精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题

衡阳县四中2024-2025学年上学期高一9月月考 数学试题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 集合是指（ ）． A. 第一象限内的所有点 B. 第三象限内的所有点 C. 第一象限和第三象限内的所有点 D. 不在第二象限、第四象限内的所有点 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数的定义域与值域相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A. B C. D. 不等式的解集是 7. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 偶函数 B. C. D. 10. 若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（ ） A. B. C. D. 5 11. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. “，”是“”成立的充分条件 C. 命题：，，则：， D. “”是“”的必要条件 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 时，的值域为__________. 13. 若不等式的解集为，则________． 14. 如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 17 已知函数． （1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 18 已知正数a，b满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 19. 后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投入成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当单株施用肥料为多少千克时，该果树单株利润最大，并求出最大利润． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳县四中2024-2025学年上学期高一9月月考 数学试题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式组，再用列举法表示即可. 【详解】由，解得， 所以. 故选：C 2. 集合是指（ ）． A. 第一象限内的所有点 B. 第三象限内的所有点 C. 第一象限和第三象限内的所有点 D. 不在第二象限、第四象限内的所有点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，说明同号，包括零.得到点的意义即可解题. 【详解】,说明同号，包括零. 则表示不在第二，四象限内的所有点. 故选：D． 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】可以代入特殊值分别判断充分性和必要性． 【详解】因为，所以，所以，而， 当，则； 当时，若，则不成立， 故“”是“”的充分而不必要条件． 故选：A． 4. 下列函数的定义域与值域相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 5. 若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得命题的否定为真命题，进而可得出答案. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“，”是真命题， 则，解得， 所以实数的最小值为. 故选：D. 6. 已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A. B C. D. 不等式的解集是 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解. 【详解】由题图知抛物线开口向上，所以， 抛物线与轴交点纵坐标为正，所以， 因为，所以， 由韦达定理， 即，，对称轴， 则.所以A错误，B,C正确. 不等式 可化为， 即，解得 或. 所以不等式的解集是.D正确. 故选：A. 7. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 8. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B、C分别利用赋值法可逐项判断，对D利用赋值法可求出是周期函数，再根据周期函数可判断. 【详解】因为， 对B，令，得，因为，所以，故B错误； 对A，令，则，由B知， 则，所以，且定义域为， 故是偶函数，故A正确； 对C，令，则，所以， 令，则，故C正确； 对D，有，则， 所以函数周期，则， 所以，故D正确． 故选：ACD． 10. 若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（ ） A. B. C. D. 5 【答案】BC 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的值. 【详解】由题意可知：， 当时，二次函数图象的对称轴为直线， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以，，解得，合乎题意； 当时，二次函数图象的对称轴为直线， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，合乎题意. 故选：BC. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. “，”是“”成立的充分条件 C. 命题：，，则：， D. “”是“”的必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：利用分式不等式得解法解出即可得；对B：利用充分条件定义判断即可得；对C：借助全称命题的否定即可得；对D：利用必要条件定义判断即可得. 【详解】对A：， 解得，即其解集为，故A错误； 对B：若，，则， 故“，”是“”成立充分条件，故B正确； 对C：，否定为，，故C错误； 对D：由“”可得“”，故“”是“”的必要条件，故D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 时，的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，令，结合二次函数性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 13. 若不等式的解集为，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可知：为方程的两根，利用韦达定理运算求解即可. 【详解】由题意可知：为方程的两根， 则，即， 所以. 故答案为：5. 14. 如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由三角形相似得，再根据面积不小于，即可求得x的取值范围. 【详解】设矩形另一边的长为m， 由三角形相似得：，（）, 所以, 所以矩形草坪的面积， 解得：. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 当时，集合， 又或，则， 或；. 【小问2详解】 若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）或； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得. （3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解. 【小问1详解】 不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. 【小问2详解】 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 17. 已知函数． （1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围； （2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式. 【小问1详解】 即为， 所以不等式对于任意恒成立， 当时，得，显然符合题意； 当时，得，解得． 综上，实数a的取值范围是． 【小问2详解】 不等式即为， 即． 又，不等式可化为， 若，即时，得或，即解集为或； 若，即时，得，即解集为； 若，即时，得或，即解集为或． 综上可知，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 18. 已知正数a，b满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． 【小问2详解】 因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 19. 后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投入成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元 【解析】 【分析】（1）用单株产量乘以水果的市场售价减去肥料的成本、人工投入成本得出该果树的单株利润； （2）利用配方法、基本不等式求出的最大值可得答案． 【小问1详解】 由题可知 ， ； 【小问2详解】 由（1）得 ， 当时，； 当时，； （当且仅当时，即时等号成立） 因为，所以当时，， 所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$