12.3 角的平分线的性质 第2课时 角的平分线的判定（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(人教版)

第十二章 　全等三角形 12.3 角的平分线的性质 第2课时　角的平分线的判定 数学 八年级上册 人教版 练闯考 知识点1：角的平分线的判定 1．如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，若PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为( ) A．65° B．60° C．45° D．30° A 3 2．(4分)如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点(不与点O重合)，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的平分线的有_______________. ①②③④ 4 3．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC. 5 4．如图，BE是∠MBC的平分线，CE是∠NCB的平分线，连接AE.问：AE是∠MAN的平分线吗？请说明理由． 解：AE是∠MAN的平分线．理由：如图，作EH⊥AM于点H，ED⊥BC于点D，EP⊥AN于点P.∵BE是∠MBC的平分线，∴EH＝ED.同理ED＝EP, ∴EH＝EP， ∴点E在∠MAN的平分线上，∴AE是∠MAN的平分线． 知识点2：三角形角平分线的应用 5．有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在( ) A．△ABC三条角平分线的交点 B．△ABC三边的垂直平分线的交点 C．△ABC三条中线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 A 6．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置． 解：图略．提示：作∠AOB的平分线，与AB的交点即为点M的位置． 7．如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC＝60°，则∠BOC＝( ) A．120° B．125° C．130° D．140° A 8．如图，要在三条交错的公路区域附近修建一个物流公司仓库，使仓库到三条公路的距离相等，则可以选择的地址有( ) A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 D 9．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若DE＝DF，AB＝BC，则CD______AD.(填“＞”“＜”或“＝”) ＝ 10．如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P在线段AD上，若PE∥AB，∠PFD＝∠C，点D到AB和AC的距离相等，求证：点D到PE和PF的距离相等． 证明：如图，作DM⊥AB于点M，交PE于点G，作DN⊥AC于点N，交PF于点H，∵DM＝DN，DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠BAD＝∠CAD.∵PE∥AB，∴∠EPD＝∠BAD，DG⊥PE.∵∠PFD＝∠C，∴PF∥AC，∴∠FPD＝∠CAD，DH⊥PF， ∴∠EPD＝∠FPD，∴DG＝DH，即点D到PE和PF的距离相等． 11．如图，CA＝CB，E在BC上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于点F，连接CF. (1)求证：AE＝BD； (2)求证：CF平分∠AFD. 12．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.求证： (1)OC平分∠ACD； (2)OA⊥OC； (3)AB＋CD＝AC. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BED和Rt△CFD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(BD＝CD，,BE＝CF，))) ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC. 证明：(1)在△ACE与△BCD中， ∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(CA＝CB，,∠ACB＝∠DCE,CE＝CD，)，)) ∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD. (2)过点C作CG⊥AF，CH⊥BD，垂足分别为G，H，∵由(1)知，△ACE≌△BCD，∴∠CAG＝∠CBH，AC＝BC.在△ACG与△BCH中，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠CAG＝∠CBH，,∠AGC＝∠BHC＝90°,AC＝BC，))) ，∴△ACG≌△BCH(AAS)，∴CG＝CH，∴CF平分∠AFD. 证明：(1)如图，过点O作OE⊥AC于点E，∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，∴OB＝OE.∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD.(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝AO，,OB＝OE，)) ∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)， ∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝ eq \f(1,2) ×180°＝90°，∴OA⊥OC.(3)由(2)知Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE.∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC. $$