精品解析：辽宁省抚顺市新宾县2023-2024学年八年级下学期期中教学质量检测数学试题

2023～2024学年度第二学期期中教学质量检测 八年级数学试卷 考试时间： 100分钟 试卷满分 120分 ※ 注意事项： 考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案． 【详解】(A)原式=2 ，故A不是最简二次根式； (C)原式=2 ，故B不是最简二次根式； (D)原式= ，故D不是最简二次根式； 故选B. 【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握运算法则 2. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式中的被开方数都必须是非负数，由此得到，即可求出x的取值范围． 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴解得． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数都必须是非负数． 3. 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案． 【详解】解：A、三角形的三边为，，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意； B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意； C、三角形的三边为，，，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意； D、三角形的三边为，，，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 5. 如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先利用线段垂直平分线的性质可得，然后设设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6. 有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理即可求得． 【详解】解：，，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握和运用勾股定理是解决本题的关键． 7. 如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理：有一个角为直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形逐一判断即可． 【详解】解：①若，根据对角线相等的菱形是正方形即可得菱形是正方形，①符合要求； ②是菱形具有的性质，不能得出菱形是正方形，②不符合要求； ③，则，根据有一个角为直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，③符合要求； ④若菱形是正方形，则，由，可得，故不能得出菱形是正方形，④不符合要求； 故符合要求的为①③， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定定理以及正方形与菱形的关系，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 8. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：． 9. 如图，在Rt△ABC中，，点D，E分别是边AB，BC的中点，延长AC至F，使，若，则EF的长是（ ） A. 4.8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形中位线定理得到DE∥AC，DE=AC，根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，AB=10， 则CD=AB=5， ∵点D，E分别是边AB，BC的中点， ∴DE∥AC，DE=AC， ∵CF=AC， ∴DE=CF， ∴四边形DCFE为平行四边形， ∴EF=CD=5， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 10. 如图，分别以的三边，为边向外侧作正方形．正方形．正方形，连接，再过A作于K．延长交于点M． ①； ②； ③当时，． 其中正确的结论共有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．①根据正方形的性质可得，再由不一定是直角，可判断①；过点E作于R，则，再证明，可得，同理可得：，从而得到，可得到，可判断②；分别过点A、G作于K，于Q，根据 ，可判断③． 【详解】解：①由正方形的性质可得：， ∵不一定是直角， ∴不一定成立，故结论①不正确； ②如图，过点E作延长线于R，过点F作延长线于点T，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵， ∴， 如图，分别过点A、G作于K，的延长线于Q， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论③错误； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果等于_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得． 【详解】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2， 故答案为：2 【点睛】本题考查二次根式的混合运算． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理求平面直角坐标系中两点的距离，解题关键是掌握勾股定理． 直接利用勾股定理求解． 【详解】解：点到原点的距离是， 故答案为：5． 13. 若与最简二次根式能合并，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．把化为最简根式，然后根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：， 则由题意得，， 解得：， 故答案为：2． 14. 如图，在中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再以点A为圆心，为半径画弧，交于点E，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，线段作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据作图可知，因此，同样根据作图可得，再根据勾股定理可求得，即可进一步得到答案． 【详解】以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D， ， ， 以点A为圆心，为半径画弧，交于点E， ， ， ， ． 故答案为：2． 15. 如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键．连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得． 【详解】解：连接，交于，连接交于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ， 当点与重合时，取得最小值． 四边形是边长为6的菱形，， ，是等边三角形， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解； （2）先计算乘除，再计算加减，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 17. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法和完全平方公式，原式可变形为，再利用，，求代数式的值． 【详解】∵， ∴，， ∴原式． 18. 如图，长方形的长为，宽． （1）长方形的周长是多少? （2）在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 【答案】（1）长方形的周长为 （2）剩余部分的面积为 【解析】 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式，利用二次根式混合运算顺序进行计算即可； （2）用长方形的面积减去正方形的面积列式，利用二次根式的混合运算进行计算即可． 【小问1详解】 长方形ABCD的周长为： 【小问2详解】 剩余部分的面积为： 19. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E. (1)求证：△ABC为直角三角形． (2)求AE的长． 【答案】 (1)证明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5， 又∵42+32=52， 即AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形； (2) AE的长是. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，设AE=x，则EC=4-x，根据勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可． 【详解】（1）略 （2）证明：连接CE． ∵DE是BC的垂直平分线， ∴EC=EB， 设AE=x，则EC=4-x． ∴x2+32=（4-x）2． 解之得x=，即AE的长是． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 21. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质可得，由平行线的性质可得，即可得到，进而得到，然后证得，根据平行四边形判定得到四边形是平行四边形，再由，即可证得平行四边形是菱形； （2）由菱形对角线的性质得到，，，然后证明，可得，根据题意得，，由勾股定理得，进而得到，由代入已知值即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平行四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题关键． 22. 某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米. （1）求风筝的垂直高度： （2）如果小明想风筝沿方向再上升4米，则他应该再放出多少来线? 【答案】（1）风筝的高度为17.62米 （2）他应该再放出米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为17.62米； 【小问2详解】 解：如图所示：延长至M，连接， 由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴米， ∴他应该再放出米． 23. 【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 【答案】【三角形中位线定理】，； 【应用】； 【拓展】证明：取的中点，连接、． 、分别是、的中点， 是的中位线， 且， 同理可得且． ， ， ，， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． [三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：[三角形中位线定理]，； 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，； [应用]连接，如图所示， 、分别是边、的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ； [拓展]略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期期中教学质量检测 八年级数学试卷 考试时间： 100分钟 试卷满分 120分 ※ 注意事项： 考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 5. 如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 8. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△ABC中，，点D，E分别是边AB，BC的中点，延长AC至F，使，若，则EF的长是（ ） A. 4.8 B. 6 C. 5 D. 4 10. 如图，分别以的三边，为边向外侧作正方形．正方形．正方形，连接，再过A作于K．延长交于点M． ①； ②； ③当时，． 其中正确的结论共有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果等于_______． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 13. 若与最简二次根式能合并，则________． 14. 如图，在中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再以点A为圆心，为半径画弧，交于点E，则的长为_______． 15. 如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为___________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，求代数式的值． 18. 如图，长方形的长为，宽． （1）长方形的周长是多少? （2）在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 19. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 20. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E. (1)求证：△ABC为直角三角形． (2)求AE的长． 21. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长． 22. 某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米. （1）求风筝的垂直高度： （2）如果小明想风筝沿方向再上升4米，则他应该再放出多少来线? 23. 【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $