； 对于D中，设销售额为， 可得， 所以为了获得最大的销售额，单价应定位元，所以D错误. 故选：AB. 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知等式可得，由，，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误. 【详解】由，，得：； 对于A，（当且仅当，即，时取等号），A正确； 对于B，（当且仅当，即，），B错误； 对于C，（当且仅当，即，时取等号）， ，解得：（当且仅当，时取等号），C正确； 对于D，（当且仅当，即，时取等号）， 由C知：（当且仅当，时取等号）， （当且仅当，时取等号），D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意分析可知为偶函数，，且的周期为8，利用赋值法结合题意逐项分析判断. 【详解】已知函数，的定义域均为， 因为，， 可得， 又因为为奇函数，则， 可得，即为偶函数， 则，即， 可得， 所以，可知的周期为8. 对于选项A：因为， 令，则，， 可得，，故A正确； 对于选项B：因为， 令，可得，故B正确； 对于选项C：因为，且为偶函数， 则， 令，可得， 又因为， 令，则，， 可得，可得， 但由题设条件无法推出，故C错误； 对于选项D：因为的周期为8，故，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 第II卷非选择题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是幂函数且图象与轴无交点，则的值为__． 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到或，再判断与轴是否有交点即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，，因为，所以与轴无交点. 当时，，过，与轴有交点，舍去. 综上：. 故答案为：2 13. 函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】分类讨论，画出函数的图象，当时，令，求得；当时，令，解得，结合题意，即可求得的最大值，得到答案. 【详解】由函数， 当时，；当时，， 作出的图象，如图所示， 由图象得，当时，令，解得； 当时，令，解得， 所以在上的最大值为1，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 14. 定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的性质求解析式，再利用数列的递推思想构造等比数列，即可求和，从而用数列的单调性来求出最小值. 【详解】由二次函数最低点为可知：， 又，所以， 则.由题意得， 又由，得， 因为，所以， 即，又， 所以，则，即， 故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以. 令.，则， 故当时，，当时，， 故. 故答案：. 【点睛】方法点睛，根据二次递推，则需要通过构造两边对数，来得到等比数列递推关系. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，函数的定义域为. （1）若集合，求集合； （2）在（1）条件下，若，求； （3）在（1）条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由对数函数的性质，得到，求得集合或，结合补集的运算，即可求解； （2）当时，求得，利用并集的运算，即可求解； （3）根据题意，转化为A是的真子集，分类讨论，即可求解； 【小问1详解】 由函数，可得， 即，解得或，所以集合或， 则 【小问2详解】 当时，可得集合， 由（1）知集合，所以. 【小问3详解】 若“”是“”的充分不必要条件，所以A是的真子集， 当时，即时，此时，满足A是的真子集； 当时，则满足且不能同时取等号，解得， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义得到数列为以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1），可得， 所以数列的前项和为：. 17. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 【答案】（1）有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据二联表中数据，求解卡方，即可与临界值比较作答， （2）根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时的有3人，即可利用超几何分布的概率公式求解. 【小问1详解】 零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联. 由列联表中的数据，可得， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异. 【小问2详解】 抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人， 所以所有可能的取值为， 所以，，， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 随机变量的数学期望 18. 已知（且）是上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）若关于的方程在区间内只有一个解，求的取值集合； （3）设，记，是否存在正整数，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，且正整数的取值为或或 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义可求得实数的值，再由结合实数的取值范围可求得实数的值，即可得出函数的解析式； （2）分析可知关于的方程在时只有一个根，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的等式与不等式，解之即可. （3）求得，利用倒序相加法可求得，则问题转化为关于的不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，结合参变量分离法可求得满足条件的正整数的取值. 【小问1详解】 解：因为函数（且）是上的奇函数，则， 即， ，可得，即， 又因为，整理得， 因为且，解得，因此，. 【小问2详解】 解：因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 由可得， 可得，即，则，即， 所以，关于的方程在时只有一解. 因为. 当时，则有，解得，合乎题意； 当时，由，可得，. 由题意可得或或，解得或或. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 解：， 所以，， 则 ， 所以，， 由，即， 当时，则不等式对任意的恒成立. 当时，由可得， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 因为，故，，解得. 综上所述，符合条件的正整数的值为：或或. 19. 设函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值； （2）当时恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）求出导函数，并设，求得，由于，因此根据，以及分类讨论是否恒成立，从而得参数范围； （3）由（2）不等式变形得，再用代后变形及放缩得，然后令后相加可证． 【小问1详解】 ，由题意曲线在点处的切线方程为， 则，解得； 【小问2详解】 ，， ，令（），则， 当，即时，，即是上的增函数，因此， 是增函数，所以，不合题意，舍去； 当即时，，即是上的减函数，所以， 所以是上的减函数，从而恒成立， 当即时，， 时，，在递增，时，，在递减， 又，所以时，恒成立，即恒成立，此时在上递增，因此，与题意不合，舍去， 综上． 【小问3详解】 由（2）知时，，即，从而， 所以，又， 所以， 此不等式中分别令得 ，，，， 将这个不等式相加得． 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题，难点在于第（3）小题，关键是利用（2）中不等式变形及不等式的性质得出，然后分别令后相加得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$