精品解析：山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题

运城市2024-2025学年高三摸底调研测试 数学试题 2024.9 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：D. 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义即可求解. 【详解】命题的否定为. 故选：B. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，可得，即，解得. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用两角和正弦公式计算，再根据同角三角函数关系计算求出,最后应用两角差正弦计算. 【详解】因为， 又因为,所以， 所以, 所以 故选：A. 5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算． 【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为， 则由，得，所以， 所以． 故选：B． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样计算判断A；求出第75百分位数判断B；利用线性相关系数的意义判断C；利用独立性检验的思想判断D. 【详解】对于A，该校高一年级女生人数是，A正确； 对于B，由，得第75百分位数为，B正确； 对于C，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误； 对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确. 故选：C 7. 曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到且，进而求得切线方程，得到答案. 【详解】由函数，可得， 则且，即切点为，切线的斜率为， 所以函数在处的切线方程为. 故选：A. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题. 【详解】因为 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 在单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的周期，对称轴对称中心应用代入法判断，结合正弦函数的单调性等性质逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的最小正周期，，A正确； 对于B，由，得函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，得函数的图象不关于点对称，C错误； 对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 故选：AD. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，曲线对称中心的横坐标为定值 D. ，使在上是减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；求出图象的对称中心判断C；由的解集能否为判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由， 得，于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，B正确； 对于C，由， 得图象对称中心坐标为，C正确， 对于D，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，D错误. 故选：BC. 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正项等比数列的前项和为，公比为，若，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据前n项和定义可得，结合等比数列的通项公式运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 可得，所以. 故答案为：2. 13. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记中的内角所对的边分别是，已知， （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理边角互化，再结合余弦定理求出角 （2）应用面积公式得出，再应用余弦定理求出，最后应用完全平方公式求周长即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 化简得，， 在中，由余弦定理得，， 又因为，所以； 【小问2详解】 由，得， 由，得，所以， 所以， 所以， 所以的周长. 16. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若在恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时在上单调递增． 当时在单调递减，在单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，分类讨论和，判断的正负即可得出答案； （2）分离参数可得，再由函数的单调性求出函数范围结合恒成立即可得出参数. 【小问1详解】 由题可得：， 当时，在上单调递增． 当时，可得， 若时，单调递减， 若时，单调递增， 综上可得： 当时在上单调递增． 当时在单调递减，在单调递增． 【小问2详解】 由得，则恒成立， 令，则在上单调递减， ， 17. 如图，在四棱锥中，平面，为的中点． （1）若，证明：平面； （2）已知，求平面和平面所成的二面角的正弦值. 【答案】（1） 因为平面平面， 可知，且为的中点，则， 若，即，则， 且平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）分别证明，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦的坐标公式结合同角三角函数恒等关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知：平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得； 设平面的法向量为，则， 令，可得； 由题意可得：， 所以平面和平面所成二面角的正弦值为. 18. 学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为． （1）求首次摸球就试验结束的概率； （2）在首次摸球摸出红球的条件下． ①求选到的袋子为乙袋的概率； ②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 【答案】（1）； （2）①；②选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算可得； （2）①利用条件概率概率公式计算可得；②分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可. 【小问1详解】 设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件． 所以． 所以摸球一次就试验结束的概率为． 【小问2详解】 ①因为，是对立事件，． 所以， 所以选到的袋子为乙袋的概率为． ②由①，得， 所以方案一中取到白球的概率为． 方案二中取到白球的概率为， 因为． 所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 19. 已知点在抛物线C：上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为. （1）求t的值； （2）求证：数列是等差数列，并求； （3）求的面积. 【答案】（1）2 （2） 由（1）知：，即， 因为点在抛物线上， 所以，两式相减得， 则，可得， 可知数列是以首项为4，公差为8的等差数列， 则，． ， （3）64 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线C：上，代入即可求解； （2）由点在抛物线上，得到方程组两式相减，结合斜率公式，得到，即可得证； （3）由（2）得到的坐标，结合梯形和的面积，求得的面积，即可求解. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，可得，解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知：， 过作轴，垂足为， 可得梯形的面积为： 同理可得， 且梯形的面积为： ， 所以的面积为： ． 【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式综合问题的求解策略： 1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性； 2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 运城市2024-2025学年高三摸底调研测试 数学试题 2024.9 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 7. 曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 在单调递增 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，曲线对称中心的横坐标为定值 D. ，使在上是减函数 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正项等比数列的前项和为，公比为，若，则____________． 13. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________． 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记中的内角所对的边分别是，已知， （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若在恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面，为的中点． （1）若，证明：平面； （2）已知，求平面和平面所成的二面角的正弦值. 18. 学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为． （1）求首次摸球就试验结束的概率； （2）在首次摸球摸出红球的条件下． ①求选到的袋子为乙袋的概率； ②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 19. 已知点在抛物线C：上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为. （1）求t的值； （2）求证：数列是等差数列，并求； （3）求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $