第13章 专题(十三) 典型构造全等三角形常用的作辅助线方法（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(华东师大版)

专题(十三)　典型构造全等三角形常用的作辅助线方法 数学 八年级上册 华师版 练闯考 (1)由已知和作图能得到△ADC≌△MDB的理由是__________； A.SSS B．SAS C．AAS D．HL (2)求得AD的取值范围是__________； A．6<AD<8 B．6≤AD≤8 C．1<AD<7 D．1≤AD≤7 B C 1.(泸州校级期末)如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点． (1)求∠EAD的度数； (2)AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC. 解：(1)∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－70°＝60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝ eq \f(1,2) ×60°＝30° (2)过点D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝3.∵AB＝10，AC＝8，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) ×AB×DE＋ eq \f(1,2) ×AC×DF＝ eq \f(1,2) ×10×3＋ eq \f(1,2) ×8×3＝27 2．如图，P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P转动的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM＝PN. 【拓展1】OM＋ON的值是否为定值？请说明理由； 【拓展2】四边形PMON的面积是否为定值？请说明理由． 证明：作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF＋∠AOB＝180°.∵∠MPN＋∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN.∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴PE＝PF.在Rt△POE和Rt△POF中，PE＝PF，OP＝OP，∴Rt△POE≌Rt△POF(HL)，∴OE＝OF.在△PEM和△PFN中，∠MPE＝∠NPF，PE＝PF，∠PEM＝∠PFN，∴△PEM≌△PFN(ASA)，∴PM＝PN 【拓展1】∵△PEM≌△PFN，∴EM＝NF，∴OM＋ON＝OE＋ME＋OF－NF＝2OE＝定值 【拓展2】∵△PEM≌△PFN，∴S△PEM＝S△PFN，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值 3.如图，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B＋∠ADC＝180°，求证：BC＝CD； 琮琮同学：(截长法)我的思路是在AB上取一点F，使得AD＝AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论； 宸宸同学：(补短法)我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG＝CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论． 请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程． 解：琮琮同学：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠FAC，易证△ADC≌△AFC(SAS)，∴DC＝FC，∠CDA＝∠CFA，又∵∠B＋∠ADC＝180°，∠CFE＋∠AFC＝180°，∴∠B＝∠CFE，∴CB＝CF，又∵DC＝FC，∴CB＝DC 宸宸同学：∵AC平分∠DAB，CG⊥AG，CE⊥AB，∴CG＝CE.∵∠B＋∠ADC＝180°，∠CDG＋∠ADC＝180°，∴∠CDG＝∠B，又∵∠G＝∠CEB＝90°，∴△CGD≌△CEB(AAS)，∴CB＝CD 4．如图，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，点E在边DC上．求证：AB＝AD＋BC. 证明：(方法一)在AB上截取AF＝AD，连结EF，易证△AEF≌△AED(SAS)，∴∠AFE＝∠D.∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°.∵∠AFE＋∠BFE＝180°，∴∠BFE＝∠C，又BE＝BE，∠3＝∠4，易证△BEF≌△BEC(AAS)，∴BF＝BC，∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB. (方法二)提示：分别延长BE与AD，交于点G，证明△BCE≌△GDE和△AEG≌△AEB，过程略 类型三　中线倍长法 5．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到M，使DM＝AD，连结BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABM中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围． 【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线(或与中点有关的线段)构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (3)猜想图②中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明； (4)如图③，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，判断线段EF和AD的数量关系和位置关系，并加以证明． 解：(3)AC∥BM，AC＝BM，理由如下：由(1)知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM (4)EF＝2AD，理由：延长AD到M，使得DM＝AD，连结BM，由(1)可知△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由(3)可知AC∥BM，∴∠BAC＋∠ABM＝180°.∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC＋∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，易证△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM＝EF.∵AD＝DM，∴AM＝2AD.∵AM＝EF，∴EF＝2AD $$