第11章 专题(三) 探究与三角形角平分线有关的几个常见结论——回归教材（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(人教版)

第十一章　 三角形 专题(三)　探究与三角形角平分线有关的几个常见结论——回归教材 数学 八年级上册 人教版 练闯考 2 3 4 变式点2　两外角平分线的夹角 3．如图，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线．试猜想∠BPC与∠A的数量关系，并证明你的猜想的正确性． 6 类型　 两内角平分线的夹角 1．(教材母题)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证： (1)∠BGC＝180°－ eq \f(1,2) (∠ABC＋∠ACB)； (2)∠BGC＝90°＋ eq \f(1,2) ∠A. 证明：(1)∵∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∴∠GBC＝ eq \f(1,2) ∠ABC，∠GCB＝ eq \f(1,2) ∠ACB，∴∠GBC＋∠GCB＝ eq \f(1,2) (∠ABC＋∠ACB).在△BCG中，∠BGC＝180°－(∠GBC＋∠GCB)＝180°－ eq \f(1,2) (∠ABC＋∠ACB)，即∠BGC＝180°－ eq \f(1,2) (∠ABC＋∠ACB). (2)在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，所以，∠BGC＝180°－ eq \f(1,2) (∠ABC＋∠ACB)＝180°－ eq \f(1,2) (180°－∠A)＝90°＋ eq \f(1,2) ∠A，即∠BGC＝90°＋ eq \f(1,2) ∠A. 变式点1　一个内角平分线与一个外角平分线的夹角 2．如图，在△ABC中，点D是BC延长线上的一点，∠ABC，∠ACD的平分线交于点E.求证：∠E＝ eq \f(1,2) ∠A. 证明：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC＝ eq \f(1,2) ∠ABC.∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝ eq \f(1,2) ∠ACD＝ eq \f(1,2) (∠A＋∠ABC).∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A①，∠E＋∠EBC＋∠ACB＋∠ACE＝180°，即∠E＋ eq \f(1,2) ∠ABC＋∠ACB＋ eq \f(1,2) (∠A＋∠ABC)＝180°，整理得，∠E＋(∠ABC＋∠ACB)＋ eq \f(1,2) ∠A＝180°②，把①代入②得，∠E＝ eq \f(1,2) ∠A. 解：∠P＝90°－ eq \f(1,2) ∠A. 证明：设∠ABC＝α，∠ACB＝β，则∠DBC＝∠A＋β，∠BCE＝∠A＋α，∵BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，∴∠PBC＋∠PCB＝ eq \f(∠A＋α,2) ＋ eq \f(∠A＋β,2) ＝ eq \f(∠A＋∠A＋α＋β,2) ＝90°＋ eq \f(1,2) ∠A，∴∠P＝180°－90°－ eq \f(1,2) ∠A＝90°－ eq \f(1,2) ∠A.即猜想成立． $$