精品解析：湖南省长沙市麓共体联考2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024年秋季第一次学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清听、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 地球上的陆地面积约为149000000平方千米．将149000000用科学记数法表示应为（    ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，，，，，，．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是24 B. 众数是24 C. 平均数是20 D. 方差是9 5. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE= ( ) A. 40° B. 60° C. 80° D. 120° 7. 关于函数，下列结论正确是 （ ） A. 图象必经过点（﹣2，1） B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象与直线=-2+3平行 D. 随的增大而增大 8. 如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分，交CD于点G，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° 9. 函数和（为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知直线交于A，B两点，是直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为10，则的长等于（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 将直线向下平移3个单位长度后，得到的直线是___________． 13. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是______． 14. 石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径______m． 15. 若关于的方程的一个根为，则的值为___________． 16. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD外角∠CDM＝70°，则∠AOC的度数为____________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、． （1）点关于点中心对称的点的坐标为　　； （2）绕点顺时针旋转后得到△，在图中画出△，并写出点的坐标：　　． 20. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 21. 如图，在中，直径与弦相交于点，，． （1）求的大小； （2）若，求的长． 22. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，与x轴交于B，C两点． （1）求抛物线的解析式，并求出B，C两点的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点H，使的值最小，求出点H的坐标． 23. 为了迎接中秋节的到来，河西某商场计划购进一批甲、乙两种月饼，已知一盒甲种月饼的进价与一盒乙种月饼的进价的和为180元，用4000元购进甲种月饼的盒数与用5000元购进乙种月饼的盒数相同． （1）求每盒甲种、乙种月饼的进价分别是多少元； （2）商场用不超过4600元的资金购进甲、乙两种月饼共50盒，其中甲种月饼的盒数不超过乙种月饼的盒数，甲种月饼售价190元，乙种月饼售价200元，为了回馈顾客，每卖一盒甲种月饼就返利顾客m元，当月饼售完后，要使利润最大，对甲种、乙种月饼应该怎样进货？ 24. 定义：如果两个正方形满足，一个正方形的边长与另一个正方形的对角线长相等，那么称这两个正方形互为“完美嵌套”． （1）若两个互为“完美嵌套”正方形的边长分别为a，b，则a，b满足的关系式为：______； （2）如图1，正方形和正方形互“完美嵌套”，边在边上，且，将正方形绕点A逆时针旋转． ①在旋转的过程中，当时，试求的长； ②的延长线交直线于点Q，当正方形由图1绕点A逆时针旋转45°，请求出在旋转过程中四边形面积的最大值． 25. 二次函数的图象与x轴分别交于点，，与y轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点E位于第四象限内的抛物线上一点，过点E作轴，交x轴于点F，点H在线段上（不与E，F重合），连接． ①若，，求点E的坐标； ②如图2，若点E横坐标为2，延长交抛物线于点N，连接并延长交抛物线于点M，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季第一次学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清听、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故符合题意； B中图形是中心对称图形，故不符合题意； C中图形是中心对称图形，故不符合题意； D中图形是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，理解定义，找准对称中心是解答的关键． 2. 地球上的陆地面积约为149000000平方千米．将149000000用科学记数法表示应为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，，，，，，．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是24 B. 众数是24 C. 平均数是20 D. 方差是9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，根据中位数、众数、平均数、方差的求法逐项判断即可． 【详解】解：将数据按从小到大排列为：、、、、、、， 故中位数为：，故A选项错误，不符合题意； 众数是，故B选项正确，符合题意； 平均数，故C错误，不符合题意； 方差是：，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 在数轴上表示为： 故选D． 6. 