精品解析：安徽省合肥市第四中学2025届高三上学期教学诊断检测（二）数学试题

合肥四中2022级高三同步诊断（二）数学学科 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间上的最大值是（ ） A B. C. D. 4. 已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 5. 若对于任意实数都有,则 A. 3 B. 4 C. D. 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A B. C D. 8. 若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项中，正确的是（ ） A 若，则. B. 若不等式的解集为，则 C. 若，且，则的最小值为9 D. 函数且的图象恒过定点 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 在区间上的极小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是__________. 13. 已知函数的定义域为，且函数为奇函数，若，则___________. 14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 四､解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数上单调递减. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 16. 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量（升与速度（千米每小时）的关系可近似表示为： （1）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ （2）已知，两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从地驶向地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18. 某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为. （1）求，； （2）求的表达式； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥四中2022级高三同步诊断（二）数学学科 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围； 【详解】解：因为，且， 所以； 故选：A 2. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的包含关系直接判断即可. 【详解】， 因为， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数在区间上的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值. 【详解】对于函数，. 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，. 故选：C. 【点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 4. 已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由命题为真命题，则，解不等式得出实数的取值范围即可． 【详解】命题为假命题， 所以为真命题， 则，解得 故选：D 5. 若对于任意实数都有,则 A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对于任意实数都有，令得到的方程组，求出，由此能求出的值． 【详解】解：对于任意实数都有， ， 解得， ． 故选． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和符号性逐项分析判断. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，故AC错误； 又因为当时，则，可知， 此时的符号性与的符号性一致，故D错误； 故选：B. 7. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可 【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是， 所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， 对任意的，，且，都有成立， 所以， 令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， 由是上的奇函数可得是上的偶函数 所以在上单调递减， 当时，不等式得到，矛盾； 当时，转化成即，所以； 当时，转化成，，所以， 综上所述，不等式的解集为 故选：D 8. 若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，结合韦达定理可得的关系，进而可得的关系，再利用导数即可得出答案. 【详解】设切点， 则切线方程为， 又切线过，则， 有两个不相等实根， 其中或， 令或， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， ，， 当时，，当时，， 所以， 即. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用函数的单调性可判断B选项；利用函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为实数、满足， 对于A选项，取，，则，A错； 对于B选项，对于函数，该函数的定义域为，， 当且仅当时，等号成立，所以函数在上为增函数， 因为，则，则，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，对于函数，该函数的定义域为，， 当且仅当时，等号成立，所以，函数在上为增函数， 因为，则，即，D对. 故选：BD. 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，则. B. 若不等式的解集为，则 C. 若，且，则的最小值为9 D. 函数且的图象恒过定点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据命题的否定即可判断选项A正误，根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系，再利用韦达定理，即可判断选项B正误，根据“1”的代换，即可得选项C正误，根据恒过，即可得选项D的正误. 【详解】由题知,“”的否定是“”，故选项A正确; 若不等式的解集为，则的两根为 且，根据韦达定理有: ，解得，所以，故选项B错误; 因为, 所以, 当且仅当,即时等式成立，故的最小值为9，故选项C正确. 因为恒过，所以恒过，故选项D错误; 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 在区间上的极小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过计算，比较与的关系进行判断，对于B，结合基本不等式分析判断，对于C，举例判断，对于D，对函数求导后，求出其单调区间，进而求出极值判断. 【详解】对于A，因为， 所以的图象关于对称，所以A正确， 对于B， ， 当且仅当，即时取等号，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C错误， 对于D，由，得， 当时，，所以， 当时，， 令，则， 所以在上递减， 当时，，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以， 所以在上递减，在上递增， 所以在处取得极小值， 所以的极小值为，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查诱导公式的应用，考查利用导数求函数的极值，解题的关键是对函数求导后，对其变形，再次构造函数，利用导数判断其单调性，考查计算能力，属于较难题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得． 【详解】∵方程 的一根大于1，另一根小于1， 令， 则， 解得. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，且函数为奇函数，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数为奇函数，对进行赋值即可得到答案. 【详解】已知函数为奇函数，则， 即， 又，则. 又，， 故. 故答案为：. 14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，构造函数，得到在上单调递增， 从而将问题转化为恒成立，令，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】由，则等价于，两边加， 可得，即， 令，则等价于， 因为，所以在上单调递增， 所以等价于，即， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，所以，即，故实数的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将已知不等式变形为，构造函数研究单调性和最值. 四､解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数在上单调递减. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性即可求得. （2）构造函数，根据其单调性即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以，即， 则（舍去），所以. 【小问2详解】 因为，，则， 因为在上单调递增，所以，则， 所以实数的取值范围为. 16. 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量（升与速度（千米每小时）的关系可近似表示为： （1）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ （2）已知，两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从地驶向地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 【答案】(1) 65 km/h (2) 当速度为120 km/h时，总耗油量最少． 【解析】 【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，比较可得结论； （2）分类讨论，利用基本不等式、函数的单调性，即可得出结论． 【详解】解：（1）当时，， ，有最小值 当，函数单调递减，故当时，有最小值10 因，故时每小时耗油量最低 （2）设总耗油量为由题意可知 ①当时， 当且仅当，即时，取得最小值16 ②当时，为减函数 当，取得最小值10 ，所以当速度为120时，总耗油量最少． 【点睛】本题主要考查函数最值的应用，考查函数模型的建立，考查函数的单调性，利用基本不等式是解决本题的关键． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18. 某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为. （1）求，； （2）求的表达式； （3）设，证明：. 【答案】（1）， （2） （3）证明如下： . 设，，∴，∴在上单调递增， 显然，则， ∴，则， 即， ∴. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合互斥事件和独立事件概率公式进行求解即可； （2）根据互斥事件和独立事件概率公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （3）利用构造函数法，结合导数与函数单调性的关系、等比数列的前项和公式进行证明即可. 【小问1详解】 ，，； 【小问2详解】 由已知，∴，即， ∴是以为公比的等比数列， ∴，∴. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意利用独立事件概率公式得到递推关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $