第14章 专题(十七) 利用勾股定理解决折叠问题——热点题型（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(华东师大版)

数学 八年级上册 华师版 练闯考 专题(十七)　利用勾股定理解决折叠问题——热点题型 【例】(郑州外国语学校期中)如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为 ____． 【思路点拨】先设AF＝x，则由折叠的性质可知D′F＝DF＝ _______．在Rt△AD′F中，由勾股定理，得AD′2＋D′F2＝AF2，于是可得方程42＋(8－x)2＝x2，解得x＝ ____，所以AF的长为 ____，故答案为 ____． 5 8－x 5 5 5 【方法指导】求折叠问题中线段的长的关键是根据对称性寻求等量关系，并设出适当的未知数，再结合直角三角形、长方形等中的直角条件运用勾股定理列出方程，运用方程思想来分析和解决问题． A 2．如图，折叠长方形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 C 3．(新乡一中月考改)如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，在AC上取一点E，以直线BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，则CE的长为 ____． 3 4．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则CE＝ ____． 3 类型二　折痕过动点(需分类讨论) 5．(南阳第一完全学校期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，M，N分别是边AB，BC上的两个动点．将△ABC沿直线MN折叠，使得点B的对应点D落在AC边的三等分点处，则CN的长为 _________． 6．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为射线CB上的一动点(不与点C重合)，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C′处，连结AC′，当△AC′D为直角三角形时，求CE的长． 解：因为四边形ABCD是长方形，所以∠B＝∠C ＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝4.由折叠的性质可 得C′D＝CD＝4，C′E＝CE，∠DC′E＝∠C＝90°， 设CE＝C′E＝x，则BE＝BC－CE＝5－x.当△AC′D 为直角三角形时，则只能∠AC′D＝90°，所以 ∠AC′D＋∠DC′E＝180°，所以A，C′，E三点共线． 分如下两种情况讨论：①当点E在线段CB上时， 类型一　折痕确定(不需分类讨论) 1．(济宁中考)如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合．若折痕与AC的交点为E，则AE的长是 ( ) A． eq \f(13,6) B． eq \f(5,6) C． eq \f(7,6) D． eq \f(6,5) 3或 eq \f(15,4) 解(1)在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝15，AB2＋AC2＝92＋122＝225，BC2＝152＝225，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形 (2)依题意有92＋AP2＝(12－AP)2，解得AP＝ eq \f(21,8) .故AP的长是 eq \f(21,8) 如图所示，则AC′2＝AD2－C′D2＝52－42＝9，所以AC′＝3，所以AE＝AC′＋C′E＝3＋x.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，即42＋(5－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2，所以此时CE＝2；②当点E在线段CB的延长线上时， 如图所示，则同①可得AC′＝3，所以AE＝C′E－AC′＝x－3，BE＝CE－BC＝x－5.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BB2＋AE2＝AE2，即(x－5)2＋42＝(x－3)2，解得x＝8，所以此时CE＝8.综上所述，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为2或8 解：(1)连结DP.由旋转得∠ACB＝∠DCP＝60°，CD＝CP，∴∠ACD＝∠BCP.∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCP(SAS)，∴∠BPC＝∠ADC，AD＝PB＝6，∴△DCP是等边三角形，∴DP＝CP＝8，∠CDP＝60°.∵AP＝10，∴AD2＋DP2＝AP2，∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°，∴∠BPC＝∠ADC＝∠ADP＋∠CDP＝150° (2)连结DP.易知△DCP是等腰直角三角形，∴∠CDP＝45°.由题易证△ACD≌△BCP(SAS)，∴DP＝ eq \r(2) PC＝2 eq \r(2) .∵AP＝3，AD＝BP＝1，∴AD2＋DP2＝AP2，∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°，∴∠BPC＝∠ADC＝∠ADP＋∠CDP＝135° $$