精品解析：吉林省吉林市船营区吉林市亚桥第一九年制学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024~2025学年度数学九年级阶段性学业质量检测（一A） 数学试卷共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的过程中，配方正确的是（　　） A. （x﹣1）＝4 B. （x+1）＝4 C. （x﹣1）＝2 D. （x+1）＝16 5. 已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示，吉林某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 把一元二次方程化成的一般形式，其中，则常数项是___________． 8. 抛物线解析式为，则该抛物线的顶点坐标为________． 9. 方程的根的判别式的值为_________. 10. 请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______． 11. 将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得到_____． 12. 如图，已知抛物线经过点和两点，如果点与在此抛物线上，那么______．（填“＞”“＜”或“＝”） 13. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是__． 14. 二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：有如下结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的是________． x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程： 16. 解方程：． 17. 解方程：． 18. 已知一个二次函数的图象经过，，三点，求出这个二次函数解析式． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 20. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得． 第一步 移项，得． 第二步 配方，得，即． 第三步 由此，可得． 第四步 所以，． 第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是________（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）“第二步”变形的数学依据是________； （3）小明同学解题过程中，从第________步开始出现错误，请直接写出正确的结果________． 21. 已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）用配方法将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式．并写出对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当y随x的增大而减小时，求x的范围． 22. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 24. 某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置O竖直安装一根顶部A带有喷水头的水管，如图，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为，那么水管的高度应为多少？ 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ （2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）当该抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度数学九年级阶段性学业质量检测（一A） 数学试卷共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析判断，即可求解．只含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A. ，含有分式，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，把原方程化为形如的形式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选C． 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．利用直接开平方法依次判断即可． 【详解】解：A中、，故方程没有实数根，故选项不符合题意； B中、，解得，方程有两个相等实数根，故选项符合题意； C中、，直接开平方，得或，得，，故方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意； D中、，直接开平方，得或，得，，故方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的过程中，配方正确的是（　　） A. （x﹣1）＝4 B. （x+1）＝4 C. （x﹣1）＝2 D. （x+1）＝16 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法中的配方法过程即可求出答案． 【详解】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣2x+1＝4，∴（x﹣1）2＝4， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法，属于基础题型． 5. 已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和C选项，根据B选项和D选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，即可得出结果． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和C选项； B选项和D选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 6. 如图所示，吉林某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设行车通道的宽度是，则停车区域的总面积可以看做是一个长为，宽为的矩形面积，据此根据矩形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 把一元二次方程化成的一般形式，其中，则常数项是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式之后， 变为， 故常数项是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 8. 抛物线解析式为，则该抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为是解题关键． 根据顶点式直接作答即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 9. 方程的根的判别式的值为_________. 【答案】29 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=29，此题得解． 【详解】解：∵a=1，b=-5，c=-1， ∴． 故答案为：29． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式是解题的关键． 10. 请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像及其性质，熟练掌握二次函数的图像及其性质是解题的关键．根据二次函数图像的性质，开口向上即二次项系数，且函数过点即当时，，得常数项． 【详解】解：设二次函数为，由开口向上得，由过点得， 取，，即函数为，满足条件， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得到_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， 根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故答案为：或． 12. 如图，已知抛物线经过点和两点，如果点与在此抛物线上，那么______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键．先求出对称轴为，又由开口向下得到对称轴右侧y随x的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过点和两点，， ∴对称轴为， ∵开口向下， ∴对称轴右侧y随x的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 13. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是__． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，利用割补法可知图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵函数与的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∵边长为4的正方形面积为16， ∴图中的阴影部分的面积为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，根据解析式与判断出两函数图象关于x轴对称是解答本题的关键． 14. 二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：有如下结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的是________． x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数 的性质是解决问题的关键.也考查了待定系数法求抛物线解析式.利用交点式求出抛物线的解析式为则根据二次函数的性质可对①②进行判断；利用 时， 可对③进行判断；利用抛物线开口方向及对称轴可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得 ， 解得， ∴抛物线解析式为，即， ， ∴抛物线开口向上，故①正确； 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 抛物线与轴的交点坐标为，故③错误； ∵抛物线的对称轴是直线，且抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故④正确， 故答案为：①②④． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解方程即可． 【详解】解： 解得：，． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ，， 即：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17. 解方程：． 【答案】x1=－1，x2=． 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求解． 【详解】解： ， ∴或. 　　　　　 ∴x1=－1，x2=． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 18. 已知一个二次函数的图象经过，，三点，求出这个二次函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，设出解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设这个二次函数解析式为， ∵这个二次函数的图象经过，，三点， ∴ 解得， ∴这个二次函数解析式为． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解不等式，对于（1），根据题意可知，再求出解即可； 对于（2），根据取值范围求出m的值，再求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：依题意，得 ． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵m为满足条件的最大整数， ∴． ∴， ∴． 20. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得． 第一步 移项，得． 第二步 配方，得，即． 第三步 由此，可得． 第四步 所以，． 第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是________（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）“第二步”变形的数学依据是________； （3）小明同学解题过程中，从第________步开始出现错误，请直接写出正确的结果________． 【答案】（1）降次；完全平方公式 （2）等式的基本性质 （3）三；， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键； （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答． 【小问1详解】 解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次，其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次；完全平方公式； 【小问2详解】 “第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； 【小问3详解】 小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 解：． 二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，， 故答案为：三；，． 21. 已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）用配方法将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式．并写出对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当y随x的增大而减小时，求x的范围． 【答案】（1），对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）； （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）配方成顶点式可得； （2）先确定抛物线与x和y轴的交点坐标，再确定抛物线的顶点坐标，然后描点得到二次函数的图象； （3）利用函数图象可得； 【小问1详解】 ∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）； 【小问2详解】 抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， 当x＝0时，，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）； 当y＝0时，，解得x1＝﹣1，x2＝3， 则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； 【小问3详解】 由题（2）图象知，当x＜1时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查二次函数的三种形式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式及函数性质是解题的关键． 22. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是，根据原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：装裱后左右两边的边宽分别是． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【答案】（1）2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为 （2）此次价格的下降率最多是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，200元经过两年下降后的价格为，由此列出方程，求解方程即得答案； （2）设此次价格的下降率为m，根据题中的数量关系列出不等式，求解不等式即得答案． 【小问1详解】 设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得，， 解得，（舍去）， 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； 【小问2详解】 设此次价格的下降率为m， 根据题意得， 解得， 答：此次价格的下降率最多是． 24. 某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置O竖直安装一根顶部A带有喷水头的水管，如图，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为，那么水管的高度应为多少？ 【答案】水管的设计高度应为米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意．求出抛物线解析式．根据题意求出抛物线顶点坐标为，把代入可得解析式，再令求出值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：抛物线顶点， 设抛物线的解析式为， 把代入，得： 解得： ∴抛物线的解析式为 当时， 答：水管的设计高度应为米 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ （2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】（1）经过或后、两点之间的距离是 （2）经过秒或秒的面积为． 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键． （1）如图，过点P作于E，设x秒后，利用勾股定理得出即可． （2）分类讨论：①当点P在上时；②当点P在边上；③当点P在边上时，根据面积列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得： ，即， ∴， ∴，； ∴经过或后、两点之间的距离是； 【小问2详解】 连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）当该抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值． 【答案】（1） （2） （3）的取值范围为：，定值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用； （1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论； （3）根据图象可得当抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为时，点的位置，从而确定的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：把点、代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称， 点，， ，点到的距离为， ， 的面积为； 【小问3详解】 设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示， 点与点关于直线对称， 点为 当点在点和点之间时，点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值， 此时的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $