专题04 函数的奇偶性重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题04 函数的奇偶性重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 由奇偶性求参数 题型六 由函数奇偶性解不等式 题型七 奇偶函数对称性的应用 知识点一：函数的奇偶性概念 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二：判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三：关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 【经典例题一 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数为偶函数的是 （填序号）． ①；②；③；④． 3．（2024高一·全国·专题练习）判断下面函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） 【经典例题二 由奇偶性求函数解析式】 【例2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）设是定义域为的奇函数，，当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 3．（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)求在上的解析式. 【经典例题三 函数奇偶性的应用】 【例3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知函数，a，，且，求的值. 【经典例题四 抽象函数的奇偶性】 【例4】（23-24高三上·江苏扬州·期中）已知 ，且，则是（　　） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定 1．（23-24高三上·山东·开学考试）已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东菏泽·一模）定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则 . 3．（21-22高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数的定义域均为R，对任意x，y恒有，且． (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明． 【经典例题五 由奇偶性求参数】 【例5】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 1．（2023·山东·模拟预测）若函数在其定义域上是奇函数，则的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．不能确定 2．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 3．（21-22高一上·安徽安庆·期中）已知二次函数， (1)若为偶函数，求的值． (2)若在上最大值为4，求． 【经典例题六 由函数奇偶性解不等式】 【例6】（23-24高一上·山东临沂·期中）已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图像如图所示，则不等的解集是 ． 3．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数. (1)证明：是奇函数； (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 【经典例题七 奇偶函数对称性的应用】 【例7】（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（    ） A． B． C．0 D．2 1．（20-21高一·江苏·课后作业）已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2021)＝k，则f(－2021)等于（    ） A．k B．－k C．1－k D．2－k 2．（2022高三·全国·专题练习）定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知函数在y轴右边的图象如图所示. （1）若是偶函数，试画出函数在y轴左边的图象； （2）若是奇函数，试画出函数在y轴左边的图象. 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 2．（2024·河北保定·二模）若函数是定义在R上的奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 3．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 5．（22-23高一上·广东湛江·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数不过原点，且对，满足则下列结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．若，则 D． 7．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论正确的是（   ） A．若具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0 B．若不具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数不存在 C．若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对 D．若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对 8．（2022高三·全国·专题练习）若函数f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为R上的偶函数，当﹣1≤x≤2时，下列说法正确的是（　　） A．m＝1 B．m＝2 C．fmin（x）＝2 D．fmax（x）＝6 9．（20-21高一上·江苏南通·期中）已知偶函数在区间上是增函数,则满足的的取值是（    ） A．0 B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏淮安·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则下列函数图象成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ． 12．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知函数的定义域为R.当时，；当时，；当时，，则 ； . 13．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 14．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是 15．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 16．（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 17．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在区间上的函数为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 18．（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 19．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数，定义域为 (1)用定义法证明：函数在区间上是减函数； (2)解关于x不等式 20．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知定义在R上的偶函数满足：当时， (1)在平面直角坐标系中画出函数在R上的图象，并根据图像写出单调递减区间； (2)求出时的解析式； (3)由图象写出不等式的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数的奇偶性重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 由奇偶性求参数 题型六 由函数奇偶性解不等式 题型七 奇偶函数对称性的应用 知识点一：函数的奇偶性概念 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二：判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三：关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 【经典例题一 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出解析式，逐项判断即可. 【详解】因为， 对于A选项，，定义域为：，为非奇非偶函数； 对于B选项，，定义域为：，为非奇非偶函数； 对于C选项，，为非奇非偶函数； 对于D选项，，为奇函数； 故选：D. 1．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合初等函数的性质，以及函数奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意； 对于B中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意； 对于C中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意； 对于D中，设，可得的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，符合题意. 故选：D. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数为偶函数的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】利用奇函数、偶函数定义域关于原点对称的性质可得①②④中的函数定义域不关于原点对称，③中满足偶函数定义，即可得出结论. 【详解】对于①④，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数； 又②中，由得其定义域为，显然不关于原点对称，故②也是非奇非偶函数； 对于③，其定义域为R，且对都满足，故③是偶函数． 故答案为：③ 3．（2024高一·全国·专题练习）判断下面函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）奇函数 【分析】利用奇偶函数的定义逐个判断即可. 【详解】（1）因为，且的定义域为R，所以为偶函数； （2）因为，且的定义域为R，所以为奇函数； （3）因为， 且的定义域为R，所以为奇函数； (4)因为，且的定义域为R， 所以为奇函数. 【经典例题二 由奇偶性求函数解析式】 【例2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）设是定义域为的奇函数，，当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据奇函数的性质得到，从而得到，再计算即可. 【详解】是定义域为的奇函数，， 当时，， 所以， 所以当时，，. 故选：A 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义，直接求函数解析式. 【详解】由函数为偶函数， 得当时，，， 故选：D. 2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案. 【详解】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)求在上的解析式. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）求出即得解； （2）根据奇函数的定义和性质求出的解析式即得解. 【详解】（1）由题得， 所以. （2）设，则， 则， 因为函数是R上的奇函数，所以， 综上所述. 【经典例题三 函数奇偶性的应用】 【例3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求解即可. 【详解】由题意， 故，又，则. 故选：C 1．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数性质求解即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】1 【分析】令，根据，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，计算得解. 【详解】由，令， ，又，分别是定义在R上的奇函数和偶函数， ，即. 故答案为：1. 3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知函数，a，，且，求的值. 【答案】3. 【分析】先根据求出，进而求出. 【详解】由题意：， 所以. 【经典例题四 抽象函数的奇偶性】 【例4】（23-24高三上·江苏扬州·期中）已知 ，且，则是（　　） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定 【答案】A 【分析】由赋值法得出，再由，结合定义判断即可. 【详解】取，则，因为，所以. 取，则，即. 即函数是偶函数. 故选：A 1．（23-24高三上·山东·开学考试）已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域为的奇函数并结合赋值法得出结果. 【详解】因为是上的奇函数，所以， 又函数， 令，即， 所以， 所以函数的图象恒过点. 故选：D. 2．（2023·山东菏泽·一模）定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则 . 【答案】1 【分析】根据为偶函数、为奇函数的性质，利用赋值法可得答案. 【详解】若为偶函数，为奇函数， 则，， 令，则，即， 令，则，即， 又因为，所以. 故答案为：1. 3．（21-22高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数的定义域均为R，对任意x，y恒有，且． (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 【分析】（1）令，结合可得答案； （2）结合及奇偶函数定义可得答案. 【详解】（1）令得，， 所以， 又，所以． （2）是奇函数， 证明： 又因为函数的定义域为R，所以是奇函数． 【经典例题五 由奇偶性求参数】 【例5】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称即可得解. 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以，解得. 故选：C. 1．（2023·山东·模拟预测）若函数在其定义域上是奇函数，则的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用奇函数定义域关于原点对称可得或，经检验符合题意. 【详解】函数在其定义域上是奇函数， 由于奇函数定义域关于原点对称，所以， 即，解得或， 由区间定义可知，当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 可得. 故选：B． 2．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 【答案】 【分析】法一：先利用求得，然后代入验证；法二：利用偶函数的定义建立方程求解即可. 【详解】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得. 故答案为： 3．（21-22高一上·安徽安庆·期中）已知二次函数， (1)若为偶函数，求的值． (2)若在上最大值为4，求． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由偶函数的性质得到关于的方程，从而得解； （2）利用二次函数对称轴与所给区间的关系，分类讨论求出的最大值，从而得解． 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 即，则恒成立， 由于的任意性，则； 当时，定义域为，且， 所以. （2）因为， 当，即时，在上单调递减， 所以，解得，满足要求； 当，即时， 则，解得或（舍去）； 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，不满足要求； 综上，或. 【经典例题六 由函数奇偶性解不等式】 【例6】（23-24高一上·山东临沂·期中）已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用为偶函数关于轴对称，故越靠近轴，函数值越小，从而解出不等式. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小， 因为， 所以，解得：． 故选：A. 1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合奇函数的对称性，即不等式的性质即可求. 【详解】因为定义在的奇函数在单调递减，且， 所以在单调递减，且， 所以当，， 当，， 所以若，则或或或或 解得或， 所以x的取值范围是. 故选：C 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图像如图所示，则不等的解集是 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，补全其在上的图像，由知，函数的值异号，结合图像可得不等式的解集. 【详解】如图所示，作出函数与在上的图像， 由图像，当时，函数的值异号， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 3．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数. (1)证明：是奇函数； (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用换元法，结合奇函数的定义进行证明即可； （2）利用奇函数的性质，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）令，则. 所以 的定义域为R，关于原点对称， . 所以是奇函数； （2）因为不等式，且是奇函数. 所以. ， 图象如下： ①当，即时，则有，解得； ②当时，即时，则有， 解得；. ③当，即时，不成立， 综上，的取值范围是. 【经典例题七 奇偶函数对称性的应用】 【例7】（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】首先根据题意得到关于对称，即，从而得到，再解方程即可. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 所以关于对称，即. 当时，， 当时，，， 所以. 因为， 所以或， 解得，，，， 所以. 故选：A 1．（20-21高一·江苏·课后作业）已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2021)＝k，则f(－2021)等于（    ） A．k B．－k C．1－k D．2－k 【答案】D 【分析】方法一：令g(x)＝ax3＋bx(ab≠0)，g(x)是奇函数，利用奇偶性即可求解；方法二：f(－x)＋f(x)＝2，即可求解. 【详解】方法一：令g(x)＝ax3＋bx(ab≠0)，则g(x)是奇函数， 从而f(－2021)＝g(－2021)＋1＝－g(2021)＋1. 又因为f(2021)＝k，所以g(2021)＝k－1， 从而f(－2021)＝－(k－1)＋1＝2－k. 方法二：因为f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx＋1＋ax3＋bx＋1＝2， 所以f(－2021)＋f(2021)＝2. 又因为f(2021)＝k，所以f(－2021)＝2－k. 故选：D 2．（2022高三·全国·专题练习）定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】2 【分析】由题意可得的最大最小值分别为，，由奇函数的性质可得，变形可得答案． 【详解】函数为奇函数，， 又的最大值为，最小值为， 又，即为奇函数， 且的最大最小值分别为，， 由奇函数的性质可得， 解得． 故答案为：2． 3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知函数在y轴右边的图象如图所示. （1）若是偶函数，试画出函数在y轴左边的图象； （2）若是奇函数，试画出函数在y轴左边的图象. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【分析】（1）把曲线的几个特征点关于轴对称，然后用光滑曲线连接， （2）把曲线的几个特征点关于原点对称，然后用光滑曲线连接． 【详解】（1）把曲线的几个特征点关于轴对称，然后用光滑曲线连接，如下图右边部分： （2）把曲线的几个特征点关于原点对称，然后用光滑曲线连接，如下图左边部分： 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】令，或，分类讨论可求，判断A；令，可得，进而可求，判断B；由B可得，可判断CD； 【详解】对于A：令，得，即，所以或． 当时，不恒成立，故，故A错误． 对于B：解法一：令，得，又， 所以，故，故B错误． 解法二 ：令，得，又，所以，故B错误． 对于C、D：由B选项可知，则，所以为奇函数，故C错误，D正确． 故选：D. 2．（2024·河北保定·二模）若函数是定义在R上的奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质可得，进而可得，，即可求解. 【详解】设，则，即， 即，所以. 因为，所以，. 故选：A 3．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】根据题意，令、取特殊值逐一验证四个选项即可. 【详解】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误. 故选：C 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性结合函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 当时，在上单调递增，且，， 当时，根据奇函数的性质可知在上单调递增，且， ， 所以. 故选：D. 5．（22-23高一上·广东湛江·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质可知定义域关于原点对称，由此列出方程，求得答案. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得, 而当时，函数是上的偶函数， 所以. 故选：A. 6．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数不过原点，且对，满足则下列结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】令、、代入关系式判断A、C、D；令，结合奇偶性定义判断B. 【详解】A：令，则，又不过原点，即，可得，对； B：令，则，结合A结论知：，为偶函数，错； C：令，则，故，错； D：令，则，故，对. 故选：AD 7．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论正确的是（   ） A．若具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0 B．若不具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数不存在 C．若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对 D．若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对 【答案】ACD 【分析】利用奇偶性的定义即可判断A选项；通过举例，即可判断B选项；通过构造，即可判断C选项；通过构造，即可判断D选项. 【详解】对于A，，则， 当为奇函数时，则，即； 当为偶函数时，则，即， 即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A正确； 对于B，当，时，不具有奇偶性， 满足的奇函数与偶函数存在，故B错误； 对于C，为奇函数时，令奇函数，偶函数，则， ，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故C正确； 对于D，为偶函数，令奇函数，偶函数，则， ，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故D正确. 故选：ACD 8．（2022高三·全国·专题练习）若函数f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为R上的偶函数，当﹣1≤x≤2时，下列说法正确的是（　　） A．m＝1 B．m＝2 C．fmin（x）＝2 D．fmax（x）＝6 【答案】BCD 【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）＝（m﹣1）x2﹣（m﹣2）x+（m2﹣7m+12），分析可得m的值，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，函数f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为R上的偶函数， 则有f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）＝（m﹣1）x2﹣（m﹣2）x+（m2﹣7m+12） 必有m﹣2＝0，即m＝2， 则f（x）＝x2+2，为开口向上的二次函数，对称轴为 当﹣1≤x≤2时，其最小值为f（0）＝2，最大值f（2）＝6， 故选：BCD 9．（20-21高一上·江苏南通·期中）已知偶函数在区间上是增函数,则满足的的取值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．． 【详解】由题意，解得，只有BC满足． 故选：BC． 10．（23-24高一上·江苏淮安·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则下列函数图象成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合新定义，根据函数图象成中心对称的充要条件逐项判断即可. 【详解】对于选项A，设的图象关于点成中心对称图形， 则为奇函数， 所以，所以， 因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得， 所以的对称中心为，符合题意； 对于选项B，因为， 所以关于直线对称，结合函数在上单调递减，在上单调递增，不符合题意； 对于选项C，设的图象关于点成中心对称图形， 则为奇函数， 所以， 所以， 因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得， 所以的对称中心为，符合题意； 对于选项D，设的图象关于点成中心对称图形， 则为奇函数， 所以， 所以， 化简得， 因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得， 所以的对称中心为，符合题意. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：按照函数成中心对称的充要条件转化为奇函数问题，利用奇函数定义求解即可. 11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】令，，即可判断、的奇偶性，再根据奇偶性求出. 【详解】令，，， 则，， 所以为奇函数，为偶函数， 又，且，， 所以，， 又， 所以. 故答案为： 12．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知函数的定义域为R.当时，；当时，；当时，，则 ； . 【答案】 0 【分析】赋值法求出；利用当时，，得到，求出，得到答案. 【详解】因为当时，，令得：， 因为当时，，故，所以， 则； 因为当时，， 所以， 其中，故， 所以. 故答案为：0，. 13．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得. 【详解】函数是奇函数，， 当时，，， 而当时，，则， 当时，，， 而当时，，则， 所以，. 故答案为： 14．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是 【答案】 【分析】先由函数是偶函数求出；再根据偶函数的特点及函数的单调性列出不等式组即可求解. 【详解】由函数为定义在上的偶函数，可得，解得：. 所以函数为定义在上的偶函数，在上单调递增. 因为，即， 所以，解得. 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数奇偶性和单调性的综合运用.解题关键在于：先根据偶函数定义域关于原点对称列出方程求得；再根据偶函数的特点及函数单调性列出不等式组即可求解. 15．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解. 【详解】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：6. 16．（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)奇函数 (7)偶函数 (8)非奇非偶函数 【分析】利用奇偶函数的定义逐个判断即可. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （3）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （4），的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （5）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （6）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以. 又，所以是奇函数. （7）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （8）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 17．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在区间上的函数为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】(1) (2)函数在区间上为增函数,证明见解析. 【分析】（1）依题意函数图象必过原点，由此求出值即得解析式； （2）运用定义法的步骤证明函数单调性即可. 【详解】（1）由题意知：，即得：，故函数的解析式为：. （2）函数在区间上为增函数.理由如下： 任取且，由， 因，故，，，即， 则在区间上为增函数. 18．（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数，证明见解析； 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 19．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数，定义域为 (1)用定义法证明：函数在区间上是减函数； (2)解关于x不等式 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由定义证明即可； （2）由奇偶性的定义以及单调性解不等式即可. 【详解】（1）任取，则 ， 因为，所以，，，， 因此，即，所以函数在区间上是减函数； （2）由可得， 因为，定义域为关于原点对称，所以， 因此是奇函数；所以不等式可化为， 又函数在区间上是减函数，所以，解得 所以原不等式的解集为 20．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知定义在R上的偶函数满足：当时， (1)在平面直角坐标系中画出函数在R上的图象，并根据图像写出单调递减区间； (2)求出时的解析式； (3)由图象写出不等式的解集. 【答案】(1)答案见解析； (2)， (3)或． 【分析】（1）作出二次函数在的图象，再将其关于轴对称即可得． （2）根据偶函数的定义求解； （3）由图象分类讨论可得． 【详解】（1）先作出二次函数在的图象，再将关于原点对称，两者结合即得函数图象，如图： （2）时，； （3）或， 由图象得或， 所以不等式的解集为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$