如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE= ( ) A. 40° B. 60° C. 80° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出∠BOE=120°，再利用邻补角即可求出∠AOE. 【详解】∵D,C是劣弧EB的三等分点, ∴∠BOE=3∠BOC=120°， ∴∠AOE=180°-∠BOE=60° 选B. 【点睛】此题主要考查圆的圆心角度数问题. 7. 关于函数，下列结论正确的是 （ ） A. 图象必经过点（﹣2，1） B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象与直线=-2+3平行 D. 随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A. 当x=−2,y=−2x+1=−2×(−2)+1=5,则点(−2,1)不在函数y=−2x+1图象上，故本选项错误； B. 由于k=−2<0，则函数y=−2x+1的图象必过第二、四象限，b=1>0，图象与y轴的交点在x的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误； C. 由于直线y=−2x+1与直线y=−2x+3的倾斜角相等且与y轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确； D. 由于k=−2<0，则y随x增大而减小，故本选项错误； 故选C. 8. 如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分，交CD于点G，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线定义求出,再根据三角形内角和求出 即可． 【详解】 ， ， ， ， ， ， ， 故选． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的应用，证出是解题关键． 9. 函数和（为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可得二次函数的图象的顶点为即可排除A、B，由一次函数的解析式可得一次函数的图象经过点即可排除C，从而得到答案． 【详解】解：， 二次函数的图象的顶点为，故A、B不符合题意； 在中，当时，，解得， 一次函数的图象经过点，故C不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 10. 如图，已知直线交于A，B两点，是直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为10，则的长等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得，从而求得的值，由垂径定理得出的长． 【详解】连接，过作，垂足为， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为10， ， ， 在中，由勾股定理得． 即， 解得，． 大于，故舍去， ， ，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 用提公因式的方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 将直线向下平移3个单位长度后，得到的直线是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后，得到的直线是， 故答案为：． 13. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，关键是数形结合思想的应用． 由二次函数的图象直接得出结论． 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，函数图象在x轴的上方，即， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 14. 石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径______m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了桥拱问题，熟练利用勾股定理和垂径定理，是解答问题的关键． 设圆弧形桥拱所在圆的半径为r，则，根据 得到，中根据，解得． 【详解】设圆弧形桥拱所在圆的半径为r， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得． 故圆弧形拱桥所在圆的半径是10米． 故答案：10． 15. 若关于的方程的一个根为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根为， ∴，解方程得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的知识，理解方程的根，代入计算，求出参数是解题的关键． 16. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM＝70°，则∠AOC的度数为____________． 【答案】140° 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂的运算，二次根式的性质及实数绝对值，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值； 先利用平方差公式，多项式乘以多项式的运算法则展开，然后合并同类项得到最简结果，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 19. 如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、． （1）点关于点中心对称的点的坐标为　　； （2）绕点顺时针旋转后得到△，在图中画出△，并写出点的坐标：　　． 【答案】（1） （2）图见解析， 【解析】 【小问1详解】 解：（1）如图，点即为所求作．． 故答案为：． 【小问2详解】 （2）如图，△即为所求作，点的坐标． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，由旋转可得，，推出，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）连接，根据旋转可得为等边三角形，推出，由，可得，最后根据角的和差即可求解． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， 将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 如图，连接， ，， 为等边三角形， ， 又， ， ． 21. 如图，在中，直径与弦相交于点，，． （1）求的大小； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理． （1）由三角形的外角性质可得，再根据圆周角定理即可求解； （2）连接，由为直径，可得，推出，由勾股定理求出，最后根据角的直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：，． ， ， ； 【小问2详解】 连接， 为直径， ， ， ， ， ， ，， ． 22. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，与x轴交于B，C两点． （1）求抛物线的解析式，并求出B，C两点的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点H，使的值最小，求出点H的坐标． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，根据待定系数法求出抛物线的解析式，再令，即可求出B，C两点的坐标； （2）由抛物线解析式知对称轴为直线，求出直线的解析式，令，即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 代入点，解得， ∴抛物线的解析式为． 令，， 解得：，， ∴，． 【小问2详解】 解：由抛物线解析式知对称轴为直线， 根据C与B关于抛物线的对称轴直线对称，连接，与对称轴交于点H，即为所求， 设直线的解析式为， 将与代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得，则． 23. 为了迎接中秋节的到来，河西某商场计划购进一批甲、乙两种月饼，已知一盒甲种月饼的进价与一盒乙种月饼的进价的和为180元，用4000元购进甲种月饼的盒数与用5000元购进乙种月饼的盒数相同． （1）求每盒甲种、乙种月饼的进价分别是多少元； （2）商场用不超过4600元的资金购进甲、乙两种月饼共50盒，其中甲种月饼的盒数不超过乙种月饼的盒数，甲种月饼售价190元，乙种月饼售价200元，为了回馈顾客，每卖一盒甲种月饼就返利顾客m元，当月饼售完后，要使利润最大，对甲种、乙种月饼应该怎样进货？ 【答案】（1）甲种月饼进价80元/盒，乙种月饼进价为100元/盒； （2）购进甲种月饼20盒，购进乙种月饼30盒利润最大． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设甲种月饼进价为a元/盒，则乙种月饼进价为元/盒，根据“用4000元购进甲种月饼的盒数与用5000元购进乙种月饼的盒数相同”列出方程，即可求解， （2）设购进甲种月饼x盒，则购进乙种月饼盒，根据“进货的总资金不超过4600元”列出不等式组，求出x的范围，列出总利润关于进货量的一次函数关系式，即可求解， 【小问1详解】 解：设甲种月饼进价为a元/盒，则乙种月饼进价为元/盒， 根据题意得，， 解得． 经检验，是原方程的解并满足题意，所以， 答：甲种月饼进价80元/盒，乙种月饼进价为100元/盒； 【小问2详解】 解：设购进甲种月饼x盒，则购进乙种月饼盒， 根据题意得，， 解得， 设总利润为W元，根据题意可得． ， ∵， ∴， ∴W随x的增大而减小，则当时，W达到最大， 即购进甲种月饼20盒，购进乙种月饼30盒利润最大． 24. 定义：如果两个正方形满足，一个正方形的边长与另一个正方形的对角线长相等，那么称这两个正方形互为“完美嵌套”． （1）若两个互为“完美嵌套”正方形的边长分别为a，b，则a，b满足的关系式为：______； （2）如图1，正方形和正方形互为“完美嵌套”，边在边上，且，将正方形绕点A逆时针旋转． ①在旋转的过程中，当时，试求的长； ②的延长线交直线于点Q，当正方形由图1绕点A逆时针旋转45°，请求出在旋转过程中四边形面积的最大值． 【答案】（1）或 （2）①；②四边形面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）分当和时，两种情况讨论即可求解； （2）①如图，过点A作交的延长线于点H，由题意得到，，利用直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； ②先证明，得到，求得，则点Q的运动轨迹为以为直径的，∴当Q为的中点时，四边形面积最大，据此求解即可． 【小问1详解】 解：当时，则小正方形的对角线为， ∴； 当时，则小正方形的对角线为， ∴； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：①如图，过点A作交的延长线于点H， ∵， ∴， 正方形和正方形互为“完美嵌套”，， ∴， ∴，， 在中，， ∴； ②在正方形和正方形中， ，，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以为直径的， ∵，为定值， ∴当最大时，四边形面积最大， ∴当Q为的中点时，四边形面积最大， ∵， ∴当Q为的中点时，Q到的距离， ∴． 【点睛】本题考查了的旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，最后一问得到点Q的运动轨迹为以为直径的是解题的关键． 25. 二次函数的图象与x轴分别交于点，，与y轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点E位于第四象限内的抛物线上一点，过点E作轴，交x轴于点F，点H在线段上（不与E，F重合），连接． ①若，，求点E坐标； ②如图2，若点E横坐标为2，延长交抛物线于点N，连接并延长交抛物线于点M，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）①设，，由勾股定理得，表示出，代入即可求解； ②，待定系数法求出直线解析式为，与二次函数解析式联立求出，同理可得，根据表示出，根据表示出，进而可求出的值． 【小问1详解】 解：把点，，代入解析式， 得 解得 ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：①设，，则， ∴， ∴，， ∴，代入， 得，解得，（舍去）． ∴点E的坐标为． ②设，直线解析式为， 把，代入得解得 ∴直线解析式为， 联立得 解得或 ∴， 同理可得， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，勾股定理，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $