第13章 专题(十) 构造等腰三角形的常用方法（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(人教版)

第十三章　 轴对称 专题(十)　构造等腰三角形的常用方法 数学 八年级上册 人教版 练闯考 类型一：利用平行线构造等腰三角形 1.(辽阳月考)如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF＝BE，连接EF，交BC于点D.求证：DE＝DF. 证明：过点E作EG∥AC，交BC于点G，则∠BGE＝∠ACB，∠GED＝∠F，∠EGD＝∠FCD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝EG.又∵CF＝BE，∴CF＝GE，∴△GED≌△CFD，(ASA)∴DE＝DF. 2 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AC上，点D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE，则DE与BC是否垂直？请说明理由． 解：DE⊥BC，理由如下：过点E作EF∥BC交AB于点F，则∠AFE＝∠B，∠AEF＝∠C.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠AFE＝∠AEF.∵AD＝AE，∠AED＝∠D.又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠D＝180°，∴∠AEF＋∠AED＝90°，即∠FED＝90°，∴DE⊥FE.∵EF∥BC，∴DE⊥BC. 3 类型二：利用“垂直＋角平分线”构造等腰三角形 3．如图，已知在△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180°，求证：ED∥BC. 证明：延长AE交BC于点F，∵AE⊥CE，CE平分∠ACB，∴易证△CAE≌△CFE(ASA)，∴∠CAE＝∠CFA.∵∠AED＋∠CAE＝180°，∠AED＋∠DEF＝180°，∴∠DEF＝∠CAE＝∠CFA，∴ED∥BC. 4 5 6 类型三：利用“截长补短法”作辅助线 5．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点E，AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD，求证：BE＝CE. 证明：在线段DC上取一点F，使DF＝BD，连接AF，∵CD＝AB＋BD，∴CF＋DF＝AB＋BD，∴CF＝AB.∵AD⊥BC，BD＝DF，∴易证∠ABF＝∠AFB，CF＝AB＝AF，∴∠C＝∠CAF，∴∠ABF＝∠AFB＝∠CAF＋∠C＝2∠C.又∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠CBE，∴∠CBE＝∠C，∴BE＝CE. 7 6．如图，△ABC是等边三角形，∠BDC＝120°，求证：AD＝BD＋CD. 证明：延长BD到点E，使DE＝DC，连接CE，∵∠BDC＝120°，∴∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴∠ECD＝60°，CD＝CE.又∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠ECD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD. 8 类型四：利用“角的折半加倍法”作辅助线 7．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线． (1)如图①，若∠C＝2∠DBC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形； (2)如图②，若∠ABC＝2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC＝AB，求∠A的度数． 9 10 4．如图， 在△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC, D 是AC上一点， AE垂直BD的延长线于点E，且AE＝ eq \f(1,2) BD，求证：BD平分∠ABC. 证明：延长AE，BC交于点F，∵AE⊥BE，∴∠BEF＝90°.又∵∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠DBC＋∠AFC＝∠FAC＋∠AFC＝90°，∴∠DBC＝∠FAC.∵AC＝BC，∴△ACF≌△BCD(ASA)，∴AF＝BD.又∵AE＝ eq \f(1,2) BD，∴AE＝ eq \f(1,2) AF＝EF.∵BE⊥AF，∴易得AB＝BF.又∵BE⊥AF，∴BD平分∠ABC. 解：(1)证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠DBC.∵∠C＝2∠DBC，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC.又∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形． (2)过点B作BF平分∠DBC，交AC于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝2∠CBD.∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠ABD＝∠CBD.∵OC平分∠ACB，BF平分∠DBC，∴∠CBF＝∠DBF＝ eq \f(1,2) ∠DBC，∠DCO＝∠BCO＝ eq \f(1,2) ∠ACB，∴∠CBF＝∠DBF＝∠DCO＝∠BCO.∵BC＝CB，∴△OBC≌△FCB，∴OC＝BF.又∵AB＝OC，∴BF＝AB.∵∠ABF＝∠ABD＋∠DBF，∠AFB＝∠ACB＋∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∴AB＝BF＝AF，∴△ABF为等边三角形，∴∠A＝60° $$