精品解析：内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

高三年级上学期第一次月考数学试题 一．选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个， 故选：A. 【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 2. 复数满足：（其中是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先由求出复数，再求出其共轭复数，从而可判断其在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】由， 得， 则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D. 3. 若向量、满足：，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量垂直可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为向量、满足：，，， 则，所以，， 所以，，故. 故选：B. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由可得或，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由可得，故C正确； 对于D，由可得相交或，故D错误； 故选：C 5. 函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数定义域，复合函数单调性结合题设可得答案. 【详解】由得：， 令，则. 时，为减函数； 时，为增函数. 又为上的增函数，故函数的单调递增区间是. 故选：D. 【点睛】点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数. 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增； 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增. 上述结论简称为“同增异减”. 6. 已知外接圆的半径为，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理对进行边角转换，再利用余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为 由得， 由余弦定理得 所以由得， 因为，所以，因为， 由余弦定理得，解得， 所以. 故选：B 7. 若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解. 【详解】在中，，， 所以. 故选：C 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得； 利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号. 【详解】根据椭圆的定义可知，，即， 因为，， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故选：A 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D． 【详解】由题意，， 对于选项A，易知且，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C正确， 对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增， 因为， ， 所以，使得， 又因为，则，结合选项C，得， 即也是的零点，则，，故，故选项D正确， 故选：BCD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 函数在定义域内是单调增函数 B. 函数的表达式可以改写为 C. 是最小正周期为的偶函数 D. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正切函数的单调性可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用扇形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数在定义域内不单调，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，设， 因为，，则， 所以，函数不是最小正周期为的函数，C错； 对于D选项，设扇形的半径为，则，可得， 因此，该扇形的面积为，D对. 故选：BD. 11. 已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（ ） A. 曲线的轨迹方程为 B. 若为曲线上的动点，则的最小值为5 C. 过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D. 圆与曲线交于两点，与交于两点，则四点围成的四边形的周长为12 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线的轨迹方程，再逐项分析判断即得. 【详解】对于A，依题意，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为，A正确； 对于D，直线交圆于点，而， 四边形是矩形，周长为，D正确； 对于B，显然共线，垂直于直线，令点到直线的距离为， 则，，当且仅当与点重合时取等号， 因此的最小值为，B正确； 对于C，过点与曲线仅只一个公共点的直线方程为， 由消去得，当时，直线与抛物线仅中一个公共点， 当时，，解得，显然直线与抛物线仅只一个公共点， 因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，C错误. 故选：ABD 三、填空题（本题共三个小题，每小题5分，共15分） 12. 为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过已知条件可求得，再根据等比中项的定义即可求得答案. 【详解】解：因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 故答案为： 13. 如果随机变量，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于和的方程组，求解即可. 【详解】因为，，所以，所以①， 又，所以②， ①代入②，得，解得. 故答案为：. 14. 已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意计算可得，，，再设出该圆台的外接球球心，借助球的性质得到，再代入数据计算即可得. 【详解】如图，设、分别为上下底面圆心，为母线，为点在底面的投影， 为该圆台的外接球球心， 由该圆台的侧面积为，则有， 即， 由下底面半径比上底面半径大，则有， 由母线与下底面所成角的正切值为，则有，即， 又，即有， 则，即，则， 则有， 即，即，即， 设该圆台的外接球半径为，则, 故该圆台的外接球体积. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出该圆台的外接球球心，从而借助勾股定理得到. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，切点为，直接写出切线方程； （2）转化为对于恒成立，求实数a的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， ，，， 所以的图象在处的切线方程为：. 【小问2详解】 ， 若函数在上单调递增，则对于恒成立， 即对于恒成立， 令， 当时，， 则函数在上单调递增，所以， 故. 16. 某工厂为提高某手工制品的质量，决定引进新技术，现从改进技术前后生产的大批手工制品中各随机抽取件进行质量指标检测，规定指标值在的为合格品，其余的视为次品.改进技术前手工制品的频率分布直方图和改进技术后手工制品的频率分布表如下： 改进技术后手工制品的频率分布表 质量指标值 频数 频率 合计 （1）（i）求表中数据和； （ii）完成列联表，并判断能否有的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关； 改进技术前 改进技术后 合计 合格品 次品 合计 （2）根据（1）的数据，从产品合格率的角度分析改进技术前后手工制品的质量优劣. 参考公式：，其中. 参考临界值表： 【答案】（1）（i），； （ii）列联表为： 改进技术前 改进技术后 合计 合格品 次品 合计 有的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关； （2）工人在改进技术后手工制品的合格率更高，产品质量更高. 【解析】 【分析】（1）（i）利用频数、频率和样本容量三者之间的关系可求得、的值； （ii）根据频率分布表完善列联表，以此计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）计算出改进技术前和技术后产品的合格率，由此可得出结论. 【小问1详解】 （1）（i）由表中数据，； （ii）列联表为： 改进技术前 改进技术后 合计 合格品 次品 合计 将列联表中数据代入公式计算，， 故有的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关； 【小问2详解】 根据（1）中可知改进技术后的合格率为， 改进技术前的合格率为， ，所以工人在改进技术后手工制品的合格率更高，产品质量更高. 【点睛】本题考查频率分布表和列联表的完善，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查数据分析能力，属于中等题. 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 由题意分别为的中点， 所以是的中位线， 即， 又平面，平面， 所以平面； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判断定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系利用空间向量来求解即可； （3）在（2）建立的坐标系下利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于四边形是正方形，平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 又，分别为的中点， 则， 所以； 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，得； 即， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令， 即； 设平面与平面夹角的大小为， 所以， 又，所以； 即平面与平面夹角的大小为； 【小问3详解】 由（2）平面的一个法向量为； 又， 所以点到与平面的距离距为： . 18. 已知，分别是椭圆的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为.为坐标原点，过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点. （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率为正时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据椭圆中之间的关系求解即可； (2)利用直线方程表示出的坐标，进而表示出，利用韦达定理将表示为关于的表达式，结合直线与椭圆的位置关系确定的范围，进而可求解. 【小问1详解】 由题可知解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线，， 由得 解得或（舍）， 且 的直线方程为，的直线方程为， 令解得，所以，同理， 所以, 由，可得 所以 即 ， 因为，所以，所以， 所以. 的取值范围为. 已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为. 19. 若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值; 20. 若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”; 21. 已知数列，求证:. 【答案】19. . 20. 证明：充分性：若为等差数列，且是递减数列，则的公差为， 当时，，所以， 则，故充分性成立. 必要性:若是递减数列，，则为等差数列， 因为是递减数列，所以， 所以，且互不相等， 所以， 又因为， 所以且互不相等， 所以， 所以， 所以为等差数列，必要性成立. 所以若是递减数列，“”的充要条件是“为等差数列”. 21. 证明：由题意集合中的元素个数最多为个， 即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾， 故，故，故由得到的彼此相异，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解； （2）若为等差数列，且是递减数列，得到，结合，证得充分性成立；再由是递减数列，得到，结合互不相等，得到，得到必要性成立，即可得证； （3）根据题意，得到，得出， 得到，不妨设，则，推得为奇数，矛盾，进而得证. 【19题详解】 解：由题意，数列， 可得， 所以集合，所以. 【20题详解】 略 【21题详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级上学期第一次月考数学试题 一．选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 2. 复数满足：（其中是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若向量、满足：，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 6. 已知外接圆的半径为，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 函数在定义域内是单调增函数 B. 函数的表达式可以改写为 C. 是最小正周期为的偶函数 D. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 11. 已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（ ） A. 曲线的轨迹方程为 B. 若为曲线上的动点，则的最小值为5 C. 过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D. 圆与曲线交于两点，与交于两点，则四点围成的四边形的周长为12 三、填空题（本题共三个小题，每小题5分，共15分） 12. 为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 13. 如果随机变量，且，则_______. 14. 已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 16. 某工厂为提高某手工制品的质量，决定引进新技术，现从改进技术前后生产的大批手工制品中各随机抽取件进行质量指标检测，规定指标值在的为合格品，其余的视为次品.改进技术前手工制品的频率分布直方图和改进技术后手工制品的频率分布表如下： 改进技术后手工制品的频率分布表 质量指标值 频数 频率 合计 （1）（i）求表中数据和； （ii）完成列联表，并判断能否有的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关； 改进技术前 改进技术后 合计 合格品 次品 合计 （2）根据（1）的数据，从产品合格率的角度分析改进技术前后手工制品的质量优劣. 参考公式：，其中. 参考临界值表： 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求点到平面的距离． 18. 已知，分别是椭圆的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为.为坐标原点，过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点. （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率为正时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围. 已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为. 19. 若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值; 20. 若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”; 21. 已知数列，求证:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $