第13章 专题(十一) 共顶点的等边三角形——回归教材（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(人教版)

第十三章 　轴对称 专题(十一)　共顶点的等边三角形——回归教材 数学 八年级上册 人教版 练闯考 【教材变式】已知，如图①，以△ABC的边AB，AC为边，分别在△ABC外作等边三角形ABD，等边三角形ACE. (1)求证：BE＝DC； (2)求∠BOC的度数； (3)求证：AO平分∠DOE； (4)求证：AO＋BO＝DO； (5)如图②，若点P为CD的中点，点Q为BE的中点，求证：△APQ为等边三角形． 2 解：(1)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠BDA＝∠DBA＝∠CAE＝60°，∴∠BAC＋∠CAE＝∠BAC＋∠BAD，即∠BAE＝∠DAC.∴△ABE≌△ADC(SAS)，∴BE＝DC. (2)由(1)知：△ABE≌△ADC，∴∠ADC＝∠ABE.∴∠ADC＋∠BDO＝∠ABE＋∠BDO＝∠BDA＝60°.∴在△BOD中，∠BOD＝180°－∠BDO－∠DBA－∠ABE＝180°－∠DBA－(∠ADC＋∠BDO)＝60°，∴∠BOC＝180°－60°＝120°. 3 4 【变式】如图，△ABC为等边三角形，CF⊥AB于点F，AH⊥BC于点H，点D在AH的延长线上，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，连接AE交CF于点G.证明：AG＝GE. 5 证明：如图，作AN∥EC交CF于点N，连接BN，BD.则∠ANC＝∠ECN，∵△ABC为等边三角形，CF⊥AB，∴FA＝FB，∠BCF＝∠ACB＝30°.∵△CDE为等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ECN＝∠BCD＋∠DCE＋∠BCF＝90°＋∠BCD＝∠ANC＝∠AFN＋∠BAN＝90°＋∠BAN， ∴∠BAN＝∠BCD.∵NF⊥AB，AF＝FB，∴NA＝NB，∴∠ABN＝∠BAN.同法可证：∠DCB＝∠DBC.∵AB＝BC，∴△BAN≌△BCD(ASA)，∴AN＝CD＝CE.∵AN∥EC，∴∠NAG＝∠CEG.又∵∠AGN＝∠EGC，∴△AGN≌△EGC(AAS)，∴AG＝GE. 6 (3)证明：如图①，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为M，N.∵由(1)知：△ABE≌△ADC，∴S△ABE＝S△ADC，∴ eq \f(1,2) BE·AM＝ eq \f(1,2) CD·AN，∴AM＝AN，∴点A在∠DOE的平分线上，即OA平分∠DOE. (4)证明：由∠BOD＝60°，作等边三角形BOF，∴BF＝OF＝OB.∵∠DBF＝∠DBA－∠FBA＝60°－∠FBA＝∠ABE.又∵BD＝BA，∴△BDF≌△BAO(SAS).∴DF＝AO.∴DO＝OF＋FD＝OB＋OA. (5)证明：∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC＝∠ABE，CD＝BE.∵点P为CD的中点，点Q为BE的中点，∴PD＝BQ.又∵AB＝AD，∴△ADP≌△ABQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠DAP＝∠BAQ，∴∠DAP＋∠PAB＝60°，∴∠PAB＋∠BAQ＝60°，∴△APQ为等边三角形． $$