精品解析：黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学2024-2025学年高二上学期阶段测试数学试卷（一）

阶段测试卷（二） 数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，若；，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 棱长为2的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 点P是以为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，动直线，则下列结论错误的有（ ） A. 不存在k，使得的倾斜角为 B. 存在实数k，使得与没有公共点 C. 对任意的k，与都不重合 D. 对任意的k，与都不垂直 10. 如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 11. 已知圆C：，直线l：（），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C. 当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D. 圆C与圆恰有两条公切线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，直线．若，则实数的值为______． 13. 定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是__________. 14. 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为______；的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，求下列直线的方程： （1）求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； （2）光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 16. 已知圆，直线l过点． （1）若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程； （2）若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程． 17. 在①圆过点C（－9，2）；②圆心在直线x－y＋1＝0上；③圆与直线2x－y－10＝0相切，且圆的半径小于等于10，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解． 已知圆E过点A（1，12），B（7，10），且________． （1）求圆E的方程． （2）已知点C（－2，0），D（2，－20），在圆E上是否存在点P，使得PC2＋PD2＝258？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由． 18. 如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． （1）求证：; （2）记二面角的大小为，求的最大值． 19. 已知圆为圆上一点. （1）求的取值范围； （2）圆的圆心为，与圆相交于、两点，为圆上相异于、的点，直线分别与轴交于点、，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试卷（二） 数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解. 【详解】由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为， 故选：C 2. 已知直线，，若；，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行可构造方程求得的值，由推出关系可得结论. 【详解】若，则，解得：或，经检验，符合. ，，是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线恒过定点，可得点在圆内，可得当时弦最短,利用直线的点斜式方程可得答案. 【详解】，所以直线恒过定点，， 因为，所以点在圆内， 所以当时，弦最短, 设直线的斜率为，则, 所以直线的方程为，即. 故选：D. 4. 已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【详解】解：因为，，所以， 因为平面的一个法向量为，所以， 则，解得， 故选：C. 5. 在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定以为直径的圆过原点，则以原点到直线的距离为直径的圆的半径最小，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为是直径，， 所以原点在圆上， 过作垂直直线，垂足为点， 因为圆与直线相切， 所以要使圆的半径最小，此时为圆的直径， 点到直线的距离 所以圆的半径的最小值为1. 故选：B 6. 点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】设，直线的方程为， 点到直线的距离，， 所以，解得：或， 所以点的坐标为或. 故选：A 7. 棱长为2的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】的中点为，有，余弦定理求即可；或建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角. 【详解】解法一：连接，取的中点，连接，如图所示， 分别是的中点，，则是异面直线与所成角或其补角. 正方体棱长为2，面对角线长为，由正方体的结构可知， 中，，，则， 同理，在中，，， 由余弦定理可知. 所以异面直线与所成角的余弦值是. 解法二：以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 有，， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：A. 8. 点P是以为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质可求得答案. 【详解】因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以， 因为P到A，B的距离分别为x，y，所以， 令（）， 所以， 令，则 ，所以， 所以， 因为， 所以当时，取得最大值. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，动直线，则下列结论错误的有（ ） A. 不存在k，使得的倾斜角为 B. 存在实数k，使得与没有公共点 C. 对任意的k，与都不重合 D. 对任意的k，与都不垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，给出作为反例即可；对于B，说明两直线有公共点即可；对于C，给出作为反例即可；对于D，由说明两直线不垂直即可. 【详解】对于A，当时，的方程为，故倾斜角是，A错误； 对于B，两直线总有公共点，B错误； 对于C，当时，两直线的方程都是，故重合，C错误； 对于D，由于，故两直线不垂直，D正确. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对直线方程相关性质的运用. 10. 如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ， A正确； 对于B， ， ，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ， 故异面直线与所成的角的余弦值为，故D错误. 故选：AB 11. 已知圆C：，直线l：（），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C. 当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D. 圆C与圆恰有两条公切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，A正确； 对于B，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B错误； 对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，C正确； 对于D，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为， 两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，直线．若，则实数的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得的值． 【详解】因为直线，直线，且， 所以，解得或. 故答案为：或. 13. 定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设夹角，则,由即得解. 【详解】由题意知，． 设，则． 又，则，故． 故答案为： 14. 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为______；的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】联立圆的方程，可得公共弦方程及其恒过的定点，利用两点间距离公式可得，再利用二次函数性质可得最值. 【详解】由，， 可得，即， 所以，解得， 所以点， 又，， 则， 所以当时，取最小值为， 经检验，当时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意. 故答案为：，. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，求下列直线的方程： （1）求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； （2）光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. 【小问2详解】 点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 16. 已知圆，直线l过点． （1）若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程； （2）若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意分析可知：圆心到直线的距离为，分类讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解； （2）设，则，根据点在圆上列式求解即可得，进而可得直线方程. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 若直线l被圆M所截得的弦长为，则圆心到直线的距离为. 当直线斜率不存在时，与圆相切，不符合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设直线，即， 可得，所以， 则直线l方程为或. 【小问2详解】 设，因为A为BC中点，则， 由B在圆M上得，解得，则， 所以直线，即直线． 17. 在①圆过点C（－9，2）；②圆心在直线x－y＋1＝0上；③圆与直线2x－y－10＝0相切，且圆的半径小于等于10，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解． 已知圆E过点A（1，12），B（7，10），且________． （1）求圆E的方程． （2）已知点C（－2，0），D（2，－20），在圆E上是否存在点P，使得PC2＋PD2＝258？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（x－1）2＋（y－2）2＝100 （2）存在，2 【解析】 【详解】解：（1）若选①，设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由已知可得 解得D＝－2，E＝－4，F＝－95， 所以圆E的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 若选②，由已知得AB的中点为（4，11），直线AB的斜率为－， 所以AB的垂直平分线的方程为y－11＝3（x－4），即y＝3x－1. 因为圆心在直线x－y＋1＝0上，所以联立方程 解得所以圆心E的坐标为（1，2）， 半径为AE＝10， 所以圆E的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100. 若选③，设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 因为圆E过点A（1，12），B（7，10）， 所以 因为圆与直线2x－y－10＝0相切， 所以＝r，解得a＝1，b＝2，r＝10， 所以圆E的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100. （2）设P（x，y），由已知PC2＋PD2＝（x＋2）2＋y2＋（x－2）2＋（y＋20）2＝2x2＋2y2＋40y＋408＝258， 所以x2＋y2＋20y＋75＝0，即x2＋（y＋10）2＝25， 所以点P在圆M：x2＋（y＋10）2＝25上，圆M的圆心M的坐标为（0，－10），半径r1＝5. 因为点P在圆E：（x－1）2＋（y－2）2＝100上，圆E的圆心E的坐标为（1，2），半径r＝10， 又ME＝＝，r－r1＝5，r＋r1＝15， 所以r－r1<ME<r＋r1， 所以圆M与圆E相交，两圆有两个公共点，所以符合题意的点P的个数是2. 18. 如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． （1）求证：; （2）记二面角的大小为，求的最大值． 【答案】（1）因为，平面，平面， 所以平面. 因为过的平面分别与棱交于， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证； （2）建立空间直角坐标系，设，利用法向量方法，用表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，平面， 所以， 又因为， 如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设， 则， 设平面即平面的法向量为， 则，令，则， 于是； 设平面即平面的法向量为， 则，令，则， 于是， 所以， 因为，所以， 由二面角的大小为， 根据的方向判断可得， 所以，当时，的最大值为. 19. 已知圆为圆上一点. （1）求的取值范围； （2）圆的圆心为，与圆相交于、两点，为圆上相异于、的点，直线分别与轴交于点、，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：将转化为动点与定点确定的直线的斜率，然后根据相切求斜率即可； 方法二：将转化为动点与定点确定的直线的斜率，然后利用勾股定理和倾斜角求斜率即可； （2）设，，，然后写出直线和的方程，即可得到，，然后根据三角形面积公式得到，最后根据的范围求最值即可. 【小问1详解】 方法一：可看做动点与定点确定的直线的斜率， 此时， 过点的直线可设为，即， 圆半径为2，当点到直线的距离为2时，直线与圆相切，， 解得 则即的取值范围为； 方法二：可看做动点与定点确定的直线的斜率， 此时， 过点做切线与圆切于点， 则，，根据勾股定理可得， 则， 同理，， 则即的取值范围为. 【小问2详解】 由对称性，可设，， 设且，则， 直线方程为：， 直线方程为：， 分别令，可得，， ， 观察易发现，同在的上侧或下侧，则 ，同时， 或，同时， 则 ， 于是，， 所以，当时，的取到最大值4. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线求最值或范围问题： （1）几何的思路：通过几何的知识取求最值或范围，例如（1）中将转化为斜率； （2）代数思路：将要求的用代数表示出来，然后通过函数或不等式的思路求最值或范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $